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1、专题九解析几何 第二十九讲曲线与方程 答案部分 1 由x2 y2 1 x y 可得y2 x y 1 x2 2 x 3x 2 配方得y 1 解得 0 2 4 2 3 x 4 所以x 可取的整数值为 1 0 1 则曲线经过1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 这 6 个整点 结论 正确 当 x 0 时 由x2 y2 1 xy 得 x2 y2 x2 y 2 1 xy 当 x y 时取等号 2 所以x2 y2 2 所以x2 y2 2 即曲线 C 上 y 轴右边的点到原点的距离不超过2 结论 正确 根据对称性可得 曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 故 正确 如图所示 A 0 1 B
2、1 0 C 1 1 D 0 1 1 3 S 1 1 1 1 ABCD 2 2 根据对称性可知S 2S 3 心形 ABCD 即心形区域的面积大于3 故 错误 正确结论为 故选 C 2 解析设椭圆的右焦点为F 连接PF 线段 PF的中点 A 在以原点O 为圆心 2 为半径的圆 连接 AO 可得PF2 AO 4 设 P 的坐标为 m n 可得3 m 4 n 可得m 3 15 2 3 2 2 1 15 由F 2 0 可得直线PF的斜率为 2 15 3 2 2 3 解析 1 设椭圆C 的焦距为2c 因为 F1 1 0 F2 1 0 所以 F1F2 2 c 1 又因为 DF1 5 2 5 3 AF2 x
3、轴 所以DF2 DF2 F F 2 2 22 1 1 2 2 2 因此 2a DF1 DF2 4 从而 a 2 由 b2 a2 c2 得 b2 3 因此 椭圆C 的标准方程为 x y 2 2 1 4 3 2 解法一 由 1 知 椭圆C x y a 2 2 2 1 4 3 因为 AF2 x 轴 所以点 A 的横坐标为1 将 x 1 代入圆 F2 的方程 x 1 2 y2 16 解得 y 4 因为点 A 在 x 轴上方 所以A 1 4 又 F1 1 0 所以直线 AF1 y 2x 2 由 y 2x 2 得5x 2 6x 11 0 x 1 y 16 2 2 解得x 1或 11 x 5 2 x 代入y
4、 2x 2 得12 11 y 将 5 5 B 又 F2 1 0 所以直线BF2 3 1 11 12 y x 因此 5 5 4 由 3 y x 1 4 得7x2 6x 13 0 解得x 1或 x y 2 2 1 4 3 13 x 7 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点 所以 x 1 将x 1代入 y 3 x 得y 3 因此 1 3 1 y 3 x 得y 3 因此 1 3 E 4 2 2 解法二 由 1 知 椭圆C x y 如图所示 联结EF 2 2 1 1 4 3 因为 BF2 2a EF1 EF2 2a 所以 EF1 EB 从而 BF1E B 因为 F2A F2B 所以 A B 所以 A
5、 BF1E 从而 EF1 F2A 因为 AF2 x 轴 所以 EF1 x 轴 1 x 因为 F1 1 0 由2 2 x y 得 1 4 3 3 y 2 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点 所以 3 y 2 因此 3 E 1 2 D t 1 A x y 4 解析 1 设 则 1 1 2 x1 2y1 2 由于y x 所以切线DA 的斜率为 1 2 y x 故 1 1 x t 1 x 1 整理得2 tx1 2 y1 1 0 设 B x2 y2 同理可 得 2tx 2 y 1 0 2 2 故直线 AB 的方程为2tx 2y 1 0 3 1 所以直线 AB 过定点 0 2 5 解析 I 由抛物线
6、C x 2 2 py 经过点2 1 得p 2 所以抛物线C 的方程为x 2 4 y 其准线方程为y 1 II 抛物线C 的焦点为0 1 设直线l 的方程为y kx 1 k 0 2 4 x y 由 得x2 4kx 4 0 y kx 1 设 M x1 y1 N x2 y2 则 x1 x2 4 y x 令y 1 得点 A 的横坐标为x 1 直线OM 的方程为y 1 x A x y 1 1 同理可得点B 的横坐标x B x 2 y 2 uu u r uuur x x x x 设点D 0 n 则 DA DB n 1 n 1 2 2 1 2 1 2 y y x 2 x 2 1 2 1 2 4 4 16 2
7、 2 n 1 4 n 1 x x 1 2 令DA DB 0 即 得n 1 或n 3 2 4 n 1 0 综上 以 AB 为直径的圆经过y 轴上的定点0 1和0 3 6 解析 1 由题设得 y y 1 x 2 x 2 2 化简得 xy 2 2 所以 C 为中心在 1 x 2 4 2 坐标原点 焦点在x 轴上的椭圆 不含左右顶点 2 i 设直线PQ的斜率为k 则其方程为y kx k 0 y kx 由2 2 得 x y 1 4 2 x 2 1 2k 2 4 记u 2 1 2k 2 则P u uk Q u uk E u 0 于是直线QG 的斜率为 k 2 k 方程为y x u 2 由 k y x u
8、2 x y 2 2 1 4 2 得 2 k 2 x2 2uk2 x k 2u2 8 0 G x y u 设 x 是 方 程 的 解 故 G x G u 3 k 2 2 由 此 得 y G u k 2 2 从而直线PG 的斜率为 uk uk 1 3 2 k 2 u k k 3 2 2 u 2 k 2 所以PQ PG 即 PQG 是直角三角形 PQ 2u 1 k 2 ii 由 i 得 PG 2uk k 1 2 2 k 2 所以 PQG的面积 1 8 k 1 8k 1 k k 2 S PQ PG 2 1 2 2 2 2 1 2 k k k 1 2 k 1 设 t k 则由 k 0 得 t 2 当且仅
9、当k 1 时取等号 k 8t 16 S 因为在 2 单调递减 所以当t 2 即 k 1 时 S取得最大值 最大值为 1 2t 9 2 16 9 因此 PQG面积的最大值为 p 即 p 2 7 解析 I 由题意得1 2 所以 抛物线的准线方程为x 1 设 A x y B x y C x y 重心 G x y 令y 2t t 0 则x t 2 A A B B c c G G A A 由于直线AB 过 F 故直线AB方程 为 t 2 1 x y 1 代入y2 4x 得 2t 5 2 2 1 t 2 y y 4 0 t 故2 4 y 所以 ty 即2 B B t 1 2 B t t 2 1 1 2 又
10、由于 x x x x y y y y 及重心 G 在 x 轴上 故 2t y 0 G A B c G A B c c 3 3 t 2 4 2 1 1 2t 2t 2 得 C t 2t G 0 t t 3t 2 所以 直线AC 方程为y t t x t 得 2 2 Q t 2 1 0 2 t 2 2 从而 由于 Q 在焦点 F的右侧 故 2 2 2 t t 4 2 1 1 2 t FG y t 2 4 2 2 S 3 2t t t 2 A 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 t t 4 2 4 4 S QG y t t t t 2 2 c 2 3t t 2 令m t2 2 则 m 0
11、 S m 1 1 3 1 2 2 2 1 S m 4m 3 m 4 2 m 3 4 2 2 3 2 m m S 当m 3 时 1 S 2 3 取得最小值1 此时 G 2 0 2 c 5 8 解析 设椭圆的半焦距为c 依题意 2b 4 又a2 b2 c2 可得a 5 a 5 b 2 c 1 所以 椭圆的方程为 x y 2 2 1 5 4 由题意 设 0 0 P x y x M x P P p M 设直线PB 的斜率为k k 0 又B 0 2 则直线PB 的方程为y kx 2 与椭圆方程 6 y kx 2 整理得 2 2 联立2 2 4 5k x 20kx 0 x y 1 5 4 可 得 x P
12、2 0 k 4 5k 代 入 y kx 2 得 y P 8 10k 4 5k 进 而 直 线 OP 的 斜 率 y 4 5k 2 P x 10 k p 在y kx 2 中 令y 0 得2 k x 由题意得N 0 1 所以直线MN 的斜率为 M k 2 由OP MN 得 4 5k k 化简得k 2 24 从而2 30 2 化简得k 2 24 从而2 30 1 k 10k 2 5 5 所以 直线PB 的斜率为 2 30 5 2 30 5 或 2010 2018 年 1 解析 1 因为椭圆C 的焦点为F1 3 0 F2 3 0 可设椭圆C 的方程为 x y 2 2 又点 3 1 2 2 1 a b
13、0 在椭圆C 上 a b 2 3 1 1 a 2 4 所以a2 b2 解得 4 b 1 2 2 2 a b 3 因此 椭圆C 的方程为 x 2 4 y2 1 因为圆O 的直径为F F 所以其方程为x2 y2 3 1 2 2 设直线l 与圆O 相切于 P x y x 0 y 0 则 02 02 3 x y 0 0 0 0 x x 3 所以直线l 的方程为y 0 x x y 即 y 0 x 0 0 y y y 0 0 0 由 2 x y 1 2 4 x 3 y 0 x y y 0 0 消去y 得 x 2 y 2 x2 x x y 2 4 24 36 4 0 0 0 0 0 7 因为直线l 与椭圆C
14、 有且只有一个公共点 所以 24x 2 4 4 x 2 y 2 36 4y 2 48y 2 x 2 2 0 0 0 0 0 0 0 因为 x0 y0 0 所 以 xy 0 2 0 1 因此 点P 的坐标为 2 1 因为三角形OAB 的面积为 2 6 7 所以 1 2 AB OP 从而4 2 2 6 AB 7 7 设 A x1 y1 B x2 y2 由 得x 1 2 24x 48y 2 x 2 2 0 0 0 2 4x y 2 2 0 0 所以 AB x x y y 2 2 2 1 2 1 2 x 48y x 2 2 2 2 1 0 0 0 y 4x y 2 2 2 2 0 0 0 因为 x02
15、 y0 2 3 所以 16 x 2 32 2 AB 2 0 x 1 49 2 2 0 即 2x 4 45x 2 100 0 0 0 5 1 10 2 解得 x 2 x 2 20 舍去 则 y 2 因此P 的坐标为 0 0 0 2 2 2 2 综上 直线l 的方程为y 5x 3 2 y B F1 O F2 P A x 2 解析 1 设P x y M x y 则 0 0 N x 0 0 NP x x y 0 NM 0 y 0 由NP 2NM 得x x 0 2 y y 0 2 8 因为 M x y 在C 上 所以 0 0 x y 2 2 1 2 2 因此点P 的轨迹方程为x2 y2 2 2 由题意知
16、 F 1 0 设Q 3 t P m n 则 OQ 3 t PF 1 m n OQ PF 3 3m tn OP m n PQ 3 m t n 由OP PQ 1得3m m2 tn n2 1 又由 1 知m2 n2 2 故3 3m tn 0 所以OQ PF 0 即OQ PF 又过点P 存在唯一直线垂直与OQ 所以过点P 且 垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 3 解析 由离心率是 3 2 a2 4b 2 有 1 1 又抛物线x2 2y 的焦点坐标为 F 0 所以b 于是a 1 2 2 所以椭圆C 的方程为 x2 4y2 1 m 2 i 设P 点坐标为P m m 0 2 由x2 2y 得y x 所以E在点P 处的切线 l 的斜率为m 因此切线l 的方程为 m2 y mx 2 设 1 y B x y 0 y A x D x 1 2 2 0 将 m 2 y mx 代入x2 4y 2 1 得 2 1 4m2 x 2 4m3 x m 2 1 0 9 于是 4m 3 x x 1 1 4m 2 2 x x 2m3 x 1 2 0 2 1 4m 2 又 m2 m 2 y mx 0 0 2 2 1 4 2
