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1、 第十一章动量矩定理 11 1质点和质点系的动量矩 1 质点的动量矩 对点O的动量矩 对z轴的动量矩 代数量 从z轴正向看 逆时针为正 顺时针为负 2 质点系的动量矩 对点的动量矩 对轴的动量矩 即 1 刚体平移 二者关系 2 刚体绕定轴转动 转动惯量 11 2动量矩定理 1 质点的动量矩定理 设O为定点 有 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数 等于作用力对同一点的矩 质点的动量矩定理 投影式 质点系对某定点O的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和 2 质点系的动量矩定理 质点系的动量矩定理 投影式 问题 内力能否改变质点系的动量矩 3 动量矩守恒定律 若则常量
2、有心力 力作用线始终通过某固定点 该点称力心 常矢量 面积速度定理 质点在有心力作用下其面积速度守恒 1 与必在一固定平面内 即点M的运动轨迹是平面曲线 即常量 因此 常量 面积速度 思考 谁先到达顶部 解 由 得 例11 1 已知 不计摩擦 例11 2 由 得 解 1 2 由质心运动定理 3 研究 4 研究 求 剪断绳后 角时的 已知 两小球质量皆为 初始角速度 例11 3 时 时 解 11 3刚体绕定轴的转动微分方程 主动力 即 或 或 转动微分方程 约束力 已知 物理摆 复摆 求 微小摆动的周期 例11 4 解 微小摆动时 即 通解为 称角振幅 称初相位 由初始条件确定 周期 例11 5
3、 解 已知 求 解 因 得 例11 6 11 4刚体对轴的转动惯量 1 简单形状物体的转动惯量计算 1 均质细直杆对一端的转动惯量 由 得 2 均质薄圆环对中心轴的转动惯量 3 均质圆板对中心轴的转动惯量 式中 或 2 回转半径 惯性半径 或 3 平行轴定理 即 刚体对于任一轴的转动惯量 等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量 加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积 证明 4 组合法 求 已知 杆长为质量为 圆盘半径为 质量为 解 解 其中 由 得 5 实验法 思考 如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量 将曲柄悬挂在轴O上 作微幅摆动 由 其中已知 可测得 从而求得 6 查表法 均质物体
4、的转动惯量 薄壁圆筒 细直杆 体积 惯性半径 转动惯量 简图 物体的形状 薄壁空心球 空心圆柱 圆柱 圆环 圆锥体 实心球 矩形薄板 长方体 椭圆形薄板 11 5质点系相对于质心的动量矩定理 1 对质心的动量矩 0 2相对质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对质心的主矩 思考 如何实现卫星姿态控制 动量矩守恒定律实例 航天器中反作用轮姿态控制系统示意简图 例11 7 已知 均质圆盘质量为m 半径为R 沿地面纯滚动 角速度为 求 圆盘对A C P三点的动量矩 解 点C为质心 点P为瞬心 或 是否可以如下计算 11 6刚体的平
5、面运动微分方程 平面运动 随质心平移 绕质心转动 投影式 以上各组均称为刚体平面运动微分方程 已知 半径为r 质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动 如图所示 设轮的惯性半径为 作用于轮的力偶矩为M 求轮心的加速度 如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f 问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动 例11 8 解 纯滚动的条件 即 已知 均质圆轮半径为r质量为m 受到轻微扰动后 在半径为R的圆弧上往复滚动 如图所示 设表面足够粗糙 使圆轮在滚动时无滑动 求 质心C的运动规律 例11 9 解 初始条件 运动方程为 例11 10 已知 如图所示均质圆环半径为r 质量为m 其上焊接刚杆OA 杆长为r 质量也为m 用手扶住圆环使其在OA水平位置静止 设圆环与地面间为纯滚动 求 放手瞬时 圆环的角加速度 地面的摩擦力及法向约束力 解 整体质心为C 其受力如图所示 建立平面运动微分方程 其中 由求加速度基点法有 投影到水平和铅直两个方向 顺时针
