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1、投资中的数学问题 主要内容 等比级数货币的时间价值年金问题投资决策 等比级数 等比数列 等比数列之和 就有 注意到公式 于是 2020 5 25 货币的时间价值 1 概念和记号P 本金 投资金额n 投资期限r 利率 单位本金在单位时间 期 中的获利 衡量投资价值的重要指标I 利息 投资的收益 I f P n r S 本利和 S P I 2020 5 25 货币的时间价值 2 概念和记号利息公式1 单利公式 当n 1时 单利公式存在缺陷 复利公式 复利利息公式 2020 5 25 说明不难证明 复利公式和单利公式中的利率r为单期利率 一般根据年利率折算而来 年利率和单期利率 例银行年利率为2 2
2、5 一年结息一次 若三年后要得到本利和600元 应存入多少钱 即应存入561 26元 解设存入钱数为P 由 即约需26年 例若本金700元 存一年期 利率为2 25 若要本利和达到1240元 需存多少时间 解 货币的时间价值 现值 n期后持有的货币 面值S 现在的价值时间和利率是货币价值变化的 幕后推手 背景 货币的数目随着时间 n 而变终值 现有货币 面值P 在n期后的数值 例一处房产价格为21万元 据预测三年后价格将上涨到23万元 某人欲向银行贷款来进行此项投资 设银行贷款利率为5 按复利计算 此项投资能否盈利 现值P小于23万元投资额 不能盈利 终值大于23万元 即3年后归还银行的本利和
3、超过那时房屋的价值 不能盈利 解1三年后23万元的现值为 解221万元3年后的终值为 2020 5 25 例 某地2009年人均收入是1999年的8倍 求10年内年均收入平均年增长率 如果平均年增长率保持不变 则2020年是2009年的几倍 复利公式中r的多重解释利率增长率收益率 解 年金问题 A A A A A 1 2 n n A A A A A 1 2 n 1 n 期初 期末 年金 定额定期的投资行为记号 A 每期投资额 r 单期利率 n 投资期数投资可发生在每期之初或每期之末 发生在期初年金的终值各期的终值 求和得 发生在期末年金的终值各期的终值 求和得 年金终值公式的统一表示 对发生在
4、期初的年金 t取1 对发生在期末的年金 t取0 利用年金终值公式 得 例零存整取从年初开始 每月存入100元 按月息0 1425 复利记息 到年底的本利和是多少 解这是期初发生的年金问题 本利和为其终值 其中 年金的现值由现值公式 年金的现值为 对发生在期初的年金 t取1 对发生在期末的年金 t取0 例房屋抵押贷款某人贷款购房 采用等额本息还款 若借款70万元 20年还清 月利率为0 63 每月应还款多少 解每月末的还款可视作发生在期末的年金 其现值等于贷款总额 由现值公式 解得 投资决策 投资回报率记号 投资I 元 投资行为结束时回收V 元 称为毛收益 净收益f 元 扣除本金后的收益 f V
5、 I 定义 单位投资的净收益为投资回报率 记为R 对于期限相同的不同投资方案 可根据它们的投资回报率大小来判别项目的优劣 有 第二项回报率高 优于第一项投资 例有两套房产 一套报价100万 据评估3年后升值为110万 另一套报价50万 3年后值58万 哪项投资更优 解分别记两项投资的投资额 毛收益 净收益 回报率为 复杂投资决策举例 例某药厂贷款进行技术改造 有两种方案 方案1 投资100万元购买新设备 每年年末可增收20万元 方案2 投资80万元更新设备 每年初可节省16万元的检修费 若这些设备均可使用8年 银行贷款利率为9 哪个方案经济效益更好 对投资期限不同的投资 需根据货币时间价值的观
6、点具体问题具体分析 解比较8年后的收益 方案1 投资100万元8年后的价值为 万元 8年后增收的终值为 万元 净收益为 万元 方案2 投资8年后的价值为 万元 8年后节省检修费的终值为 万元 方案2的净收益为 万元 所以方案2优于方案1 例某厂试制新产品 投产后每年末可增加收益10万元 为生产该产品须增加某些设备 若购置需一次付款25万元 若租赁这些设备 每年初付租金3 3万元 若厂方用贷款措筹资金 贷款复利年利率为9 8 设设备的寿命为10年 哪一方案更好 万元 解用现值的观点讨论 10年每年末增收10万元的现值为 购置设备或租赁设备净收益的现值分别为 万元 万元 万元 方案2更好 每年初付
7、租金的现值为 2020 5 25 现金流对于存在多次投资 多次收益且使用贷款的复杂投资则一般先构造投资期限内的现金流 F0 F1 Fn Fi 0 收益金额 Fi 0 投资金额 i 0 n例 某厂试制新产品 投产后每年末可增加收益10万元 为生产该产品须增加某些设备 需一次付款25万元 设设备的寿命为10年 则该项投资的现金流为 25 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 例 房地产开发的现金流 2020 5 25 内部收益率设某项投资的现金流为 F0 F1 Fn 则称方程的解为该项投资的内部收益率 是比较投资方案的重要依据 例 有两个投资方案方案1 投资41万 每年收益5万 连续10年 方案2 投资32万 每年收益5万 连续14年 比较投资收益 2020 5 25 解 方案1的现金流为 41 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 对应方程等价于 采用近似计算 如二分法 可解得y 3 78
