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1、专题九解析几何 第二十五讲直线与圆 答案部分 2019 年 1 解析由直线 l 的参数方程消去t 可得其普通方程为4x 3y 2 0 则点 1 0 到直线l 的距离是d 4 1 3 0 2 6 5 4 2 3 2 故选 D 2 解析解法一 由 4 y x x 0 得 x 4 y 1 x 2 设斜率为1的直线与曲线y x 4 x 0 切于 x x 4 0 0 x x 0 4 11 解得 由 x 2 0 x x 0 2 0 0 所以曲线 4 y x x 0 上 点P 2 3 2 到直线x y 0的距离最小 x 最小值为 2 3 2 2 4 4 解法二 由题意可设点P 的坐标为x x x x 0 则
2、点P 到直线x y 0的距离 4 2 x x 2 x x x 2 2 d 2 2x4 当且仅当x 2 等号成立 2 2 2 x 所以点P 到直线x y 0的距离的最小值为4 3 解析解法一 1 过 A 作AE BD 垂足为E 由已知条件得 四边形ACDE 为矩形 DE BE AC 6 AE CD 8 因为 PB AB 1 8 4 cos PBD sin ABE 所以 10 5 BD 12 所以PB 15 cos PBD 4 5 因此道路 PB 的长为 15 百米 2 若 P 在 D 处 由 1 可得 E 在圆上 则线段BE 上的点 除B E 到点 O 的距离均小 于圆 O 的半径 所以P 选在
3、 D 处不满足规划要求 若 Q 在 D 处 联结AD 由 1 知 AD AE2 ED 2 10 AD 2 AB 2 BD 2 7 从而 cos BAD 0 2AD AB 25 所以 BAD 为锐角 所以线段 AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径 因此 Q 选在 D 处也不满足规划要求 综上 P 和 Q 均不能选在D 处 3 先讨论点P 的位置 当 OBP90 时 在 PPB 中 1 15 PB PB 1 由上可知 d 15 再讨论点 Q 的位置 由 2 知 要使得QA 15 点 Q 只有位于点C 的右侧 才能符合规划要求 当 QA 15 时 2 CQ QA 2 AC 2 15 2 6
4、2 3 21 此时 线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半径 综上 当PB AB 点 Q 位于点C 右侧 且CQ 3 21 时 d 最小 此时P Q 两点间的距离 PQ PD CD CQ 17 3 21 因此 d 最小时 P Q 两点间的距离为17 3 21 百米 解法二 1 如图 过O 作 OH l 垂足为 H 以 O 为坐标原点 直线OH 为 y轴 建立平面直角坐标系 因为 BD 12 AC 6 所以 OH 9 直线 l 的方程为y 9 点 A B 的纵坐标分别为3 3 因为 AB为圆 O 的直径 AB 10 所以圆O 的方程为x2 y2 25 从而 A 4 3 B 4 3
5、直线AB 的斜率 为 4 因为 PB AB 所以直线PB 的斜率为 3 4 25 直线 PB的方程为 y x 3 3 3 4 所以 P 13 9 PB 13 4 2 9 3 2 15 因此道路 PB 的长为 15 百米 2 若 P 在 D 处 取线段BD 上一点 E 4 0 则 EO 4 5 所以 P 选在 D 处不满足规划 要求 若 Q 在 D 处 联结AD 由 1 知 D 4 9 又 A 4 3 所以线段 AD 3 y x 6 4剟x 4 4 15 4 在线段 AD 上取点 M 3 2 因为 OM 2 15 2 2 3 3 4 5 4 3 所以线段 AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的
6、半径 因此 Q 选在 D 处也不满足规划要求 综上 P 和 Q 均不能选在D 处 3 先讨论点P 的位置 当 OBP90 时 在1 15 中 PPB PB PB 1 由上可知 d 15 再讨论点 Q 的位置 由 2 知 要使得QA 15 点 Q 只有位于点C 的右侧 才能符合规划要求 当 QA 15 时 设 Q a 9 由 4 9 3 15 4 AQ a 2 2 a 得 a 4 3 21 所以 Q 4 3 21 9 此时 线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径 综上 当P 13 9 Q 4 3 21 9 时 d最小 此时P Q 两点间的距离 PQ 4 3 21 13 17 3 2
7、1 因此 d 最小时 P Q 两点间的距离为17 3 21 百米 4 解析 解法一 如图 由圆心与切点的连线与切线垂直 得 m 1 1 2 2 4 解得m 2 所以圆心为 0 2 则半径r 2 0 2 1 2 2 5 20 m 3 解法二 由r 4 m 1 2 4 1 5 得m 2 所以r 5 5 2010 2018 年 1 A 解析 圆心 2 0 到直线的距离d 2 0 2 2 2 2 所以点P 到直线的距离d1 2 3 2 根据直线的方程可知A B 两点的坐标分别 为A 2 0 B 0 2 所以 AB 2 2 所以ABP 的面积 1 S AB d 2d 1 1 2 因为d1 2 3 2 所
8、以S 2 6 即ABP 面积的取值范围是 2 6 故选 A 2 1 2 解析 直线的普通方程为x y 2 0 圆的标准方程为 x 1 2 y2 1 圆心为C 1 0 半径为1 点C 到直线x y 2 0 的距离 1 0 2 2 d 所 2 2 以 AB 2 1 2 2 2 所以1 2 2 1 S ABC 2 2 2 2 3 C 解析 由题意可得d cosmsin2 msincos2 m 1 m 1 2 2 m 1 m 1 sin cos 2 2 m 1 sin 2 2 m m 2 1 2 1 m 1 m 1 2 2 其中 cos m m 2 1 sin 1 m 2 1 1 sin 1 2 m
9、1 2 m 1 2 2 d m 1 m 1 2 2 2m 1 2 2 1 m 1 m 1 2 2 5 当m 0时 d 取得最大值3 故选 C 4 A 解析 以线段A A 为直径的圆是x 2 y 2 a 2 直线 bx ay 2ab 0 与圆相切 1 2 2ab d a 整理为a 2 3b2 所以圆心到直线的距离 a b 2 2 即 a 2 3 a 2 c 2 2a 2 3c 2 即即 c 2 a 2 c 6 2 e 故选 A 3 a 3 5 A 解析 如图建立直角坐标系 y A D P B C x 则A 0 1 B 0 0 D 2 1 P x y 由等面积法可得圆的半径为 2 5 所以圆的方程
10、为 2 2 2 4 x y 5 所以AP x y 1 AB 0 1 AD 2 0 x 2 由AP AB AD 得 y 1 x 所以 y 1 2 x x 设z y 1 即y 1 z 0 2 2 x 点P x y 在圆上 所以圆心到直线y 1 z 0 的距离小于半径 2 所以 2 z 2 解得1 z 3 所以z 的最大值为3 1 5 1 4 即的最大值为3 选 A 6 D 解析 2 3 关于y 轴对称点的坐标为 2 3 设反射光线所在直线为 6 y k x 即 kx y 2k 3 0 则 3 2 d 3k 2 2k 3 1 k 1 2 5 k 5 k 1 解得k 4 或3 2 3 4 7 A 解析
11、 设所求直线的方程为2x y c 0 c 1 则 c 2 1 2 2 5 所以 c 故所求直线的方程为2x y 5 0 或2x y 5 0 5 8 C 解析 设过A B C 三点的圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 则 D 3E F 10 0 4D 2E F 20 0 D 7E F 50 0 解得D 2 E 4 F 20 所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 20 0 令x 0 得y 2 4y 20 0 设 M 0 y 1 N 0 y 则 2 y y 1 2 4 yy 1 2 20 所以 MN y y y y 2 4y y 4 6 1 2 1 2 1 2 9 C 解析 圆C 标准方程为
12、x 2 2 y 1 2 4 圆心为C 2 1 半径为r 2 因此2 a 1 1 0 a 1 即A 4 1 AB AC 2 r 2 4 2 2 1 1 2 4 6 选 C 10 A 解析 当点M 的坐标为 1 1 时 圆上存在点N 1 0 使得OMN 45 o 所以 x 0 1 符合题意 排除B D 当点M 的坐标为 2 1 时 OM 3 过点M 作圆O 的一 条 切 线 MN 连 接ON 则 在 Rt OMN 中 sin 3 2 OMN 则 3 2 OMN45 o 故此时在圆 O 上不存在点N 使得OMN 45 即x 不符 0 2 合题意 排除C 故选 A 11 D 解析 直线l 过点 0 3
13、 斜率为1 所以直线l 的方程为x y 3 0 12 B 解析 因为圆C 的圆心为 3 4 半径为1 OC 5 所以以原点为圆心 以m 7 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6 所以m 的最大值为6 故选 B 13 C 解析 由题意得C1 0 0 C2 3 4 r1 1 r2 25 m C C r r 125 m 5 所以m 9 1 2 1 2 14 D 解析 设直线l 的倾斜角为 由题意可知min 0 max 2 6 3 15 B 解析 圆的标准方程为 x 1 y 1 2 a 则圆心C 1 1 半径r 满足 2 2 r a 则圆心C 到直线x y 2 0 的距离2 2 2 2 d 1 1
14、 所以r 2 4 2 2 a 故a 4 16 B 解析 易知直线x my 0 过定点A 0 0 直线mx y m 3 0过定点B 1 3 且两条直线相互垂直 故点P 在以AB 为直径的圆上运动 故 PA PB AB cos PAB AB sin PAB 10 2 sin PAB 4 10 2 5 故选 B 17 A 解析 由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O 要使圆C 的面积最小 只 需圆C 的半径或直径最小 又圆C 与直线2x y 4 0 相切 所以由平面几何知识 知圆的直径的最小值为点O 到直线2x y 4 0 的距离 此时2r 4 得2 r 5 5 4 圆C 的面积的最小值为 S
15、 r 2 5 18 A 解析 根据平面几何知识 直线AB 一定与点 3 1 1 0 的连线垂直 这两点连 线的斜率为 1 2 故直线AB 的斜率一定是2 只有选项A 中直线的斜率为2 19 A 解析 圆C1 C2 的圆心分别为C1 C2 由题意知 PM PC1 1 PN PC2 3 PM PN PC1 PC2 4 故所求值为 PC1 PC2 4 的最小值 又 C1 关于 x 轴对称的点为C3 2 3 所以 PC1 PC2 4 的最小值为 C3C2 4 2 3 3 4 4 5 2 4 2 2 故选 A 8 1 4 5 5 20 C 解析 圆心 1 2 圆心到直线的距离 1 d 半径r 5 所以最
16、 5 后弦长为2 5 2 1 2 4 21 B 解析 1 当y ax b 过A 1 0与BC 的中点D 时 符合要求 此1 b 3 2 当y ax b 位于 位置时 b A1 0 a 1 b a b D 1 a 1 a 1 令 1 S得 a A BD 2 1 1 b 2 1 2b a 0 1 b 2 3 当y ax b 位于 位置时A 2 b 1 b a 1 a 1 a D 2 1 b a b a 1 a 1 令 1 1 1 b b 1 1 S 即 1 b A CD 2 2 a 1 1 a 2 2 2 化简得a2 2b2 4b 1 a 0 2b2 4b 10 解得1 2 1 2 b 2 2 y y ax b C D1 D A2 x D2 A1 O AB 2 1 综上 1b 选 B 2 2 22 B 解析 点M a b 在圆x2 y2 1外 a2 b2 1 圆O 0 0 到直线ax by 1 距离 d 1 1 圆的半径 故直线与圆相交 所以选B a b 2 2 23 C 解析 设直线斜率为k 则直线方程为y 2 k x 2 即kx y 2 2k 0 9 圆 心 1 0 到 直 线 的 距
