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1、考点 15 基本不等式及其应用 2 知识框图 自主热身 归纳总结 1 2017 苏北四市一模 已知正数 a b 满足 1 a 9 b ab 5 则 ab的最小值为 答案 36 解析 因为正数 a b 满足 1 a 9 b ab 5 所以ab 5 2 9 ab 当且仅当 9a b 时等号 成立 即 ab 5ab 6 0 解得ab 6或ab 1 舍去 因此 ab 36 从而 ab min 36 2 2015 镇江期末 已知正数 x y 满足 1 x 1 y 1 则 4x x 1 9y y 1的最小值为 答案 25 解析 因为 1 y 1 1 x 所以 4x x 1 9y y 1 4x x 1 9
2、1 1 y 4x x 1 9x 4 4 x 1 9 x 1 9 13 4 x 1 9 x 1 13 4 x 1 9 x 1 又因为 1 y 1 1 x 0 所以 x 1 同理 y 1 所以 13 4 x 1 9 x 1 13 2 4 9 25 当且仅当 x 5 3时取等号 所以 4x x 1 9y y 1的最小值为 25 3 2016苏州期末 已知 ab 1 4 a b 0 1 则 1 1 a 2 1 b的最小值为 答案 4 4 2 3 解析 思路分析两元问题通常化为一元问题 先尝试消去一个变量 由题意得 b 1 4a 所以 0 1 4a0 a c 0 所以 b c c a b b c 1 a
3、 c b c b c 1 2b c 1 令 t 2b c 1 t 1 则 b c t 2 1 2 所以 可化为 b c 1 2b c 1 t 2 1 2 1 t 2 t 2 1 t 1 2 2 1 2 当且仅当 t 2 1 t 即 t 2时取等号 于是 b c c a b 2 1 2 即 b c c a b的最小值为 2 1 2 5 2017 无锡期末 已知 a 0 b 0 c 2 且 a b 2 则 ac b c ab c 2 5 c 2的最小值为 答案 10 5 解析 思路分析根据目标式的特征 进行恰当的变形 利用基本不等式知识求解 因为a 0 b 0 所以 a b 1 ab 1 2 a
4、b a b 2 4ab 1 2 a b a 2 2ab b2 4ab 1 2 5a 4b b 4a 5 2 当且仅当 b 5a时等号成立 又因为c 2 由不等式的性质可得 ac b c ab c 2 5 c 2 ca b 1 ab 1 2 5 c 2 5 2 c 5 c 2 又因为 5 2 c 5 c 2 5 2 c 2 5 c 2 5 10 5 当且仅当c 2 2时等号成 立 所以 ac b c ab c 2 5 c 2的最小值为 10 5 解后反思多变量函数的最值问题 通常需要消元 本题的关键是首先通过固定变量c 视 a b为主元 然后利用代换 齐次化 配凑等技巧对代数式进行两次变形 为利
5、用基本不等 式创造了条件 并结合不等式的性质 巧妙地求得了最小值 6 2019 通州 海门 启东期末 已知实数 a b 0 且 a b 2 则 3a b a 2 2ab 3b2的最小值为 答案 3 5 4 解析 思路分析 1 注意到问题中含有两个变量a b 且满足 a b 2 因此可以考虑进行消 元 将问题转化为只含有一个变量的问题来加以处理 思路分析 2 注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式 二次式 为此想到将它们 转化为齐次式来加以处理 即将分子利用条件a b 2 通过常数代换转化为二次式 进而将 齐次式化为单变量的问题来加以处理 思路分析 3 注意到所求的代数式的分母可以因式分解为
6、 a 3b a b 因此 将a 3b a b分别作为两个新的变量m n 从而将问题转化为以新变量m n的形式来加以处理 解析 1 消元法 因为 a b 2 所以0 b 2 a a 解得 1 ab 0 所以 2 b b 0 故 0 b0 此时 3a b a 2 2ab 3b2 3 2 当 u0 故由 m n 1 m 5 n 6 n m 5m n 6 2 5 当且仅当n 5m 时等号成 立 此时 3a b a 2 2ab 3b2 1 2 1 m 5 n 3 5 4 问题探究 变式训练 题型一运用基本不等式解决含参问题 知识点拨 对于不等式中的成立问题 通常采取通过参数分离后 转化为求最值问题 例
7、1 2019 扬州期末 已知正实数 x y 满足 x 4y xy 0 若 x y m恒成立 则实数m 的取值范围为 答案 9 解析 m x y 恒成立 m x y min 解法 1 消元法 由 x 4y xy 0 得 y x x 4 因为 x y 是正实数 所以 y 0 x 4 则 x y x x x 4 x x 4 4 x 4 x 4 x 4 1 x 4 4 x 4 5 2 x 4 4 x 4 5 9 当且仅当 x 6 时 等号成立 即x y 的最小值是 9 故 m 9 解法 2 1 的代换 因为 x y 是正实数 由 x 4y xy 0 得 4 x 1 y 1 x y x y 4 x 1
8、y 4y x x y 5 2 4y x x y 5 9 当且仅当 x 6 y 3 时 等号成立 即 x y 的 最小值是 9 故 m 9 解法 3 函数法 令 t x y 则 y t x 代入 x 4y xy 0 得 x 2 3 t x 4t 0 t 3 2 16t t2 10t q 0 得 t 1 或 t 9 又 y x x 4 0 且 x 0 则 x 4 故 t 4 从而 t 9 所以 m 9 解后反思 对于含有多个变量式的最值如何求 解法1 用了最基本的方法一消元转化为一 元变量 对于一元变量的求量值的方法就很多了 这里用了基本不等式法 解法2 直接运用 了不等式中的 1 的代换法的技巧
9、 显得很方便 一般地 在条件与结论中分别含有mx ny 以及 a x b y m n a b 为正常数 x y 为正参数 形式的代数式时 要求相关的最值 利用两 式相乘来构造基本不等式的形式求最值是一种基本手段 解法3 则采用了方程的思想 通过 将问题转化为方程有解 进而转化为方程有解来解决 这种解法用来求二元函数的最值问题 是非常有效的 这里的解法1是虽然是通法 但往往计算相对比较复杂 而解法2有一定的技 巧 但求解比较方便 解法3 则比较通用 没有技巧 计算也不复杂 变式 1 2017 镇江期末 已知不等式 m n 2 m ln n 2 2对任意 m R n 0 恒成立 则实数 的取值范围
10、为 答案 1 解析 思路分析由于条件 m n 2 m ln n 2 2 中平方和的特征 可联想到两 点 m m n ln n 的距离公式 而点 m m n ln n 分别是直线 y x 和曲 线 f x ln x 上动点 故可转化为直线y x 和曲线 f x ln x 上点之间的距离大于等于 2 条件 不等式 m n 2 m ln n 2 2 对任意 m R n 0 恒成立 可看作 直线 y x 以及曲线 f x ln x 上点之间的距离恒大于等于2 如图 当与直线y x 平行的直线与曲线 f x lnx相切时 两平行线间的距离最短 f x 1 x 1 故切点 A 1 0 此切点到直线y x
11、的距离为 1 2 2 解得 1 或 3 舍去 此时 直线与曲线相交 变式 2 2016 徐州 连云港 宿迁三检 已知对满足 x y 4 2xy 的任意正实数 x y 都有 x 2 2xy y2 ax ay 1 0 则实数 a 的取值范围是 答案 17 4 解析 思路分析不等式 x 2 2xy y2 ax ay 1 0的构造比较特殊 可以化为关于 x y 的不等式 再根据不等式及x y 4 2xy 求出 x y 的范围即可 对于正实数 x y 由 x y 4 2xy 得 x y 4 2xy x y 2 2 解得 x y 4 不等式 x 2 2xy y2 ax ay 1 0可化为 x y 2 a
12、x y 1 0 令 t x y t 4 则该不等式可化为t 2 at 1 0 即 a t 1 t 对于任意的 t 4 恒成 立 令 u t t 1 t t 4 则 u t 1 1 t 2 t 2 1 t 2 0对于任意的 t 4 恒成立 从而函数 u t t 1 t t 4 为单调递增函数 所以u t min u 4 4 1 4 17 4 于是 a 17 4 易错警示在求函数u t t 1 t t 4 的最小值时 有的考生直接用基本不等式求出 u t min 2 没有注意到 t 4 的限制 从而得到错误的答案 a 2 关联 1 在平面直角坐标系 xOy中 设点A 1 0 B 0 1 C a b
13、 D c d 若不等 式CD 2 m 2 OC OD m OC OB OD OA 对任意实数 a b c d 都成立 则实数m的最 大值是 答案 5 1 解析 思路分析本题首先将所给不等式中的向量用坐标代入 然后再将其转化为关于 a b c d 四元的不等式问题 再利用基本不等式处理最值问题 CD 2 m 2 OC OD m OC OB OD OA 对任意实数 a b c d 都成立等价于a 2 b 2 c 2 d 2 m ac bd bc 对任意 a b c d 都成立 由于求 m的最大值 所以可只考虑m 0 的情形 当 ac bd bc 0时 a 2 b 2 c 2 d 2 m ac bd
14、 bc 恒成立 当 ac bd bc 0时 则需 m a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd bc 恒成立 下面用待定系数法求 a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd bc 的最小值 a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd bc a 2 xc2 yb 2 d2 1 y b 2 1 x c 2 ac bd bc 2xac 2 ybd 21 x1 ybc ac bd bc 令x y 1 x1 y 其中x y 0 1 解 得 x 3 5 2 x 5 1 2 所 以 a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd bc 5 1 所 以 m a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd bc mi
15、n 5 1 故m的最大值为5 1 题型二不等式的综合运用 知识点拨 多变量式子的最值的求解的基本处理策略是 减元 或应用基本不等式 其中 减 元策略 的常见方法有 通过消元以达到减少变量的个数 从而利用函数法或方程有解的 条件来研究问题 通过 合并变元 以代换的方式来达到 减元 一般地 关于多变元 的 齐次式 多用此法 而应用基本不等式求最值时 要紧紧抓住 和 与 积 的关系来 进行处理 为了凸现 和 与 积 的关系 可以通过换元的方法来简化问题的表现形式 从而达到更易处理的目的 例 2 2018 镇江期末 已知 a b R a b 4 则 1 a 2 1 1 b 2 1的最大值为 答案 2
16、5 4 解析 思路分析 1将 1 a 2 1 1 b 2 1通分 变形为关于 a b 和 ab 的式子 将 ab 作为一个 变元 用导数作为工具求最大值 或用不等式放缩求最大值 但要先求出ab的取值范围 思路分析 2 注意到所研究的问题的条件与所求均为对称形式 若直接进行消元去处理会 打乱它的对称性 为此 应用均值换元来进行处理 解法 1 ab 作为一个变元 ab a b 2 2 4 1 a 2 1 1 b 2 1 a 2 b2 2 a 2 1 b2 1 a b 2 2ab 2 a b 2 2ab a2b2 1 2 9 ab 17 2ab a 2b2 设 t 9 ab 5 则 2 9 ab 17 2ab a 2b2 2t t 2 80 16t 2t 8 5t 16t 5 2 4 当且仅当 t 2 80 时等号成立 所以 1 a 2 1 1 b 2 1的最大值为 5 2 4 解法 2 均值换元 因为 a b 4 所以 令 a 2 t b 2 t 则 f t 1 a 2 1 1 b 2 1 1 t 2 4t 5 1 t 2 4t 5 2 t 2 5 t 2 5 2 16t2 令u t 2
