《考点14三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点14三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师整理 助你成功 考点 14 三角函数的基本概念 同角三角函数的基本关系 与诱导公式 1 任意角的概念 弧度制 1 了解任意角的概念 2 了解弧度制的概念 能进行弧度与角度的互化 2 三角函数 1 理解任意角三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 2 能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 的正弦 余弦 正切的诱导公式 能画出 sin cos tanyx yx yx的图象 了解三角函数的周期性 3 理解同角三角函数的基本关系式 22 sincos1xx sin tan cos x x x 一 角的有关概念 1 定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2 分类 1
2、 按旋转方向不同分为正角 负角 零角 2 按终边位置不同分为象限角和轴线角 3 终 边 相 同 的 角 所 有 与 角终 边 相 同 的 角 连 同 角在 内 可 构 成 一 个 集 合 3 60 SkkZ 3 象限角与轴线角 第一象限角的集合为 2 2 2 kkkZ 第二象限角的集合为 2 2 2 kkkZ 名师整理 助你成功 第三象限角的集合为 3 2 2 2 kkkZ 第四象限角的集合为 3 2 2 2 2 kkkZ 终边与x轴非负半轴重合的角的集合为2 kkZ 终边与x轴非正半轴重合的角的集合为2 kkZ 终边与x轴重合的角的集合为 kkZ 终边与 y轴非负半轴重合的角的集合为 2 2
3、 kkZ 终边与 y轴非正半轴重合的角的集合为 2 2 kkZ 终边与 y轴重合的角的集合为 2 kkZ 终边与坐标轴重合的角的集合为 2 k kZ 二 弧度制 1 1 弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 规定 l l r 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长 r为半径 正角的弧度数为正数 负角的弧度 数为负数 零角的弧度数为零 2 弧度制 用 弧度 做单位来度量角的单位制叫做弧度制 比值 l r 与所取的r的大小无关 仅与角的大小有关 3 弧度与角度的换算 180 180 rad 1rad 57 3 1 rad 180 4 弧长公式 lr 其中的单位是弧度 l与r的单位要统
4、一 名师整理 助你成功 角度制下的弧长公式为 180 n r l 其中 n 为扇形圆心角的角度数 5 扇形的面积公式 211 22 Slrr 角度制下的扇形面积公式为 2 360 n r S 其中n为扇形圆心角的角度数 三 任意角的三角函数 1 定义 设是一个任意角 它的顶点与原点重合 始边与x轴非负半轴重合 点 P x y是角的终边上任 意 一 点 P 到 原 点 的 距 离0OPr r 那 么 角的 正 弦 余 弦 正 切 分 别 是 sin cos tan yxy rrx 注意 正切函数tan y x 的定义域是 2 kkZ 正弦函数和余弦函数的定义域都是 R 2 三角函数值在各象限内的
5、符号 三角函数值在各象限内的符号口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 三角函数线 设角的顶点与原点重合 始边与x轴非负半轴重合 终边与单位圆相交于点 P 过P作PM 垂直于 x轴 于 M 由 三 角 函 数 的 定 义 知 点 P 的 坐 标 为cos sin 即cos sinP 其 中 cos sin OMMP 单位圆与 x轴的正半轴交于点 A 单位圆在A点的切线与 的终边或其 反向延长线相交于点 T 则tanAT 我们把有向线段 OMMPAT 分别叫做的余弦线 正弦 线 正切线 各象限内的三角函数线如下 角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限 名师整理 助你成功 图形 4 特殊角
6、的三角函数值 030456090120135150180270360 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 01 tan0 3 3 1 3 不存在 31 3 3 0 不存在 0 补充 6262 sin15cos75 sin 75cos15 44 tan1523 tan7523 四 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 22 sincos1 2 商的关系 sin cos tan 3 同角三角函数基本关系式的变形 1 平方关系的变形 2
7、222 sin1cos cos1sin 2 商的关系的变形 sin sintancos cos tan 名师整理 助你成功 3 2 222 111 tan1 1 cossintan 五 三角函数的诱导公式 公式一二三四五六 角 2k k Z 2 2 正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 考向一三角函数的定义 1 利用三角函数的定义求角的三角函数值 需确定三个量 角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 纵坐标 y 该点到原点的距离r 若题目
8、中已知角的终边在一条直线上 此时注意在终边上任取一点有两种情 况 点所在象限不同 2 利用三角函数线解三角不等式的步骤 确定区域的边界 确定区域 写出解集 3 已知角 的终边所在的直线方程或角 的大小 根据三角函数的定义可求角 终边上某特定点的坐标 4 三角函数值的符号及角的位置的判断 已知一角的三角函数值 sin cos tan 中任意两个的符 号 可分别确定出角的终边所在的可能位置 二者的交集即为该角的终边位置 注意终边在坐标轴上的特 殊情况 典例 1 已知角的终边上有一点P 3 m 且 2 sin 4 m 求cos与tan的值 解析 由已知有 2 2 4 3 m m m 得 m 0 或5
9、m 当 m 0 时 cos1 tan0 名师整理 助你成功 当5m时 615 cos tan 43 当5m时 615 cos tan 43 名师点睛 任意角的三角函数值仅与角 的终边位置有关 而与角 终边上点P 的位置无关 若角 已 经给出 则无论点P 选择在 终边上的什么位置 角 的三角函数值都是确定的 1 已知角 8 3 的终边经过点 2 3 P x 则x的值为 A 2 B 2 C 2 D 4 考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法 1 已知 所在的象限 求 n 或 n nN 所在的象限的方法是 将 的范围用不等式 含有k 表示 然后两边同除以n 或乘以 n 再对 k 进行讨论 得到
10、 n 或 n nN 所在的象限 2 象限角的判定有两种方法 一是根据图象 其依据是终边相同的角的思想 二是先将此角化为k 360 0 0 4 cos 25 0 所以 2 是第二象限的角 所以 2 2 22 kkkZ 由 32 22 sin 5 知 3 2 2 42 kkkZ 所以 3 4 4 2 2 kkkZ 故角 是第四象限的角 名师整理 助你成功 名师点睛 角 2 与所在象限的对应关系 若角是第一象限角 则 2 是第一象限角或第三象限角 若角是第二象限角 则 2 是第一象限角或第三象限角 若角是第三象限角 则 2 是第二象限角或第四象限角 若角是第四象限角 则 2 是第二象限角或第四象限角
11、 2 若 sinx 0 且 sin cosx 0 则角x是 A 第一象限角B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 考向三 同角三角函数基本关系式的应用 1 利用 22 sin cos1可以实现角 的正弦 余弦的互化 利用 sin cos tan可以实现角 的弦切互化 2 sin cos 的齐次式的应用 分式中分子与分母是关于 sin cos 的齐次式 或含有 22 sin cos及 sincos的式子求值时 可将所求式子的分母看作 1 利用 22 sin cos1 代换后转化为 切 后求 解 典例 3 已知 0 sin cos 1 当 1时 求 的值 2 当 5 5 时 求 tan 的
12、值 解析 1 由已知得 sin cos 1 1 2sin cos 1 sin cos 0 又0 0 0 sin cos 5 5 0 4 1 tan 2 3 已知 4 2 则2cos12sin cos A sincosB sincos C cossin D 3cossin 考向四 诱导公式的应用 1 应用诱导公式 重点是 函数名称 与 正负号 的正确判断 求任意角的三角函数值的问题 都可以通过 诱导公式化为锐角三角函数的求值问题 具体步骤为 负角化正角 正角化锐角 求值 2 使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号 特别是在具体题目中出现类似 k的形式时 需要对 k 的取值进行分类讨论
13、从而确定出三角函数值的正负 3 利用诱导公式化简三角函数式的思路 1 分析结构特点 选择恰当公式 2 利用公式化成单角三角函数 3 整理得最简形式 利用诱导公式化简三角函数式的要求 1 化简过程是恒等变形 2 结果要求项数尽可能少 次数尽可能低 结构尽可能简单 能求值的要求出值 4 巧用相关角的关系能简化解题的过程 常见的互余关系有 3 与 6 3 与 6 4 与 4 等 常见的互补关系有 3 与 2 3 4 与 3 4 等 名师整理 助你成功 典例 4 已知 2 sin 3 且 0 2 则tan 2 A 2 5 5 B 2 5 5 C 5 2 D 5 2 答案 A 解析 2 sin 3 2
14、sin 3 0 2 5 cos 3 则 2 5 tan 5 tan 2 tan 2 5 tan 2 5 故选 A 典例 5 1 化简 sin cos 3 tan tan2 tan 4 sin 5 a 2 化简 sin 540cos 360 tan 540tan tan 900sin xx xx xx 解析 1 sin cos 3 tan tan2 sincostantan tan 4 sin 5 tansina cos tansin 2 原式 2sincos tantancossin tansin xx xxxx xx 4 已知 2019 1 cos 22 2 则cos A 1 2 B 1 2
15、 C 3 2 D 3 2 名师整理 助你成功 考向五 同角三角函数的基本关系式 诱导公式在三角形中的应用 与三角形相结合时 诱导公式在三角形中经常使用 常用的角的变形有 ABC 222 2ABC 2222 ABC 等 于是可得 ini ss n ABC cos sin 22 ABC 等 典例 6 在ABC 中 内角 所对的边分别是 若 2 3 3 C tan 3 4 则sin 答案 3 5 4 3 解析 由 sin3 tan cos4 A A A 得 22 34 sincos1 sincos 255 AAAAA 又 314334 3 sinsinsin coscos sin 525210 BA
16、CACAC 由正弦定理 sin34 35 2 343 sinsinsin103 baaB b BAA 得 5 在 ABC中 sincosAB 是 ABC为钝角三角形 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 1 与2019 o 终边相同的角是 A 37 o B 37 o C 37 o D 141 o 2 设集合 9036 MkkZ 180180 N 则M NI A 36 54 B 126 144 C 36 54 126 144 D 54 126 3 已知扇形面积为 3 8 半径是l 则扇形的圆心角是 名师整理 助你成功 A 3 16 B 3 8 C 3 4 D 3 2 4 函数 cossintan sincostan xxx y xxx 的值域是 A 1 0 1 3B 1 0 3 C 1 3 D 1 1 5 若tan0 则 A sin0B cos0 C sin 20D cos20 6 若sin3sin 0 2 则 tan tan A 2 B 1 2 C 3 D 1 3 7 在平面直角坐标系中 若角的终边经过点 5 5 sin cos 33 P 则s
