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1、勾股定理 1 a2 b2 c2 勾股定理 2 A B C 蚂蚁从A点经B到C点的最少要爬了多少厘米 G E 3 4 5 12 5 13 小方格的边长为1厘米 练习1 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即a2 b2 c2中 a b c为正整数时 称a b c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如3 4 5 6 8 10 5 12 13 7 24 25 等 用含字母的代数式表示组勾股数 n为正整数 n为正整数 n为正整数 练习2 题型一 直接考查勾股定理 例一 在 中 已知 求 已知 求 分析 直接应用勾股定理 的长 的长 利用对角对边 分清直角边 斜边 练习3
2、 解 代王中学教学课件 例题2如果梯子的底端离建筑物9米 那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 题型二 利用勾股定理测量长度 分析 这是一道大家熟知的典型的 知二求一 的题 把实物模型转化为数学模型后 已知斜边长和一条直角边长 求另外一条直角边的长度 可以直接利用勾股定理 解 根据勾股定理AC2 BC2 AB2 即AC2 92 152 所以AC2 144 所以AC 12 练习4 例题3 如图 有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子 它的伙伴在离该树12m 高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声 它立刻以2m s的速度飞向小树树梢 那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起 例题
3、4 中华人民共和国道路交通管理条例 规定 小汽车在城街路上行驶速度不得超过24km h 如图 一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶 某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处 过了2s后 测得小汽车与车速检测仪间距离为50m 这辆小汽车超速了吗 例题5如图 8 水池中离岸边D点1 5米的C处 直立长着一根芦苇 出水部分BC的长是0 5米 把芦苇拉到岸边 它的顶端B恰好落到D点 并求水池的深度AC 练习5 解 如图2 根据勾股定理 AC2 CD2 AD2设水深AC x米 那么AD AB AC CB x 0 5x2 1 52 x 0 5 2解之得x 2 故水深为2米 代王中学教学课件 例题6
4、若直角三角形两直角边的比是3 4 斜边长是20 求此直角三角形的面积 思路点拨 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度 求面积 可以先通过比值设未知数 再根据勾股定理列出方程 求出未知数的值进而求面积 解析 设此直角三角形两直角边分别是3x 4x 根据题意得 3x 2 4x 2 202化简得x2 16 直角三角形的面积 3x 4x 6x2 96 总结升华 直角三角形边的有关计算中 常常要设未知数 然后用勾股定理列方程 组 求解 例题7 一辆装满货物的卡车 其外形高2 5米 宽1 6米 要开进厂门形状如图的某工厂 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 练习6 代王中学教学课件 答案 由于厂门宽度是
5、否足够卡车通过 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH 如图所示 点D在离厂门中线0 8米处 且CD 与地面交于H 解 OC 1米 大门宽度一半 OD 0 8米 卡车宽度一半 在Rt OCD中 由勾股定理得 CD 米 C 米 米 因此高度上有0 4米的余量 所以卡车能通过厂门 一 用勾股定理求两点之间的距离问题例题8 如图所示 在一次夏令营活动中 小明从营地A点出发 沿北偏东60 方向走了 到达B点 然后再沿北偏西30 方向走了500m到达目的地C点 1 求A C两点之间的距离 2 确定目的地C在营地A的什么方向 类型三 勾股定理的实际应用 练习7 解析 1 过B点作BE AD DAB
6、 ABE 60 30 CBA ABE 180 CBA 90 即 ABC为直角三角形由已知可得 BC 500m AB 由勾股定理可得 所以 2 在Rt ABC中 BC 500m AC 1000m CAB 30 DAB 60 DAC 30 即点C在点A的北偏东30 的方向 代王中学教学课件 二 用勾股定理求最短问题 例题9如图 一圆柱体的底面周长为20cm 高 为4cm 是上底面的直径 一只蚂蚁从点A出发 沿着圆柱的侧面爬行到点C 试求出爬行的最短路程 练习8 解 如图 在Rt 中 底面周长的一半 cm 根据勾股定理得 AC cm 勾股定理 答 最短路程约为 cm 代王中学教学课件 利用勾股定理作
7、长为的线段 练习9 例 如果 ABC的三边分别为a b c 且满足a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 判断 ABC的形状 思路点拨 要判断 ABC的形状 需要找到a b c的关系 而题目中只有条件a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 故只有从该条件入手 解决问题 练习10 解析 由a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 得 a2 6a 9 b2 8b 16 c2 10c 25 0 a 3 2 b 4 2 c 5 2 0 a 3 2 0 b 4 2 0 c 5 2 0 a 3 b 4 c 5 32 42 52 a2 b2 c2 由勾股定理的逆定理 得 ABC是直角三角形 总结升
8、华 勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 在证明中也常要用到 代王中学教学课件 变式 在数轴上表示 的点 看作是直角三角形的斜边 为了有利于画图让其他两边的长为整数 而10又是9和1这两个完全平方数的和 得另外两边分别是3和1 作法 如图所示在数轴上找到A点 使OA 3 作AC OA且截取AC 1 以OC为半径 以O为圆心做弧 弧与数轴的交点B即为 解析 可以把 练习11 四边形ABCD中 B 90 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形ABCD的面积 练习12 答案 连结AC B 90 AB 3 BC 4 AC2 AB2 BC2 25 勾股定理 AC 5 AC2
9、 CD2 169 AD2 169 AC2 CD2 AD2 ACD 90 勾股定理逆定理 2 如图 公路MN和公路PQ在点P处交汇 且 QPN 30 点A处有一所中学 AP 160m 假设拖拉机行驶时 周围100m以内会受到噪音的影响 那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 如果受影响 已知拖拉机的速度为18km h 那么学校受影响的时间为多少秒 练习13 思路点拨 1 要判断拖拉机的噪音是否影响学校A 实质上是看A到公路的距离是否小于100m 小于100m则受影响 大于100m则不受影响 故作垂线段AB并计算其长度 2 要求出学校受影响的时间 实质是要求拖拉
10、机对学校A的影响所行驶的路程 因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校 行至哪一点后结束影响学校 解析 作AB MN 垂足为B 在Rt ABP中 ABP 90 APB 30 AP 160 AB AP 80 在直角三角形中 30 所对的直角边等于斜边的一半 点A到直线MN的距离小于100m 这所中学会受到噪声的影响 同理 拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响 那么 AD 100 m BD 60 m CD 120 m 拖拉机行驶的速度为 18km h 5m st 120m 5m s 24s 答 拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时 学校会受到噪声影响 学校受影响的时间为24秒 如图 假设拖拉机在公路M
11、N上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响 那么AC 100 m 由勾股定理得 BC2 1002 802 3600 BC 60 如图所示 ABC是等腰直角三角形 AB AC D是斜边BC的中点 E F分别是AB AC边上的点 且DE DF 若BE 12 CF 5 求线段EF的长 思路点拨 现已知BE CF 要求EF 但这三条线段不在同一三角形中 所以关键是线段的转化 根据直角三角形的特征 三角形的中线有特殊的性质 不妨先连接AD 练习14 解 连接AD 因为 BAC 90 AB AC 又因为AD为 ABC的中线 所以AD DC DB AD BC 且 BAD C 45 因为 EDA ADF 90
12、 又因为 CDF ADF 90 所以 EDA CDF 所以 AED CFD ASA 所以AE FC 5 同理 AF BE 12 在Rt AEF中 根据勾股定理得 所以EF 13 如图所示 折叠矩形的一边AD 使点D落在BC边的点F处 已知AB 8cm BC 10cm 求EF的长 练习15 16 已知 如图长方形ABCD中 AB 3cm AD 9cm 将此长方形折叠 使点B与点D重合 折痕为EF 则 ABE的面积为 A6cm2B8cm2C10cm2D12cm2 练习16 17 直角三角形的面积为 斜边上的中线长为 则这个三角形周长为 B C D A c 练习18 解 设两直角边长为X和Y因斜边上的中位线为d则斜边长为2d则X Y 2d 4d 因三角形的面积为S则XY 2 SXY 2S则 X Y X Y 2XY 4d 4S 4 d S X Y 2 d S 则三角形的周长 X Y 2d 2 d S 2d 代王中学教学课件 A B C D A 600 B D 900 AB 4 CD 2 求S四边形ABCD 练习19 A B C D E 小方格的边长为1厘米 练习17 代王中学教学课件 已知 如图 四边形ABCD中 AD BC AB 4 BC 6 CD 5 AD 3 求 四边形ABCD的面积 练习20 如图所示 在 中 且 求 的长 练习21
