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1、 题目1证明题 一般 使 内至少存在一点上正值 连续 则在在设 bb dxxfdxxfdxxf babaxf a a 2 1 解答 从而原式成立 又 即 使在一点由根的存在性定理 存 时 由于 证 令 a a a a a a a x a 2 0 F b a 0 0 0 dxxf dxxfdxxf dxxfdxxfdttf dttfdttf dttfbF dttfaF xfbax dttfdttfxF b bb b b b bx Q 题目2证明题 一般 证明 且上可导在设 2 2 0 ab M dxxf afMxfbaxf b a 解答 有由定积分的比较定理 又 则微分中值定理 上满足在由假设可
2、知证明 2 2 M x f x a ab M dxaxMdxxf axMxf bax axf afxfxf xaxfbax b a b a 题目16证明题 证明 上连续 在设 aa dxxafxfdxxf aaxf 0 2 0 2 0 2 0 解答 则令 由于 a aaa a a aa dxxafxf dttafdxxfdxxf dtdxtax dxxfdxxfdxxf 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 题目5证明题 为正整数 证明 设 sin 2 cos 1 2 2 kxdx kxdx k 解答 0 2 0 2 2sin 4 1 2 1 2 2cos1 sin 2 0 2 0
3、2 2sin 4 1 2 1 2 2cos1 cos 1 2 2 kx k x dx kx kxdx kx k x dx kx kxdx 题目18证明题 一般 试证 且上有一阶连续导数在设 1 1 0 1 1 0 2 1 0 dxxf ffxf 解答 证明 1 1 0 1 2 1 0 1 2 2 1 2 01 2 1 1 0 1 0 1 0 2 2 22 ff xf dxdxxfdxxf xfxf xfxfxf 题目3证明题 则 上连续 在区间若函数 b a b a dxxabafabdxxf baxf 解答 时 时且 则作代换 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 dxxabaf ab d
4、ttabaf ab dtabtabaf dxxf tax tbx dtabdxtabax b a 题目21证明题 一般 证明 上连续在设函数 2 0 2 0 cos 4 1 cos 1 0 dxxfdxxf xf 解答 得证 则令在后一积分中 为周期的函数是以显然证 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 0 cos 4 1 cos cos 4 cos cos 2 cos cos cos cos cos cos cos 2 cos 2 cos cos dxxfdxxf dxxf dxxfdxxf dxxf dxxfdttf t dtf d
5、xxf tx dxxfdxxf dxxf dxxf xf 题目22证明题 一般 则连续 且在若函数 0 xfdttfxfRxf x a 解答 已知 常数 考虑函数 有且 可导在 连续在 Rxxf c ceaf dttfaf ceexfc cxp exfxfexfexfxp Rxexfxp xfxf xfdttfxfRx Rxf Rxf x a a xx xxx x x a 0 0 0 0 f x 0 0 1 题目23证明题 一般 证明 为周期的连续函数 是以设 2 sin 0 2 0 dxxfxdxxfxx xf 解答 则令 证明 由于 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 2 0 2 si
6、n sin sin sin sin sin sin sin sin dxxfx dxxfxxdxxfxx dxxfxx dxxfxx dxxfxx dttftt xt dttfttdxxfxx dxxfxx 题目24证明题 一般 成立 都有不等式对于任何试证明 上连续且单调递减在设 1 0 0 1 0 1 0 dxxfqdxxf q xf q 解答 故单调递减又 即由于 从而则令 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 dttfqdtqtfqdxxf dttfdtqtf tfqtfxf tqtq dtqtfqqdtqtfdxxf qdtdxqtx q q 题目25证明题 一
7、般 证明 且上单调增加在设 2 0 bfaf abdxxfafab xfbaxf b a 解答 有并相加分别代入上式将 故又因 之间与在 点处的展式为在 时由假设证明 2 4 2 2 2 2 2 0 xt 2 1 2 ab bfaf dxxf dxxfabafbf dxxf xdxxfbadxxfdxafbf xf xxfbaxfafbf atbt xtxfxftf f xtfxtxfxftf xtfbat afabdxxf afxfaxbax b a b a b a b a b a b a b a 题目26证明题 一般 上单调增在证明 上连续且单调递增 在设函数 1 baxF afaF bx
8、adttf ax xF baxf x a 解答 上单调增 在 从而 故满足且单调增 上连续 则在从而连续在点 时 当 由积分中值定理内的每个证明 对 b x a 0 x F f x f x a f x bxa 1 1 lim lim a ax x a a x 1 1 2 2 axax baxF ax fxf axf axax xf dttf axax xf xF baxFaxF aFaffxF ff ax dttf ax xF xba x a x a Q 题目27证明题 一般 证明 上二阶可导且在设 2 0 ba fabdxxf xfbaxf b a 解答 由题设知 之间与介于 有处展开在将
9、2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 2 ba x 2 2 1 2 2 2 2 21 2 ba fab a b ba x ba f ba fabdxxf ba x ba f ba fxf f ba xf ba x ba f ba fxf ba xfbax b a 题目28证明题 一般 内满足在 证明函数可导 且上连续 在在设 0 0 xFba dt ax tf xF xfbabaxf x a 解答 又 内递减在 故时 由已知 b a 0 F 0a x f f b a x 0 a 2 2 xx x xa baxfxfbax ax fxf x ax faxxfax ax dttfxfax xF
10、x a 题目29证明题 一般 则 使同时至少存在一点 上连续 且对于一切在试证 如果 0 0 f b a 0 b a dxxf xfbaxbaxf 解答 于是 时 有 当则存在 点连续 且在由证明 0 0 2 0f x x0 b a 0 b a b a dxxf fdxfdxxf fxf 题目30证明题 一般 试证 ac bc b a dxxfdxxcf 解答 时 时且 则令 ac bc bc ac bc ac b a dxxf dttf dttf dxxcf bctbx actax dtdxtcxxct 题目31证明题 一般 使内至少存在一点试证在 上可微 且满足等式 在设函数 f f 1
11、0 0 2 1 1 0 2 1 0 dxxxff xf 解答 即 有上用罗尔定理在对函数 则令 即成立 使有则由积分中值定理 由于 1 0 f f 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 2 1 2 1 2 1 0 0 2 1 1 1 1 1111 1 2 1 0 ff F xF FFxxfxF ffff dxxxff 题目32证明题 一般 证明 都有上的连续函数 并且对于每一个在上连续在设 b x a 0 0 xf dxxfxgxg babaxf b a 解答 这与题设矛盾故 且其中 如下构造连续函数 从而 有内即在区间时当 存在故对连续 处在由于不妨设 使设有若不然证明 bxa 0
12、 0 2 0 lim lim x xx 0 x x x b x x x 0 0 2 2 f x f x x x x x 0 2 0 0 x x 0 x x 00 00 00 0 0 0 000 0 0 00 00 0 0 0 0 00 xf dxxh xf dxxfxh dxxfxg xhxh xh xh a xg xg xf xf xf xf xxfxf xfbax b a xxxx 题目33证明题 难 则 且上有连续导数在设函数 dxxf ab dxxfxf afxfbaxf b a b a 2 2 0 解答 由柯西不等式 有 则 令 dxxf ab dxxfxf dxxfab dxxFd
13、xdxxFbF bFdxxFxFdxxfxf xf afxf a x tf dttfx xdttfxF b a b a b a b a b a b a b a b a x a x a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F ba 题目34证明题 难 使存在一个 则在该区间上必上二阶连续可微 其中在设 3 1 2 1 0 0 33 22 b a fab afabfbaafbbfdxxf babaxf 解答 于是 使连续 于是存在在由于 令 其中 代入上式 并相减 有 分别将令 公式 有处展成二阶在将 则令 3 1 2 1 x max minm 3 1 2 1 b 0 a 0 3 1 2 1 0
14、0 x t x 3 1 3 1 2 1 0 0 33 22 b a 0 33 1 3 2 3 0 33 1 3 2 3 0 23 1 3 2 333 21 21 1 3 2 322 b a 21 1 3 2 3 22 0 33 3 2 fab afabfbaafbbfdxxf fabfafb f ab fafb baf abMfafbabm ffM ff fafbafabfbaafbbfdxxf fafb bfbafaaafbbfbFaF btat fab txFtxtFtxtFtFxF TaylorbtatxxF xfxFxfxF xfxFaFdttfxF x a 题目35证明题 难 则 对
15、称 且关于若 2 2 bT a b T b a dxxfdxxfdxxf bTaTxxf 解答 则 注意到令 证明 因为 b a b T T a b T bT a b T b T b T b T bT T bT T T a bT a dxxf dxxfdxxfdxxf dxxfdxxf dxxf dttfdttTfdxxf tftTftTx dxxfdxxfdxxf 2 2 2 2 2 2 2 2 2 题目36证明题 难 试证 2211 1 0 4 2 0 4 dx x x dx x I 解答 时 时 则令 时 时 当 则令 22 2 2 22 1 2 22 1 2 1 2 1 0 1 2 1
16、 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 11 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 11 2 0 2 0 2 2 2 0 4 2 0 4 2 0 4 0 4 2 0 4 2 0 2 4 0 4 2 arctgu du u I ux ux x xu x x x xd dx x x x dx x x dx x x dx x I dx x x dt t t dt t t dx x tx tx dt t dx t x 题目37证明题 难 为奇函数 偶函数的原函数中有一 数皆为偶函数 证明奇函数的一切原函 解答 偶函数 即它的一切原函数都是 均有切为奇函数时 显然对一 即当 函数 则其它原函数都不是奇 时 但当 是奇函数即 为偶函数时即当 为任意常数 的全部原函数可表示为上有定义 则在设 证明 2 2 0 0 f x f x f x lxl c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xF cdttf cdttf cdttfxF cxfxfxf xF cxF ccxF cxF cxFxF c xF xF dttf dttf dttfxF cdttfxF xfl
