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1、考点 12 函数模型及其应用 1 某市生产总值连续两年持续增加 第一年的增长率为p 第二年的增长率为q 则该市这两年生产总值 的年平均增长率为 A p q 2 B p 1 q 1 1 2 C pqD p 1 q 1 1 答案 D 解析 设第一年年初生产总值为1 则这两年的生产总值为 p 1 q 1 设这两年生产总值的年平均增 长率为 x 则 1 x 2 p 1 q 1 解得 x p 1 q 1 1 故选 D 2 在标准温度和大气压下 人体血液中氢离子的物质的量的浓度 单位mol L 记作 H 和氢氧根离子的 物质的量的浓度 单位 mol L 记作 OH 的乘积等于常数 10 14 已知 pH
2、值的定义为 pH lg H 健康人 体血液的pH 值保持在7 35 7 45 之间 那么健康人体血液中的 H OH 可以为 参考数据 lg 2 0 30 lg 3 0 48 A 1 2 B 1 3 C 1 6 D 1 10 答案 C 解析 H OH 10 14 H OH H 2 1014 7 35 lg H 7 45 10 7 45 H 10 7 35 10 0 9 H OH 10 14 H 2 1 10 lg 10 0 7 0 7 lg 3 lg 2 100 7 3 2 10 0 7 1 3 1 2 1 10 H OH 0 若不管资金如何投入 经销这两种 商品或其中的一种商品所获得的纯利润总
3、不少于5 万元 则 a 的最小值应为 A 5 B 5 C 2 D 2 答案 A 解析 设投入x 万元经销甲商品 则经销乙商品投入 20 x 万元 总利润y P Q x 4 a 2 20 x 令 y 5 则 x 4 a 2 20 x 5对 0 x 20恒成立 a 20 x 10 x 2 a 1 2 20 x对 0 x 20 恒成立 f x 1 2 20 x的最大值为5 且 x 20 时 a20 x 10 x 2也成立 a min 5 故选 A 6 某市家庭煤气的使用量x m 3 和煤气费 f x 元 满足关系f x C 0 x A C B x A x A 已知某家庭2018 年 前三个月的煤气费
4、如表 月份用气量煤气费 一月份4 m3 4 元 二月份25 m3 14 元 三月份35 m3 19 元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气 则其煤气费为 A 11 5 元B 11 元 C 10 5 元D 10 元 答案 A 解析 根据题意可知f 4 C 4 f 25 C B 25 A 14 f 35 C B 35 A 19 解得 A 5 B 1 2 C 4 所以 f x 4 0 x 5 4 1 2 x 5 x 5 所以 f 20 4 1 2 20 5 11 5 7 某校甲 乙两食堂某年1 月营业额相等 甲食堂的营业额逐月增加 并且每月的增加值相同 乙食堂的 营业额也逐月增加 且每月增加的百分
5、率相同 已知本年9 月份两食堂的营业额又相等 则本年 5 月份 A 甲食堂的营业额较高 B 乙食堂的营业额较高 C 甲 乙两食堂的营业额相同 D 不能确定甲 乙哪个食堂的营业额较高 答案 A 解析 设甲 乙两食堂1 月份的营业额均为m 甲食堂的营业额每月增加a a 0 乙食堂的营业额每月 增加的百分率为x 由题意可得 m 8a m 1 x 8 则 5 月份甲食堂的营业额y1 m 4a 乙食堂的营业 额 y2 m 1 x 4 m m 8a 因为y21 y22 m 4a 2 m m 8a 16a2 0 所以 y1 y2 故本年 5 月 份甲食堂的营业额较高 8 加工爆米花时 爆开且不糊的粒数占加工
6、总粒数的百分比称为 可食用率 在特定条件下 可食用率p 与加工时间t 单位 分钟 满足函数关系p at2 bt c a b c 是常数 如图记录了三次实验的数据 根据上述函数模型和实验数据 可以得到最佳加工时间为 分钟 答案 3 75 解析 由实验数据和函数模型知 二次函数p at2 bt c 的图象过点 3 0 7 4 0 8 5 0 5 分别 代入解析式 得 0 7 9a 3b c 0 8 16a 4b c 0 5 25a 5b c 解得 a 0 2 b 1 5 c 2 所以 p 0 2t2 1 5t 2 0 2 t 3 75 2 0 812 5 所以当 t 3 75 时 可食用率p 最大
7、 即最佳加工时间为3 75 分钟 9 某商店按每件80 元的成本购进某商品1 000 件 根据市场预测 销售价为每件100 元时可全部售完 定 价每提高1 元时销售量就减少5 件 若要获得最大利润 销售价应定为每件 元 答案 190 元 解析 设售价提高x 元 则依题意y 1 000 5x 20 x 5x2 900 x 20 000 5 x 90 2 60 500 故当 x 90 时 ymax 60 500 此时售价为每件 190 元 10 现有含盐7 的食盐水200 g 需将它制成工业生产上需要的含盐5 以上且在6 以下 不含 5 和 6 的食盐水 设需要加入4 的食盐水x g 则 x 的取
8、值范围是 答案 100 400 解析 设y 200 7 x 4 200 x 令5 y 6 即 200 x 5 200 7 x 4 200 x 6 解得100 x 400 11 某市出租车收费标准如下 起步价为8 元 起步里程为3 km 不超过 3 km 按起步价付费 超过 3 km 但不超过8 km 时 超过部分按每千米2 15 元收费 超过8 km 时 超过部分按每千米2 85 元收费 另每次 乘坐需付燃油附加费1 元 现某人乘坐一次出租车付费22 6 元 则此次出租车行驶了 km 答案 9 解析 由已知可得 y 8 1 0 x 3 8 2 15x 3 1 38 9 08 由 y 22 6
9、解得 x 9 12 某化工厂生产一种溶液 按市场要求杂质含量不超过0 1 若初时含杂质2 每过滤一次可使杂质含 量减少 1 3 至少应过滤 次才能达到市场要求 已知 lg 2 0 301 0 lg 3 0 477 1 答案 8 解析 设过滤n 次才能达到市场要求 则2 1 1 3 n 0 1 即 2 3 n 1 20 所以 nlg 2 3 1 lg 2 所以 n 7 39 所以 n 8 13 某工厂产生的废气经过过滤后排放 过滤过程中废气的污染物数量P 毫克 升 与时间t 小时 的关系为 P P0e kt 如果在前5 小时消除了10 的污染物 那么污染物减少19 需要花费的时间为 小时 答案
10、10 解析 由题设可得 1 0 1 P0 P0e 5k 即 0 9 e 5k 故 5k ln 0 9 又 1 0 19 P 0 P0e kt 即 0 81 e kt 故 kt ln 0 81 2ln 0 9 10k 故 t 10 应填 10 14 渔场中鱼群的最大养殖量为m 为保证鱼群的生长空间 实际养殖量不能达到最大养殖量 必须留出 适当的空闲量 已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比 比例系数为k k 0 则鱼群年增长量的最大值是 答案 km 4 解析 由题意 空闲率为1 x m y kx 1 x m 定义域为 0 m y kx 1 x m k m x m 2 2
11、km 4 x 0 m k 0 当 x m 2 时 ymax km 4 15 拟定甲 乙两地通话m 分钟的电话费 单位 元 由 f m 1 06 0 5 m 1 给出 其中m 0 m 是不超 过 m 的最大整数 如 3 3 3 7 3 3 1 3 则甲 乙两地通话6 5 分钟的电话费为 元 答案 4 24 解析 m 6 5 m 6 则 f m 1 06 0 5 6 1 4 24 16 某人根据经验绘制了2018 年春节前后 从12 月 21 日至 1 月 8 日自己种植的西红柿的销售量y 千克 随时间x 天 变化的函数图象 如图所示 则此人在12 月 26 日大约卖出了西红柿 千克 答案 190
12、 9 解析 前 10 天满足一次函数关系 设为 y kx b 将点 1 10 和点 10 30 代入函数解析式得 10 k b 30 10k b 解得 k 20 9 b 70 9 所以 y 20 9 x 70 9 则当 x 6 时 y 190 9 17 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙 研究某种鸟类的专家发现 该种鸟类的飞行速度v 单 位 m s 与其耗氧量Q 之间的关系为 v a blog3 Q 10 其中 a b 是实数 据统计 该种鸟类在静止的时候 其耗氧量为30 个单位 而其耗氧量为90 个单位时 其飞行速度为1 m s 1 求出 a b 的值 2 若这种鸟类为赶路程 飞行的速
13、度不能低于2 m s 则其耗氧量至少要多少个单位 答案 1 a 1 b 1 2 270 解析 1 由题意可知 当这种鸟类静止时 它的速度为0 m s 此时耗氧量为30 个单位 则a blog330 10 0 即 a b 0 当耗氧量为90 个单位时 速度为1 m s 则 a blog390 10 1 整理得 a 2b 1 解方程组 a b 0 a 2b 1 得 a 1 b 1 2 由 1 知 v a blog3 Q 10 1 log 3 Q 10 所以要使飞行速度不低于2 m s 则 v 2 所以 1 log3 Q 10 2 即 log 3 Q 10 3 解得 Q 10 27 即 Q 270
14、所以若这种鸟类为赶路程 飞行的速度不能低于2 m s 则其耗氧量至少要270 个单位 18 某医药研究所开发的一种新药 如果成年人按规定的剂量服用 据监测 服药后每毫升血液中的含药 量 y 微克 与时间 t 小时 之间近似满足如图所示的曲线 1 写出第一次服药后y 与 t 之间的函数关系式y f t 2 据进一步测定 每毫升血液中含药量不少于0 25 微克时治疗疾病有效 求服药一次后治疗疾病有效的时 间 答案 1 y 4t 0 t 1 1 2 t 3 t 1 2 79 16 解析 1 由题图 设y kt 0 t 1 1 2 t a t 1 当 t 1 时 由 y 4 得 k 4 由 1 2 1
15、 a 4 得 a 3 所以 y 4t 0 t 1 1 2 t 3 t 1 2 由 y 0 25 得 0 t 1 4t 0 25 或 t 1 1 2 t 3 0 25 解得 1 16 t 5 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5 1 16 79 16 小时 19 已知一容器中有A B 两种菌 且在任何时刻A B 两种菌的个数乘积为定值10 10 为了简单起见 科 学家用 PA lg nA 来记录 A 菌个数的资料 其中 nA为 A 菌的个数 现有以下几种说法 PA 1 若今天的PA值比昨天的 PA值增加 1 则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多了10 个 假设科学家将B 菌的个数控制为5 万个
16、 则此时5 PA 5 5 其中正确的说法为 写出所有正确说法的序号 答案 解析 当nA 1 时 PA 0 故 错误 若 PA 1 则 nA 10 若 PA 2 则 nA 100 故 错误 设 B 菌的个数为nB 5 104 nA 1010 5 104 2 10 5 PA lg nA lg 2 5 又 lg 2 0 3 5 PA 5 5 故 正确 20 某人计划购买一辆A 型轿车 售价为14 4 万元 购买后轿车一年的保险费 汽油费 年检费 停车费 等约需 2 4 万元 同时汽车年折旧率约为10 即这辆车每年减少它的价值的10 那么 大约使用 年后 花费在该车上的费用 含折旧费 达到 14 4 万元 答案 4 解析 设使用x 年后花费在该车上的费用达到14 4 万元 依题意可得 14 4 1 0 9x 2 4x 14 4 化简得 x 6 0 9x 0 令 f x x 6 0 9x 因为 f 3 1 374 0 f 4 0 063 4 0 所以函数f x 在 3 4 上应有一个零点 故大约使用4 年后 花费在该车上的费用达到14 4 万元 21 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续
