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1、石伟、向中辉、喻欢自动化车床管理摘要本文建立的是自动化车床单刀具连续加工零件工序定期检查和刀具更换的随机性优化模型。我们对题中所给数据进行处理和理论分析，并用卡方拟合检验法，确定了刀具寿命服从的正态分布。为了使总的期望损失达到最小，进而使工序得到最好的效益，我们针对三个不同的问题建立了三个最优化模型。针对问题一：我们将检查间隔和道具更换策略的问题确定为单个零件期望损失最小的一个优化问题。首先求出刀具故障和非刀具故障两种情况的总故障间隔的分布函数。然后列出以单个零件的期望损失为目标函数，关于检测间隔和刀具定期更换间隔为变量的目标函数方程建立了一个单目标的期望值模型。最后，利用计算机采用穷举搜索法
2、求得模型一的最优解为每生产18个零件检查一次，定期更换刀具间隔u为360，相应的单个零件的最小费用C为4.595元。针对问题二：我们采用分摊法建立了单个零件的效益函数。首先，求出在一个预防性换刀周期内刀具故障出现次数的数学期望。然后以费用多样性建立了两个过渡模型作为费用多样性问题的特殊情况的单目标函数。最后，综合这两个过渡模型，建立了以每个零件的平均费用为目标函数的单目标最优化模型。用穷举法求得检查间隔n为27，换刀间距u为297为问题二的最好检查间隔和换刀策略，相应的单个零件的最小费用C为9.216元。针对问题三：在问题二的建模基础上，我们增加每次检查零件的次数来减少误判。首先根据是否发生刀
3、具故障分别求出每个零件的损失费用。然后根据期望值对这两种费用进行加权得到一个周期内的平均损失费用。最后，建立用周期内平均损失除以周期长度的单目标优化模型。得到的结果为检查间隔n为29，换刀间距u为319为最优解，相应的单个零件的最小费用C为5.238元。最后，针对问题一的结果，对部分参数进行了灵敏度分析。关键词：卡方拟合正态分布检验 穷举法 单目标期望 灵敏度分析1.问题重述1.1 问题背景一个基于小型控制的自动化系统，应该能结合其所使用的输入输出模块、操作仪器设备和网络元器件，以此构成一个经济的自动化解决方案在这方面，有大量适用于各种专业技术规范的模块化零部件可供使用，在加工机床自动化控制功
4、能的范围内，需要针对机床的运动定位数据、原材料长度数据、工作时的温度数据和加工的工件数量，及零件的好坏等进行采集和汇总，及时的检验生产的质量的好坏，便于对机器进行修理，减少不必要的损失，以提高经济效益。1.2 问题提出一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表1。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。 已知生产工序的费用参数如下： 1、故
5、障时产出的零件损失费用 f=200元/件； 2、进行检查的费用 t=10元/次； 3、发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000元/次(包括刀具费)； 4、未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次。1.3 需要解决的问题假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障仃机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。在
6、的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益。 表 1 100次刀具故障记录(完成的零件数)4593626245425095844337488155056124524349826407425657065936809266531644877346084281153593844527552513781474388824538862659775859755649697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061064841204476545643392802466875397905816217245315125774
7、964684995446457645583787656667632177153108512.问题分析2.1问题一的分析由于刀具损坏和其他故障使工序出现故障，工序出现故障是随机的，工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。当发现零件不合格时认为工序发生故障并停机检查。并计划在刀具加工一定件数后定期更换刀具。对于每一把刀具其可能加工的零件数都是相互独立的，呈现出一个随机的分布。题目要求我们设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。效益最好即为每个零件的损失费最少。损失费用有刀具在未发生故障而采取预防性更换的损失费用和刀具发生故障而带来的损失费用两部分组成。给定检查间隔，对零件做检查，若刀具正常则不干
8、涉设备的工作，到了定期更换刀具的时期，即使设备未出现故障，也要更换刀具。由于可能发生刀具故障和非刀具故障，在这里我们假定发生故障后无法判断是刀具故障还是非刀具故障，首先求出两种故障下的总的分布函数。于是以每一个零件的平均费用作为目标函数，那么费用就可以用非刀具故障和无非刀具故障两种情况下的总的分布函数求出损失费用后除以一个换刀周期的平均间距求得。故障可能出现在预防性换刀之前，也有可能出现在预防性后。我们对这两种情况分别作考虑，在知道了刀具寿命的分布函数之后，便可以通过分布函数求得此时这两种情况下的损失费用。然后考虑刀具更换周期，由于假设其他随机原因对任一零件出现故障的几率相同且相互独立，对于刀
9、具更换周期来说，因为它是的函数，所以也是随机变量，求其数学期望值可以求出期望周期长。所以我们确定目标函数为：最后，通过对概率分布的分析，初步的确定一个检查间隔和预防性更换刀具周期的区间，再利用有穷列举法得出最优化组合，则认为该组合为问题一的解。2.2问题二的分析在问题一的基础上，我们主要考虑有题目中所说的两种误判，一种情况是工序正常时检查到不合格品误判停机，这将会使检查的费用增加。另一种情况是在工序故障时检查到合格品，这种情况下，零件将会继续生产直到下一检查的到来，因此，生产的不合格品损失将会增加。这样就使得不能随便停机检查，但是由于刀具正常产出的产品是合格品的为98%，只是在刀具损坏产出的产
10、品合格率变化较大，因此在刀具好而误判是坏的概率也不大，就可以采取与问题一相同的处理方法，假设一个更换周期，再来确定更换次数与间隔。然后对工序发生故障的时间进行分析，得出供需发生故障的时间可分为两种情况：一是一个周期内未发生故障，二是在一个周期内工序发生故障。对这两种情况分别求出最小成本，便可求出目标函数。图1 问题二分析图2.3问题三的分析 对于问题三，就是对问题二的检查中做出更为全面的考虑。我们首先对零件的检查次数作考虑，可以对零件进行检查两次，也可以检查三次，实际上，由于时间因素，我们对进行两次检查进行计算，发现误判的的概率已经很小。其次考虑到一般设备在使用期限内可分为稳定期和非稳定期。这
11、里的稳定指故障少，而非稳定指故障多。我们考虑在问题二的检查方式上加以改进得到更好的经济效益，我们考虑采用不相等间隔的检查周期，在问题（1）和问题（2）中，我们得知：无论检查周期的长短都要检查n个零件，但是实际上，随着检查周期的不断缩短，检查的零件数n也要减小；其次由于考虑到新的刀具在生产的初期产生不合格零件的概率相对较小，若在开始加大检查间隔会减少损失费，以后逐渐减少检查的间隔，采取不等距检查的策略来降低损失费用，即在稳定期内检查时间间隔大，在非稳定期内检查间隔小，由刀具失效概率函数可知检查工序出现故障间隔是随着换刀周期递减的。3.模型假设与符号说明3.1模型的假设（1）假定在生产任一零件时出
12、现故障的机会均相同；（2）假设工序出现故障是完全随机的；（3）假设题目所给的数据真实可靠，且不考虑其他的费用；（4）假设工序在发生故障后，无法判断是刀具故障还是非刀具故障；（5）假设非刀具故障在任一零件处发生的概率均相同；（6）假设从换上新刀到下一次工序故障或预防性换刀构成一个周期；3.2符号的说明符号符号说明 预防性换刀的固定间隔(刀具更换周期)刀具更换周期的长度的平均值检查的固定间隔预防性换刀对的间隔中检查的次数一个周期内合格零件件数故障时产出的每件零件损失费用 元/件每次进行检验的费用 元/次每次发现故障进行调节使恢复正常的平均费用（包含刀具费）元/次每次未发现故障时更换一把新刀具的费用
13、 元/次刀具出现故障后生产合格零件的概率 刀具没有出现故障时生产合格零件数 工序正常而误认为有故障停机产生的损失费用 元/次一个周期内总的故障间隔每个零件的平均费用工序中每一零件处非刀具故障率一个周期内平均费用在一周期内未出现故障所产生的费用一周期内出现故障所产生的费用出现非刀具故障在一周期内所产生的零件数出现非刀具故障时在一周期内所生产的零件数的概率密度函数间隔期（0，u）刀具故障发生次数的数学期望的分布函数工序故障是由刀具故障引起的的概率刀具未故障引起的损失由刀具发生故障引起的损失4.数据处理与假设检验由附表1的100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数，为了粗略了解这些数据的分布
14、情况，我们先根据所给数据画直方图：图2 刀具故障时已生产的零件个数的频数直方图以上的直方图可以看出它的分布与正态分布类似，通过对100次刀具故障记录的完成零件数观察研究及用Excel处理验证，可以估计刀具故障分布函数，其服从正态分布，根据记录数据求出了，则有发现这100次刀具故障时完成的零件数近似服从的正态分布为使保证正确性，同样运用Excel中进行正态性检验，我们选用雅克贝拉检验和卡方优度检验，经软件处理得到如下表格表2 雅克-贝拉检验和卡方拟合优度检验结果雅克-贝拉检验卡方拟合优度检验数据100数据个数100零假设是正态分布平均值600显著性水平0.05标准偏差196.6291695最小值84中间计算最大值1153数据个数100区间个数16平均值600区间宽度66.875标准偏差196.6291695假设检验偏度-0.011165425零假设服从正态分布峰度0.441397949自由度9JB统计量0.813878402卡方统计量2.521839719p值0.665684663p值0.980290368检验结果接受零假设显著性水平0.05结果接受零假设雅克-贝拉检验综合考虑了正态分布的宽度和偏斜对分布的影响，由结
