地球外部重力场理论基础

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1、地球外部重力场理论基础地球外部重力场理论基础 第一章 绪论 第二章 位理论基础 2 1 引力 引力位及其基本性质 引出引力 引力位的基本概念 单层 球壳 球体的引力与引力位 阐述引力 引力位的基本性质 2 2 格林函数及其应用 2 3 边值问题及其解唯一性 2 4 拉普拉斯方程的球函数解 2 5 边值问题的球函数解 第三章 地球正常重力场 3 1 地球重力与重力位水准面 3 2 地球重力的测定方法 陆地 海上 航空重力测量原理 3 3 斯托克斯定理与水准椭球重力位 3 3 地球正常重力及其计算公式 第四章 斯托克斯边值理论 4 1 扰动位 扰动重力 布隆斯公式 4 2 重力异常 斯托克斯边值条

2、件与边值问题 4 3 斯托克斯边值问题的解 大地水准面差距和垂线偏差 4 4 解的延拓性 第五章 重力归算与拟合推估 5 1 空间改正 层间改正与局部地形改正 5 2 均衡理论与均衡改正 5 3 各种重力异常的 5 4 重力异常的内插与拟合推估 第六章 莫洛金斯基边值理论 6 1 高程系统 6 2 地面重力异常与莫洛金斯基边值条件 6 3 莫洛金斯基边值问题的解法 第七章 大地水准面起伏及高程异常的确定 7 1 斯托克斯积分公式的改化 7 2 大地水准面起伏的快速傅立叶变换计算 7 3 GPS 水准与大地水准面起伏 7 4 卫星测高 海洋大地水准面与重力反演 7 5 天文大地垂线偏差与天文重力

3、水准 第八章 卫星跟踪卫星资料反演地球重力场 8 1 卫星跟踪卫星的发展简史 8 2 地球重力场对卫星运行轨道的影响 8 3 卫 卫跟踪资料反演地球重力场原理 8 4 卫星重力梯度反演地球重力场原理 8 5 研究现状与成果 第九章 地球重力场的应用 9 1 大地测量的应用 9 2 地球物理勘探中的应用 9 3 其它应用 附录一 勒让德函数及其性质 第一章 第一章 绪绪 论论 地球重力场是大地测量学科的主要研究对象之一 也是地球物理 地质 地 震与海洋等学科的重要研究对象和手段 地球重力场反映了地球物质的空间分布 及地球的旋转运动 它不仅决定了地球的形状和大小 而且反映了地球表面 内 部以及大气

4、和海洋的物质分布 运动和变化 地球重力是单位质点所受的地球引 力与离心力的合力 Newton 根据他发现的万有引力定律和地球的自转运动 得 出地球应该近似于两极扁 赤道隆起的旋转椭球体 此后数百年来 在以 Clairaut Legendre Laplace Stokes Bruns 和近代的 Molodensky Marussi Bjerhammar Krarup 和 Moritz 为代表的科学家们的辛勤耕耘下 这一学科不断地得到了完善 和发展 Stokes 的研究成果使地球重力场成为独立的学科 他证明了奠基本学科的定 理 地球外部重力场由地球总质量 自转角速度与地球形状唯一确定 也就是说 求

5、解外部重力场不需要知道地球内部质量的分布 同时证明了该定理的逆定理 地球的形状由地球总质量 自转角速度与地球表面重力值唯一确定 这一定理为 地球表面的重力观测值求解地球形状的奠定了坚实的理论基础 这里的地球形状 通常指大地水准面 Molodensky 直接以地球自然表面表示地球形状 发展了 Molodensky 理论 弥补了 Stokes 理论的缺陷 使解算模型更加完善 长期以来地球形状及其外部重力场的确定都基于其表面 陆地和海洋 的重 力观测值 随着空间大地测量的兴起 在陆地用 GPS Global Positioning System 即全球定位系统 结合精密水准 在海洋通过卫星测高分别可

6、以直接确定陆地与 海洋的大地水准面形状 同时 GPS 精密定位等相关技术应用使航空重力测量的 精度取得了显著提高 能够用于获取恶劣地区的重力资料 填补这些地区的重力 空白 极大地丰富了重力观测数据的类型 数量与质量 由于政治 经济和技术 条件的限制 用地面重力或航空重力测量方法取得全球基准统一 分辨率均匀的 重力资料实际上几乎是不可能的 只有用人造卫星作为传感器才能获取基准统 一 分布均匀的全球重力场数据 目前卫星重力已经取得了巨大成功 以前主要 通过地面站跟踪卫星 根据卫星轨道的变化来反演地球重力场 由于地面观测站 数量的限制 很难以足够的密度获取全球数据 2000 年 7 月发射的 CHA

7、MP CHAllenging Minisatellite Payload 卫星以 GPS 卫星作为高卫星 采用高低跟踪模 式 获取了 CHAMP 卫星全球连续 均匀覆盖的观测数据 显著地改善了低频重 力场的精度 2002 年 11 月成功发射的 GRACE Gravity Recovery And Climate Experiment 卫星 除高低跟踪外 还以微米级的高精度测定两颗低轨卫星间的距 离变化率 使中频重力场的精度又进一步提高了 1 2 个数量级 采用卫星重力 梯度 SGG 观测方式的 GOCE Gravity field and steady state Ocean Circula

8、tion Explorer 卫星计划于 2006 年发射 采用该卫星的观测数据后 地球重力场的精 度和分辨率有望进一步提高 由于重力场信息随着高度的增加快速衰减 卫星重 力一般只能计算中 低频的重力场 高频重力场信息陆地还有赖于地面重力数据 海上有望通过高分辨率的卫星测高数据获取 地球科学各学科的发展对重力场精度和分辨率的要求也越来越高 地球各层 次的物质分布与重力场模型不同阶次的系数有很好的对应关系 长波对应于地核 与下地幔 中波对应于地幔 短波对应于地壳 大地测量要求分辨率为 10 公里 的厘米级精度的大地水准面 以将 GPS 测得的大地高转换为正常高 为研究地 幔的运动和变化 需要尽量精

9、确的中 长波重力场模型 要求中波重力场至少要 求具有厘米级精度 卫星轨道的精确计算和预报也需要高精度的中 长波重力场 资料 海洋科学需要中尺度的厘米级精度的大地水准面 作为卫星测高数据计算 海面地形的基准面 进而确定海洋的洋流 涡旋 分析和预报 ENSO 现象等 重力场模型已成为卫星测高数据确定高精度海面地形的瓶颈口 地球重力场的空 间变化与物质密度的空间变化有紧密的联系 由此发展的重力探矿方法是矿产资 源普查的重要手段 地球重力场的随时间的变化反映了地球物质的时变情况 而 地球物质运动变化造成的能量积累是诱发地震的重要原因 地震预报要求高精度 的中长波重力场的时变信息 因此地球重力场的时变监

10、测与分析已经成为地震监 测和预报的重要手段 正是这些学科对高精度重力场模型的要求 促成了 CHAMP GRACE 和 GOCE 等重力卫星项目的实施 预计地球重力场的探测与 研究将取得突破性的进展 成为继 GPS 之后 大地测量学科发展的又一个里程 碑 地球重力场是目前人类及地球生物赖于生存与活动的基本物理环境 研究地 球重力场的空间分布及其随时间变化 不仅在国民经济中具有重要意义 而且对 于研究我们生存环境的变化与灾害预测也具有深远的科学意义 第 2 章 位理论基础 第 2 章 位理论基础 有关位理论的研究可以归结为两个问题 一个问题是给定空间物质的密度分 布 求该物质分布的引力场 该问题由

11、牛顿提出 也由牛顿解决了 这就是著名 的万有引力公式 另一个问题就是给定一个空间 以及其界面 假定已经通过 测量获得了界面 上有关引力的信息 比如说重力观测值 问能否确定 内部的 引力 这里 可能包含质量 也可能不包含质量 这后一个物体就是重力场研究 中的边值问题 是重力学研究的核心内容 以上两个问题用引力位函数来表示要 比直接用引力表示要简便的多 这是因为引力位是一个数量函数 而引力是一个 矢量函数 重力场中的边值问题 通常都是关于解引力位的边值问题 2 1 引力 引力位及其基本性质引力 引力位及其基本性质 如图 2 1 所示 根据牛顿万有引力 质量m对质量 m 的引力为 3 r r mm

12、fF r r 2 1 这里 f是万有引力常数 r r 是由m指向 m 的矢径 当1 m时 3 r r m fF r r 2 2 下面我们专门讨论质量m对单位质量的引力 引力F r 在三个坐标轴上的分量可以下式表 示 cz r m fF by r m fF ax r m fF z y x 3 3 3 2 3 定义定义 如果有一个标量函数 它在被吸引点 处对各坐标分量的导数恰好等于引力在相 应坐标轴上的分量 则称该标量函数为引力 位函数 不难验证对于质点m的引力 2 2 式 存在如下引力位函数 简称引 Z cba zyx m m X Y r r O 图 2 1 直角坐标系中万有 引力示意图 力位

13、一般用 V 表示 r m fV 2 4 质点系引力位质点系引力位 在图 2 1 中 如果有 n 个质点存在 其质量分别位 n mmm 21 它们离被吸引 点的距离分别位 n rrr 21 则该质点系对 P 点的总引力位为 n i i i r m fV 1 2 5 这可以从引力的可叠加性直接推 出 质体引力位质体引力位 通常吸引质量不是一个质点 只有 当离吸引质量很远时 才把它视作 质点 它占据一定的空间 如 图 2 2 此时 P 点的引力位要通过 对质体占据空间的积分来计算 即 d r f r dm fV 2 6 式中 表示密度分布函数 离心力位离心力位 如图 2 3 设z轴为自转轴 则离心力

14、 位为 222222 sin 2 1 2 1 yxQ 2 7 不难验证该式对yx 的偏导 恰好等于 离心力在yx 轴上的分量 X zyx P d cba Z Y 图2 2质体的引力位 22 yx zyx P x y z 图2 3离心力位 重力位重力位 由于地球表面的重力定义位引力和离心力之和 所以 地球重力位等于引力位和 离心力位之和 即 222 sin 2 1 d r fQVW 2 8 下面介绍几种简单形体的引力位和引力 均质球面的引力位和引力均质球面的引力位和引力 设有一半径为R 面密度为 的均质球面 如图2 4 建立球坐标系 则离球心 为 的P点处的引力位为 0 2 2 00 2 sin

15、 2 sin d r R f d r R df d r fV 另一方面 由三角形余弦定理得 cos2 222 RRr 两边微分得 dRrdrsin 所以 dr R d r R sin 2 利用该式对上述引力位积分作变量 代换 为此我们分P点在球面内或球 面外来进行 当P点 位 于 球 面 外 部 时 Rr 0时 Rr 时 所以外部引力位为 M f R fdr R fV R R e 2 42 2 9 这里 2 4RM 是均质球面的总质量 当P点位于球面内部时 Rr 0时 Rr 时 所以内部引力 o R r Rd dRsin d P ddRdsin 2 图2 4 均质球面的引力 位为 R M fR

16、fdr R fV R R i 42 2 10 可见均质球面的内部引力位是一个常数 由于均质球面的对称性 其引力必定是在 方向上 因此只要由 2 9 及 2 10 式对 求导 就可以求得均质球面的外部和内部的引力 记 e F r 和 i F r 很 显然 32 2 4 rr r fM R f V F e e 2 11 式中负号表示引力方向与矢径 r 的方向相反 0 i i V F r 2 12 对照 2 9 2 10 式 以及 2 11 2 12 式 可以得出结论 在穿过球面 时 均质球面的引力位是连续的 但引力不连续 均质球体的引力位和引力均质球体的引力位和引力 如图2 5 均质球体的体密度为 我们可以利用上面均质球面 的结果来求均质球体的引力位和 引力 为此 将均质球体看作是 一族同心的均质球面 则面密度 和 体 密 度 之 间 的 关 系 为 dR 当计算球体外部引力为时 我们 利用 2 9 式 得 M f R f dRR fV R e 3 44 3 0 2 2 13 这里 3 3 4 RM 是球体的总质量 R P 图2 5 均质球体外部的引力位和引力 当计算球体内部引力为时 内部