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1、n上一章所研究的多属性决策问题是由单个决策者从有限个方案中，选择一个决策者认为满意的方案。其决策行为主要表现在单一效用函数或单一优先关系的构造和分析，这一类决策是所谓的独断型决策。但在现代社会生活中，实际决策的形成往往不是一个人说了算的。由于各种经济决策问题变得越来越复杂，在许多情况下都有必要集中一群人的智慧来共同解决决策问题。即使是人们每天碰到的日常决策，虽然本质上不属于群决策的范畴，但也会征求亲友或同事们的意见，然后才作出决定。因此，根据群体各个成员的意见和偏好来制订统一的决策是人类决策的普遍形式。现代群决策(GDM)理论的研究范畴已经从早期的社会选举理论发展到近代的多属性群决策理论，又从
2、多属性群决策理论进一步推广到现代的专家系统理论和对策理论，并与模糊集理论结合在一起，形成了一个十分活跃而广泛的研究领域。多属性决策问题从单个决策者的独断情形转变到多个决策者集议的情形，给决策分析带来许多复杂的因素，并提出一系列的新问题。由于不同的决策者对同一问题的理解和愿望彼此不同，甚至是相互抵触和矛盾的，如何根据每个成员的偏好形成整个群体的偏好，即从单一优先关系或单一效用函数形成群体优先关系或群体效用函数，进而排列方案的优劣次序，便成为解决多属性群决策问题的关键。12.1 选举函数和福利函数12.1.1 社会选举理论选举是民主社会中表达民众意愿的基本形式，也是最典型的群决策方法之一。当选民在
3、投票的时候，心中对候选人的各方面条件，如资格、能力、诚信度等，都已经作了综合性的衡量与比较，才形成自己的选择意愿。所以，选举过程实质上是一个多属性的群决策过程，只是这里的决策属性没有以外在的形式表现出来而已。社会选举方法的形成和发展可以划分为三个主要的历史时期。第一个历史时期发生在十八世纪八十年代的法国，其代表人物为 Borda和Condorcet。第二个历史时期发生在十九世纪六十年代和九十年代之间的英国，其代表人物为Dodgson和Nanson。第三个历史时期发生在二十世纪五十年代至八十年代的美国，其代表人物为Arrow，Gibbard和 Satterthwaite。选举需要解决的根本问题是
4、如何在充分考虑个人意愿的基础上形成合理的全社会的选举结果。对于只有两个候选人的选举情况，简单多数的选举原则被普遍认为是公正可行的。但如果有多名候选人存在时，简单多数的选举原则却有可能导致矛盾荒谬的结果。譬如，设有三个选民甲、乙、丙和三个候选人，如果甲认为 优于 ， 又优于 ；乙认为 优于 ， 又优于 ；而丙认为 优于 ， 又优于 。那么两两比较的结果是： 优于 有两票赞成一票反对， 优于 也有两票赞成一票反对，但是 优于 只有一票赞成两票反对。因此，按简单多数原则得到的结果是不传递的，即 优于 ， 优于 ，但 却不优于 。这就是十八世纪末由Condorcet揭示的选举问题中的多数悖论，称为Co
5、ndorcet现象，或Condorcet效应。为了克服Condorcet 现象在选举理论上造成的极大困扰，许多不同的群决策程序相继提出，形成了社会选举函数和社会福利函数两大类别。前者主要用于政治选举问题，后者主要用于经济决策问题。当方案集为有限集时，社会选举函数和社会福利函数是完全等价的，只有当方案集为无限集时，社会福利函数才有别于社会选举函数。社会选举函数基于Condorcet倡议的简单多数原理，并由Borda (1784)，Copeland (1951)，Nanson (1883)，Dodgson (1876)，Kemeny (1959)，Cook和Seiford (1978)，Fishb
6、urn (1977)，Bernardo (1981), Miller (1983)，Shepsle和Weingast (1984)，Banks (1985)，Mckelvey (1986)，Feld 及其合作者(1987)，Hartley和Kilgour (1987)，Dutta (1988)，Zavist 和Tideman (1989) 等人围绕着Condorcet现象从不同角度对社会选举函数进行了改进和推广。Black (1958) 和 Fishburn (1977) 以及Gehrlein (1983) 对早期的这些方法进行了总结，并从理论上作了详细的比较性研究。社会福利函数的概念由Ber
7、gson (1938) 提出，经过Samuelson (1947)，Goodman- Markowits (1952) 的改进和发展，并由Arrow (1963) 加以创新和推广。此后，Kirkwood (1972)，Bowman-Colantoni (1973)，Gibbard (1973)，Blin-Whinston (1974)，Satterthwaite (1975)，Farris-Sage (1975)，Parks (1976)，Pollak (1979)，Dyer-Sarin (1979)，Mackay (1980)，Bowers (1981)，Grether-Plott (198
8、2)，Fishburn (1983, 1987)，Nurmi (1987)，Merrill (1988)，Enelow-Hinich (1989) 等人在Arrow 的不可能性定理的基础上，提出了各种各样的改进方法。Luce-Raiffa (1957)，Rotheberg (1961)，Kelly (1978) 和Fishburn (1973, 1984, 1990) 对各种社会福利函数都有过精辟的论述。下面我们将扼要介绍社会选举函数和社会福利函数的基本理论和方法。12.1.2 社会选举函数在社会选举问题中，候选人集合是一个非空有限集合，记为A。设有n位选民参加投票，每个人将按照自己的意愿对候
9、选人进行排队。对于任何两个候选人x, yA，采用符号# (i：x i y) 表示x优于y的票数，则有# (i：x i y) + # (i：y i x) = n, xy。那么简单多数原则可以被定义为：x y 当且仅当 # (i：x i y) # (i：y i x)如果 # (i：x i y) = # (i：y i x)，则认为x与y无差异。Condorcet认为，在简单多数原则下，如果存在某一个候选人能够击败所有的对手，则该候选人必然是最能代表大多数选民意愿的选举结果。换言之，Condorcet原则被定义为：x = x* 当且仅当xA, x y, yAx但是，当选举结果出现循环现象时，不存在以简
10、单多数胜出的候选人。为此，许多学者对上述简单多数原则进行了推广，并由此产生了多种多样的社会选举函数。现选择其中有代表性的几种社会选举函数分别介绍如下。(1) Condorcet函数当简单多数胜出的候选人不存在时，Condorcet提议采用下面的方法。设则候选人的优先顺序将按照函数fC (x)的值来排列。这里，fC (x)的值表示x与其它候选人比较时所处的最不利情形。因此，fC (x)是一个极大极小型的保守函数。(2) Borda函数在包含m个候选人的选举问题中，Borda提议对每一个候选人依据其排序名次分别记分，称为Borda分。记分原则是排在第一位得m 1分，第二位得m 2分，这样依次递减，
11、直到最后一位得0分。候选人的最终排名取决于Borda总分的高低，其数学表示式为(3) CookSeiford函数Cook和Seiford引进了距离函数d以度量排序的不一致性，并将总距离最小的排序方式定义为一致性排序。设rij表示选民i对候选人j的排序结果，令rj*表示候选人j的一致性排序结果，那么选民i排序的不一致性可以表示为故排序的总偏差为因为rj*只能等于序数1, 2, , m中的某一个，设rj* = k，则可定义从而假定每个候选人都有m个不同的k值，则一共要计算mm个距离系数djk , j, k = 1,2,m。显然，寻找使总距离最小的一致性排序问题等价于求解一个mm的分配问题。限于本教
12、材的撰写目的和篇幅，其它社会选举函数不再一一列举，有兴趣的读者可参阅书后所列的参考文献。例12.1 假设某班级60位学生拟从3名任课教师中评选1名优秀教师，投票结果为：23票：a b c17票：b c a 2票：b a c10票：c a b 8票：c b a(1) Condorcet函数：两两比较结果为# (i：a i b) = 33，# (i：b i a) = 27，# (i：a i c) = 25，# (i：c i a) = 35，# (i：b i c) = 42，# (i：c i b) = 18。显然，这里不存在能以简单多数胜出的候选人。采用Condorcet函数的计算结果可表示为如下矩
13、阵形式：abcfC a332525b274227c351818结论：b a c。(2) Borda函数：abcfB a332558b274269c351853结论：b a c。(3) CookSeiford函数：已知i = 1,2,60，j = a, b, c，k = 1, 2, 3类似地，可算出：以上距离系数被总结在下面的矩阵表中： kj123a624858b512969c674353这是一个使总偏差达到最小的分配问题，其求解过程为：62485814010000512969220408030674353240101000结论：a b c。12.1.3 社会福利函数福利经济学是西方的一种经济学
14、派，主要研究社会资源和商品的分配理论与方法，旨在发现某种合理的社会结构，以使由资源和商品产生的社会福利达到最大。福利经济学家从社会福利的观点去评价各种可能的社会结构，并用一个反映社会状况的实值函数 福利函数去度量和判断每种社会结构的优劣。早期的社会选举函数和社会福利函数对候选人或事所处状态的描述采用的都是序数型变量，即排序比较方法。针对这种情形，Arrow提出了满足一致性要求的两条公理和五项条件，并在此基础上证明了著名的Arrow不可能性定理，即在一般情形下不可能找到一种程序或方法将所有社会成员的个人偏好集成为整个社会的群体偏好而不违背一致性原则。为此，其它学者作出了种种假设，旨在将序数型的社
15、会福利函数改写成基数型的效用函数，从而发展为现代的多属性群决策理论与方法。在介绍Arrow的不可能性定理之前，我们先引进二元关系和社会福利函数的定义与性质：定义12. 1 集合A上的一个二元关系R是域AA上的一个子集，定义为 A上全部有序对 (x, y) 的集合，记作x R y，并用符号 , 和 分别表示x, y之间的强序关系，弱序关系和无差异关系，记作x y，x y和x y。定义12. 2 设R是集合A上的一个二元函数。则：(1) R是自反的当且仅当：x R x, xA。(2) R是连通的当且仅当：。式中是逻辑或的符号，即对于集合A中的任何x, y不是x R y，就是y R x。(3) R是不循环的当且仅当：不存在 ，使得式中是逻辑与的符号。(
