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1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教A版 必修1 主讲 符宣丰电话 13976656149 第一章集合与函数概念 一般地 我们把研究对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 简称为集 也可以描述为 指定的某些对象的全体成为集合 通常用大写字母A B C等表示集合 用小写a b c等表示对应集合的元素 指定 说明 某些对象 具有共同的特征或共同属性 对象 不同集合具有不同内涵 可以是人 物 点或抽象事物等 全体 说明集合是个整体概念 在这个整体中各元素间无先后排列要求 没有一定的顺序关系 1 集合的含义 第一节集合的有关概念 知识点总结 确定性 给定的集合 它的元素必须是确定的
2、 也就是说给定一个集合 按照该集合的构成标准能够明确判定一个对象是否属于这个集合 例如 全世界的高山 就没有确定性 即不能构成集合 但是 全世界1000米以上的高山 有明确的标准 即具有确定性 所以可以构成集合 互异性 一个给定的集合中的元素是互不相同的 即集合中的元素不能相同 例如集合 1 2 3 1 里面有2个相同的元素 1 只取其中一个 即集合应为 1 2 3 含有3个元素 无序性 集合中的元素是无先后顺序的 即集合里的任何两个元素可以交换位置 例如 1 2 3 和 3 2 1 是两个相同的集合 2 集合的 三性 1 根据集合中元素的个数可以将集合分为空集和非空集 2 非空集按集合中元素
3、的个数分为有限集和无限集 当集合中的元素个数有限时即称为有限集 而当集合中个数无限时即称为无限集 对于有限集 由于元素的无序性 如 1 2 3 与 2 3 1 表示同一个集合 但对于具有一定规律的无限集 1 2 3 一般不会写成为 2 3 1 3 集合的分类 判断0与N N Z的关系 4 常见的数集 集合的表示方法常见有 自然语言法 列举法和描述法 以后还会学到Venn图法 1 自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法 使用此方法要注意叙述清楚即可 如被3除余数是2的正整数的集合 5 集合的表示方法 2 列举法 把集合中的元素一一列举出来 并用花括号 括起来表示集合的方法 3 描述法 用集合
4、所含元素的共同特征表示集合的方法 1 具体方法 在 内先写上表示集合这个集合元素的一般符合再划一条竖线 在竖线后面写出这个集合中元素所具有的共同特征 2 描述法的一般形式 x I P x 其中X是集合中元素的代表形式 I是元素的取值 或变化 范围 P x 是这个集合中元素所具有的共同特征 可以是一些方程 函数或不等式等 由于集合是一些确定对象的集体 因此可以看成整体 通常用大写字母A B C等表示集合 而用小写字母a b c等表示集合中的元素 元素与集合的关系有两种 如果a是集A的元素 记作 如果a不是集A的元素 记作 例如 用A表示 1 20以内所有的质数 组成的集合 则有3 A 4 A 等
5、等 6 元素与集合的关系 例题1 判断以下元素的全体是否组成集合 并说明理由 1 高个子的同学 2 身高超过170cm的同学 3 中国的 四大发明 4 不超出20的非负数 5 的近似值点评 判断指定的对象能不能构成集合 关键在于能否找到一个明确标准 对于任何一个对象 都能确定它是不是给定集合的元素 第一节集合的有关概念 考试题型及要点解析 1 判断元素是否构成集合 解题要点 利用集合的确定性 判断题设是否有明确的 指标 2 判断元素是否属于集合 解题要点 明确集合元素的特征 判断题设元素是否满足该特征 特别要注意题设中元素的定义范围 例题1 设集合则下列关系中正确的是 例题2 集合 判断下列元
6、素与集合之A间的关系 例题3 请选出以下说法正确的选项的是 3 集合元素的个数及相关问题 解题要点 1 明确集合中元素的组成结构 2 集合中有相同的两个元素 则取其中一个作为该集合的元素即可 例题1 若集合A 1 1 B 0 2 则集合 例题2 已知集合A 1 2 3 4 5 B x y x A y A x y A 则B中所含元素的个数为 A 5个B 4个C 3个D 2个 A 3个B 6个C 8个D 10个 例题3 已知集合P 3 4 5 Q 4 5 6 7 若定义新集合P Q a b a P y A x y Q 则集合P Q中元素的个数为 A 3个B 4个C 7个D 12个 4 集合间的不同
7、表示方法的转换问题 解题要点 明确对应法则 元素构成规律及集合的含义 例题1 用特定的方法表示下列集合 1 A x y x y 5 x y N 列举法 2 B 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 描述法 例题2 用集合语言表示下列集合 1 坐标平面 不在第一 三象限的点的集合 2 所有被3除余1的整数的集合 3 使有意义的实数x的集合 例题3 用列举法表示下列集合 1 A x x 2 x Z 2 5 集合中含有参数问题的处理方法 解题要点 根据题设进行分类讨论 特别要注意将解值进行验证 是否存在两个相同的元素 进而进行舍取 例题1 例题2 例题3 例题4 1 子集的三种语言 第二节集合间的
8、基本关系 知识点总结 2 空集 1 空集的概念 不含任何元素的集合 记作 2 是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 3 实数0与空集是两个不同的概念 不能把0或 0 与空集混为一谈 4 几种常见的空集情况 A 集合的对应法则为方程 其空集的条件是方程无解的时的条件 B 对应法则为函数的空集条件即为函数无意义的条件 C 不等式的空集条件 空集 空集 3 子集的性质 1 任何一个集合是它本身的子集 即可A A 2 对于集合A B C 如果A B B C 那么A C 集合包含传递性 3 对于集合A B C 如果AB BC 那么AC 集合真包含传递性 4 空集是任何集合的子集 即对于任何一个集合A
9、 都有 A 在解决诸如A B或AB类的问题时 必须优先考虑A 时是否满足题意 4 集合子集的个数 1 一个含有n个元素集合的子集有2n 2 一个含有n个元素集合 其中一个元素出现在子集中的次数为2 n 1 3 一个含有n个元素集合的真子集有2n 1个 4 一个含有n个元素集合的非空子集有2n 1个 5 空集的子集有只有它本身一个 6 集合A有n n 1 个元素 集合C有m m 1 个元素 满足A B C 这样的集合B有2m n个 例题1 判断下列两个集合之间的关系 1 A 2 3 6 B x x是12的约数 2 A 0 1 B x x2 y2 1 y N 3 A x 10 y 0 第二节集合间
10、的基本关系 考试题型及要点解析 1 判断两个集合之间的关系 解题要点 考察其中一个集合的所有元素是否全都在另一个集合 考察其中一个集合是否为空集 例题2 下列关系中哪些是正确的 1 a b b a 2 a b b a 3 0 4 0 0 5 0 例题3 设集合P x x 1 Q x x2 x 0 则下列结论正确的是 A P QB P QC PQD QP 例题4 集合M x y x 3 2 y 2 2 0 N 2 3 则M与N之间是什么关系 2 集合子集的确定及个数问题 例题1 写出集合A 1 2 3 的所有子集 并求所有子集中元素的和 解题要点 1 为避免有重有漏 一般先列出空集 含有1元素的
11、集合 逐渐累加元素个数的集合 2 按总结公式计算子集或真子集的个数 例题2 设集合A 1 2 3 4 5 6 B 4 5 6 7 8 若S A且S B 则满足条件的集合S有几个 A 57B 49C 8D 6 例题3 满足集合 x x2 1 0 A x x2 1 0 的集合A的个数是 A 1B 2C 3D 4 例题4 已知集合A x x2 3x 2 0 x R B x 0 x 5 x N 则满足条件A C B的集合C的个数为 A 1B 2C 3D 4 例题5 若规定E a1 a2 a3 a10 的子集 ai1 ai2 ain 为E的第K个子集 其中K 2i1 1 2i2 1 2in 1 则 1
12、a1 a3 是E的第 个子集 2 E的第211个子集为 3 关于重新定义集合的子集问题 解题要点 必须理解重新定义的含义 明确新定义集合元素的构成并能列举出 例题1 设集合P Q为两个非空实数集合 定义集合R P Q a b a P b Q 若P 0 2 5 Q 1 2 6 则集合R的子集个数 A 29B 28C 27D 26 例题2 新定义集合P Q之间的运算 P Q x x x1 x2 x1 P x2 Q 若P 1 2 3 Q 1 2 则集合P Q中最大的元素为 集合P Q的所有子集个数为 4 数行结合解集合问题 解题要点 利用函数图像 数轴或Venn图解题 能起到事半功倍的效果 本节主要
13、利用数轴标示出与不等式相关的集合 从而得到集合的运算结果或集合中所含参数的范围 用数轴解题时 特别要注意是实点还是虚点 例题2 已知集合A x x2 B x 4x p 0 当B A时 求p的取值范围 例题1 设集合A x x a 2 x R 若A B时 则a b必满足 A a b 3B a b 3C a b 3D a b 3 例题3 若不等式 x 1成立时 不等式 x a 1 x a 4 0也成立 求a取值范围 5 求集合中所含参数的问题 解题要点 利用数形集合的思想 集合元素互异性及子集性质进行解题 特别要注意所求参数是否会让集合为空集 例题1 已知集合A a a b a 2b B a ac
14、 ac2 若A B 求c的值 例题2 已知集合A x x2 ax 1 0 x R B 1 2 若AB 求a的取值范围 例题3 已知集合A x 2 x 3 B 1 2 集合B x m x 2m 1 若B A 求m的取值范围 例题4 已知集合A x x2 3x 2 0 B x mx 2 0 若B A 求实数m构成的集合 1 集合的三种运算 第三节集合间的基本运算 知识点总结 2 集合运算的性质 3 集合运算中元素个数 用card来表示有限集合A中元素的个数 记为card A 例如集合A 0 1 2 则card A 3 1 两个集合并集元素个数 card AUB card A card B card
15、 A B 2 两种变形 card A card B card AUB card A B card A B card A card B card AUB 3 三个集合并集元素个数card AUBUC card A card B card C card A B card A C card B C card A B C 第三节集合间的基本运算 考试题型及要点解析 1 集合交集的相关问题 解题要点 找出两个集合公共的部分组成集合 即为其交集 对有限集合可用列举法表示出集合进而找出公共的的元素 对于不等式构成的集合 借助数轴找出2个集合在数轴上重叠的部分 特别要注意端点用实点还是虚点 例题1 已知集合S
16、 x R x 1 2 T 2 1 0 1 2 则S T 例题2 若集合A x x2 x 0 B x 0 x 3 则A B 例题3 集合P x Z 0 x 0 M x Z x2 9 则P M 例题4 集合P x 2x 1 0 M x x 1 2 则P M 例题5 集合P y y x 2 M y y x2 1 则P M 2 集合并集的相关问题 解题要点 对两个集合的元素进行组合 将相同的元素舍去 对于不等式构成的集合 借助数轴找出各自涉及的部分组成新的范围 特别要注意端点用实点还是虚点 例题3 集合A x 1 2 x 2 B x x2 1 则A B 例题1 集合P x x 0 M x 1 x 2 则P M 例题2 已知集合M N为集合U的非空真子集 且M N不相等 若N uM 则M N A MB NC UD 例题4 集合A x 1 2x 1 3 则A B 例题5 集合A x2 2x 1 4 B x 5 1 x 9 若A B 9 则A B 3 求集合的补集的相关问题 解题要点 从全集中去掉所有属于该集合的元素 剩下的元素组成的集合即为该集合在全集中的补集 例题1 设集合U 1 2 3 4 A
