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1、n“一元二次方程”教学分析与决策 邬云德*作者简介：邬云德（1956），男，大学本科学历，中学高级教师，浙江省数学特级教师。通讯地址：象山县丹城丹南路；联系方式：电话：0574-65767125，手机：13906846381， E-mail:（浙江省象山县教育局教科研中心 315700）陈敏珍（浙江省象山县新港中学 315731）1 研究背景“一元二次方程”是浙教版课标教材八年级下册第二章第一节第一课时的内容。这节课普遍存在的问题是：课堂教学缺乏内涵和思想，且有盲目增补教学内容和随意提高教学要求的现象。从说课活动中发现：教师对数学内容的本质、内容的逻辑结构和思想方法结构、内容蕴涵的科学方法、理
2、性思维过程和价值观资源认识模糊，从而导致说课缺乏内涵和思想。基于这种事实，我们在区域性教研活动中进行了一次以“一元二次方程”为载体的教学分析与决策的微格教研活动。活动经历了“教学分析教学决策实践验证修改完善”的过程。笔者认为“一元二次方程”教学分析与决策，不但有助于教师明确“一元二次方程”的内涵和思想，而且对帮助教师学会科学的教学分析的方法和提高有效的教学决策的能力会产生积极的影响。因此，特将其呈现如下，供读者参考与研究。2 教学分析2.1 内容及其解析内容：“一元二次方程”主要讲两方面的内容：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式。内容的逻辑结构及思想方法结构的概括见图1。 演绎 数学化
3、 概括 抽象 表示 类比 类比图1解析：“一元二次方程”是在学生学习了“一元一次方程”、“二元一次方程（组）”的基础上，为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出来的，是体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型的继续。一元二次方程概念与方程概念的联系方式是“类属关系”，一元二次方程概念与一元一次方程和二元一次方程（组）概念的联系方式是“并列结合关系”，一元二次方程概念与有关现实问题的数学模型的联系方式是“总括关系”。内容的数学本质是：研究现实世界数量的相等关系及研究相等关系的方法和观念。内容的核心目标是：体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。内容蕴涵的方程思想
4、、类比思想、数学化方法、观察与比较方法、抽象表示方法等对发展学生的智力会产生积极的影响；内容蕴涵的理性思维过程对发展学生的概括能力和类比能力、丰富学生转化、类比、反思等数学活动经验、形成多边思维碰撞的学习状态等有积极作用；内容能结合现实中的问题，对增强学生的方程意识和懂得数学的价值也有重要作用。重点：一元二次方程的涵义及表示，特别是体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。2.2 教学问题诊断认知特点：一元二次方程是特殊的方程，如果按这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是下位学习，思维形式是演绎。一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程（组）既有联系又有区别，如果按这个思路进行
5、教学，概念学习的学习形式类型是并列结合学习，思维形式是类比。一元二次方程是现实问题的数学模型，如果按这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是上位学习，思维形式是归纳。一元二次方程一般形式与一元一次方程一般形式既有联系又有区别，一元二次方程一般形式的学习形式类型是并列结合学习，思维形式是类比。认知基础：如果采用下位学习的形式，学生需要知道方程概念和具有演绎的能力；如果采用并列结合学习的形式，学生需要知道一元一次方程和二元一次方程的概念，需要具有一定的类比能力；如果采用上位学习的形式，学生需要具有现实问题转化为数学问题的符号化经验和观察、比较、概括、类比的经验。认知障碍：用上位学习的形式概括一元
6、二次方程的概念，尽管学生认知结构中有相应的知识与新知识有联系，但需要经历实际问题转化为数学模型的“数学化”过程，一部分学生“数学化”能力弱，可能会遇到困难；需要经历特殊到一般的理性思维的过程，一部分学生理性思维能力弱，可能很难渡过“抽象”这一关。用并列结合学习概括一元二次方程的一般形式，需要经历特殊到特殊的类比推理的过程，一部分学生类比推理能力弱，可能会遇到困难。学生普遍对运算符号和性质符号理解不清，在求二次项系数、一次项系数、常数项时可能会出现错误。教学难点：设未知数，列方程；一元二次方程和一元二次方程一般形式特点的概括。2.3 学法指导分析（1）这节课教学的创新点之一是选择合适的教学结构。
7、根据一元二次方程知识的逻辑结构及隐含在知识背后的思想方法结构，这节课有以下四种教学结构可供选择：回顾方程概念演绎得出一元二次方程特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种接受式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“类属关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“类属关系”），且教学效率较高。但纯数学操作，不利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。尽管这种方式有利于发展学生的逻辑推理能力，但不利于发展学生的合情推理能力。目前学生合情推理能力比较弱，且这节课的数学本质是体会方程思想。因此，这种方式不利
8、于学生和谐发展。回顾一元一次方程概念类比得出一元二次方程特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种发现式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“并列结合关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“并列结合关系”），有利于发展学生的类比推理能力。但纯数学操作，不利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。尽管学生的类比推理能力比较弱，但这节课的数学本质是体会方程思想。因此，这种方式也不利于学生和谐发展。呈现若干实际问题用方程思想建立数学模型概括得出一元二次方程特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方
9、程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种发现式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“总括关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“总括关系”），有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，有利于发展学生符号化能力和概括能力，且合适的情景有利于激发学生的学习情趣。但这种教学方式过程缓慢，会对按时完成教学任务带来挑战。呈现有意义的实际问题用方程思想建立数学模型用数学方法解决实际问题反思、提炼数学模型的特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种“问题驱动”的方法，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“
10、总括关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“总括关系”）。其优点是：能使学生经历用一元二次方程解决实际问题的全过程，有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，且有能力发展点、个性和创新精神培养点。其缺点是：“一个例子打天下”缺乏概括基础，同样存在学习过程缓慢的问题。这就是说，第三种教学方式，不但符合认知同化理论，而且最能反映数学的本质和最有利于学生认知发展。（2）这节课教学的创新点之二是选择合适的教学内容。为有利于学生体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，课本提供了三个现实问题：第一个是包装盒表面展开图的问题；第二个是把面积为4平方米的一张纸分割
11、成正方形和长方形两个部分的问题；第三个是增长率问题，背景材料是浙江省2001年和2003年生产总值的数据。我觉得第一个问题有能力发展点，应该借用；第二个问题与第一个问题类型相同（都是用面积或体积关系来列方程），可以考虑用其它类型的问题来替换，使问题的类型更和谐；第三个问题的背景不具有时代性，其背景材料可以考虑替换，使物质的景更能激发学生精神的情，如果找不到浙江省近几年生产总值的数据，也可以用其他问题来替换，但替换的问题要与原问题承载的目标保持一致。从实际问题到数学模型，再从数学模型到一元二次方程的特征，是学生认识一元二次方程概念的第一次飞跃；通过对概念的应用、辨析与建构沟通知识之间的内在联结与
12、变式活动，使学生多方位丰富完善概念，区分、评价此概念与彼概念，明确概念的本质属性和非本质属性，使概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中，是学生认识一元二次方程概念的第二次飞跃。但教材提供的材料不能满足学生多方位丰富完善概念的需要，需要根据教学目标适当增补教学内容。这就是说，需要教师再次开发教材，使教学内容具有个性化并满足实现教学目标的需要。（3）这节课教学的创新点之三是选择合适的教学方法。从现实问题到数学模型，需要经历“数学化”的过程，部分学生“数学化”能力弱，需要教师在理解数学和了解学生的基础上，根据“最近发展区”理论提供合适的感性材料，并用“暗示”的方法激活学生已有的知识与经验及激发学生的
13、学习情趣。从数学模型到一元二次方程的特点，需要经历反省、内化和概括的过程，部分学生理性思维能力弱，需要教师用合适的“问题清单”驱动学生的思维（打开学生理性思维的“闸门”），帮助学生渡过“抽象”难关。从一元二次方程的特点到一元二次方程特点的形式化表达，需要经历用简练的文字形式和符号表示的过程，需要教师用“点拨”的艺术激活学生数学表示的经验，帮助学生仿效。从一元二次方程特点的形式化表达到一元二次方程概念的建构，需要经历概念的应用、辨析与建构的过程，需要教师提供概念的应用、辨析与建构的合适的“问题清单”，并运用“独立学习”、讨论、积极的认知干预等指导艺术，帮助学生实现概念建构和发展认知。这就是说，根
14、据学习内容的特点，这节课宜采用发现性学习与有意义的接受性学习相结合的方法。在学习过程中，教师需采用“独立学习”、讨论、“暗示”、点拨、积极的认知干预等指导艺术。3 教学决策3.1 教学目标设计（1）借助与一元二次方程有关的合适的若干现实问题并通过经历现实问题转化为数学模型的过程，体会方程思想，感受学习一元二次方程的必要性，发展符号化能力和数学化经验；（2）借助现实问题的数学模型并通过经历观察、比较、概括的过程，明确一元二次方程的特点，发展理性思维能力；（3）借助一元一次方程概念和一元一次方程的一般形式的定义经验并通过类比的过程，会用简练的文字形式和符号表示一元二次方程的特点和一元二次方程的一般
15、形式，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式，发展用简练的文字形式和符号表示数学概念的经验及类比能力；（4）借助合适的问题或例子并通过概念的应用、辨析与建构的过程，会求二次项系数、一次项系数和常数项，明确一元二次方程概念的本质属性及一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程的区别与联系，发展辨别能力，感受蕴涵在内容中的理性思维过程。3.2 教学过程设计3.2.1 “活动”感性探究活动1：某种包装盒的表面展开图如右图（单位：cm）。若包装盒的容积为750cm3，则图中x应满足怎样的方程？活动2：近年，“象山红”桔子进入了丰收期，但销售价逐年下降。据调查2006年收购价是4元/斤，2008年收购价是1元/斤。问：单价平均每年下降的百分率是多少？若设单价平均每年下降的百分率为x，则x应满足怎样的方程？活动3：长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子
