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1、名师整理 助你成功 高中数学单元检测 第三章函数的应用人教版 A 必修 1 一 选择题 1 下列方程在 0 1 内存在实数解的是 A x2 x 3 0 B x 1 1 0 C 2 1 x ln x 0 D x2 lg x 0 2 若函数f x 是定义在R 上的偶函数 在 0 上是减函数 且一个零点是2 则使得 f x 0 的 x的取值范围是 A 2 B 2 2 C 2 D 2 2 3 若函数 f x ax x a a 0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 A a a 1 B a a 2 C a 0 a 1 D a 1 a 2 4 若函数 f x 的图象是连续不断的 且 f 0
2、0 f 1 f 2 f 4 0 则下列命题正确的 是 A 函数 f x 在区间 0 1 内有零点 B 函数 f x 在区间 1 2 内有零点 C 函数 f x 在区间 0 2 内有零点 D 函数 f x 在区间 0 4 内有零点 5 函数 f x 0 ln 2 0 3 2 2 xx xxx 的零点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 6 图中的图象所表示的函数的解析式为 A y 2 3 x 1 0 x 2 B y 2 3 2 3 x 1 0 x 2 C y 2 3 x 1 0 x 2 D y 1 x 1 0 x 2 7 当 x 2 4 时 下列关系正确的是 名师整理 助你成功 A x2 2x
3、B log2x x2C log2x x 1 D 2x log2x 8 某种动物繁殖数量y 只 与时间 x 年 的关系为y alog2 x 1 设这种动物第1 年 有 100 只 则第7 年它们繁殖到 A 300 只B 400 只C 500 只D 600 只 9 某商场出售一种商品 每天可卖1 000 件 每件可获利4 元 据经验 若这种商品 每件每降价0 1 元 则比降价前每天可多卖出100 件 为获得最好的经济效益每件单价应降 低 元 A 2 元B 2 5 元C 1 元D 1 5 元 10 某市的一家报刊摊点 从报社买进一种晚报的价格是每份是0 20 元 卖出的价格 是每份0 30 元 卖不
4、掉的报纸可以以每份0 05 元的价格退回报社 在一个月 30 天计算 里 有 20 天每天卖出量可达400 份 其余10 天每天只能卖出250 份 但每天从报社买进 的份数必须相同 为使每月所获利润最大 这个摊主每天从报社买进 份晚报 A 250 B 400 C 300 D 350 二 填空题 11 已知函数f x x2 ax a 1 的两个零点一个大于 2 一个小于2 则实数 a 的取 值范围是 12 用 100 米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈 欲使羊的活动范围最大 则应取矩形长 米 宽米 13 在国内投寄平信 将每封信不超过20 克重付邮资80 分 超过 20 克重而不超过40 克重付邮资
5、160 分 将每封信的应付邮资 分 表示为信重x 0 x 40 克 的函数 其表达 式为 14 为了预防流感 某学校对教室用药熏消毒法进行消 毒 已知药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量y 毫 克 与时间 t 小时 成正比 药物释放完毕后 y 与 t 的函数关 系式为 at y 16 1 a 为常数 如图所示 根据图中提供的信 息 回答下列问题 1 从药物释放开始 每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间 t 小时 之间的函数关系 式为 2 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到0 25 毫克以下时 学生方可进教室 那 第 14 题 名师整理 助你成功 从药物释放开始 至少需要经过小时后
6、学生才能回到教室 15 已知 f x x 1 x 1 若关于x 的方程 f x x m 有三个不同的实数解 则实数 m 的取值范围 16 设正 ABC边长为 2a 点 M 是边 AB上自左至右的一个动点 过点 M 的直线 l 垂直与 AB 设 AM x ABC内位于直线l 左侧的阴 影面积为y y 表示成 x 的函数表达式为 三 解答题 17 某农家旅游公司有客房300 间 日房租每间为20 元 每天都客满 公司欲提高档 次 并提高租金 如果每间客房日房租每增加2 元 客房出租数就会减少10 间 若不考虑 其他因素 旅社将房间租金提高到多少时 每天客房的租金总收入最高 18 A 市和 B 市分
7、别有某种库存机器12 台和 6 台 现决定支援C市 10 台机器 D 市 8 台机器 已知从A 市调运一台机器到C 市的运费为400 元 到 D 市的运费为800 元 从 B 市调运一台机器到C市的运费为300 元 到 D 市的运费为500 元 1 若要求总运费不超过9 000 元 共有几种调运方案 2 求出总运费最低的调运方案 最低运费是多少 名师整理 助你成功 19 某地西红柿从2 月 1 号起开始上市 通过市场调查 得到西红柿种植成本Q 单位 元 100 kg 与上市时间t 距 2 月 1 日的天数 单位 天 的数据如下表 时间 t50 110 250 成本 Q150 108 150 1
8、 根据上表数据 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的 变化关系 Q at b Q at2 bt c Q a bt Q a logb t 2 利用你选取的函数 求西红柿种植成本Q 最低时的上市天数及最低种植成本 20 设计一幅宣传画 要求画面面积为4 840 cm 2 画面的宽与高的比为 1 画 面的上 下各留8 cm 空白 左 右各留5 cm 空白 怎样确定画面的高与宽尺寸 能使宣传 画所用纸张面积最小 名师整理 助你成功 参考答案 一 选择题 1 C 解析 易知 A B D 选项对应的函数在区间 0 1 内的函数值恒为负或恒为正 当x 是接近 0 的正数时 2 1
9、x lnx 0 当 x 接近 1 时 2 1 x lnx 0 所以选 C 2 D 解析 因为函数f x 是定义在R 上的偶函数且一个零点是2 则另一个零点为 2 又 在 0 上是减函数 则f x 0的 x 的取值范围是 2 2 3 A 解析 设函数 y ax a 0 且 a 1 和函数 y x a 则函数 f x ax x a a 0且 a1 有两个零点 就是函数y ax a 0 且 a 1 与函数y x a 的图象有两个交点 由图象 可知当 0 a 1 时两函数只有一个交点 不符合 当a 1 时 因为函数y ax a 1 的图 象过点 0 1 而直线 y x a 所过的点 0 a 一定在点
10、0 1 的上方 所以一定有两个交 点 所以实数a 的取值范围是 a a 1 4 D 解析 因为 f 0 0 f 1 f 2 f 4 0 则 f 1 f 2 f 4 恰有一负两正或三个都是 负的 函数的图象与x 轴相交有多种可能 例如 所以函数 f x 必在区间 0 4 内有零点 正确选项为D 第 4 题 名师整理 助你成功 5 C 解析 当 x 0 时 令 x2 2x 3 0 解得 x 3 当 x 0 时 令 2 ln x 0 得 x 100 所以已知函数有两个零点 选C 还可以作出f x 的图象 依图判断 6 B 解析 取特殊值x 1 由图象知y f 1 3 2 据此否定A D 在取 x 0
11、 由图象知 y f 0 0 据此否C 故正确选项是B 或者勾画选项B 的函数图象亦可判断 7 B 解析 当 x 2 4 时 x2 4 16 2x 4 16 log2x 1 2 x 1 2 1 4 1 显 然 C D 不正确 但对于选项A 若 x 3 时 x2 9 23 8 故 A 也不正确 只有选项B正 确 8 A 解析 由题意知100 alog2 1 1 得 a 100 则当 x 7 时 y 100 log2 7 1 100 3 300 9 D 解析 设每件降价0 1x 元 则每件获利 4 0 1x 元 每天卖出商品件数为 1 000 100 x 经济效益 y 4 0 1x 1 000 10
12、0 x 10 x2 300 x 4 000 10 x2 30 x 225 225 4 000 10 x 15 2 6 250 x 15 时 ymax 6 250 每件单价降低1 5 元 可获得最好的经济效益 10 B 解析 若设每天从报社买进x 250 x 400 x N 份 则每月共可销售 20 x 10 250 份 每份可获利润0 10 元 退回报社10 x 250 份 每份亏损0 15 元 建立月纯利润函数 f x 再求 f x 的最大值 可得一个月的最大利润 设每天从报社买进x 份报纸 每月获得的总利润为y 元 则依题意 得 y 0 10 20 x 10 250 0 15 10 x 2
13、50 0 5x 625 x 250 400 名师整理 助你成功 函数 y 在 250 400 上单调递增 x 400 时 ymax 825 元 即摊主每天从报社买进400 份时 每月所获得的利润最大 最大利润为825 元 二 填空题 11 参考答案 1 解析 函数 f x x2 ax a 1 的两个零点一个大于2 一个小于2 即 f 2 0 可 求实数 a 的取值范围是 1 12 参考答案 长宽分别为25 米 解析 设矩形长x 米 则宽为 2 1 100 2x 50 x 米 所以矩形面积y x 50 x x2 50 x x 25 2 625 矩形长宽都为 25 米时 矩形羊圈面积最大 13 参
14、考答案 f x 40 20160 20 008 x x 解析 在信件不超过20 克重时 付邮资80 分 应视为自变量在0 x 20 范围内 函 数值是 80 分 在信件超过20 克重而不超过40 克重时 付邮资160 分 应视为自变量在20 x 40 范围内 函数值是160 分 遂得分段函数 14 参考答案 1 y 1 0 16 1 1 0 010 1 0 t tt t 2 0 6 解析 1 据图象 0 t 0 1 时 正比例函数y kt 图象过点 0 1 1 所以 k 10 即 y 10t 当 t 0 1 时 y 与 t 的函数 y at 16 1 a 为常数 的图像过点 0 1 1 即得
15、1 a1 0 16 1 所以 a 0 1 即 y 1 0 16 1 t 2 依题意得 1 0 16 1 t 0 25 再由 y lg x 是增函数 得 t 0 1 lg 16 1 lg 4 1 lg 4 1 0 即得 t 0 1 0 5 所以 t 0 6 15 参考答案 1 m 4 5 解析 由 f x x 1 x 1 得函数 y f x 的图象 如图 按题意 直线y x m 与曲线 y x 1 x 1 有三 x2 1 x 1 1 x2 x 1 第 15 题 名师整理 助你成功 个不同的公共点 求直线y x m 在 y 轴上的截距m 的取值范围 由得 x2 x m 1 0 1 4 m 1 5
16、4m 由 0 得 m 4 5 易得实数m 的取值范围是 1 m 4 5 16 参考答案 y axaaaxx axx 2 332 2 3 0 2 3 22 2 解析 当直线 l 平移过程中 分过AB中点前 后两段建立y 与 x 的函数表达式 1 当 0 x a 时 y 2 1 x 3 x 2 3 x 2 2 当 a x 2a 时 y 2 1 2a 3 a 2 1 2a x 3 2a x 2 3 x 2 2 3 ax 3 a2 所以 y axaaaxx axx 2 332 2 3 0 2 3 22 2 三 解答题 17 参考答案 每间客房日租金提高到40 元 解析 设客房日租金每间提高2x 元 则每天客房出租数为300 10 x 由 x 0 且 300 10 x 0 得 0 x 30 设客房租金总收入y 元 y 20 2x 300 10 x 20 x 10 2 8 000 0 x 30 当 x 10 时 ymax 8 000 即当每间客房日租金提高到 20 10 2 40 元时 客房租金 总收入最高 为每天8 000 元 18 参考答案 设从 B 市调运 x 0 x 6 台到 C 市 则总
