《考点11导数的概念及计算-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点11导数的概念及计算-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师整理 助你成功 考点 11 导数的概念及计算 1 导数概念及其几何意义 1 了解导数概念的实际背景 2 理解导数的几何意义 2 导数的运算 1 能根据导数定义求函数y C C 为常数 23 1 yx yxyxyyx x 的导数 2 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 能求简单的 复合函数 仅限于形如f ax b 的复合函数 的导数 常见基本初等函数的导数公式 1 0 nn CCxnxnN为常数 sin cos cos sinxxxx e e ln 0 1 xxxx aaa aa且 11 ln log log e 0 1 aa xxaa xx 且 常用
2、的导数运算法则 法则 1 u xv xuxvx 法则 2 u x v xux v xu x vx 法则 3 2 0 u xu x v xu x v x v x v xvx 一 导数的概念 1 平均变化率 函数 yf x从 1 x到 2 x的平均变化率为 21 21 f xf x xx 若 21 xxx 2 yf x 1 fx 则平 均变化率可表示为 y x 2 瞬时速度 名师整理 助你成功 一般地 如果物体的运动规律可以用函数 ss t来描述 那么 物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在 t到tt这段时间内 当t无限趋近于0 时 s t 无限趋近的常数 3 瞬时变化率 定义式 00 00 lim
3、lim xx fx xf xy xx 实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0 时 平均变化率趋近的值 作用刻画函数在某一点处变化的快慢 4 导数的概念 一般地 函数 yfx在 0 xx处的瞬时变化率是 00 00 limlim xx f x xfxy xx 我们称它为函 数 yf x在 0 xx处的导数 记作 0 fx或 0 x x y 即 0 0 lim x y fx x 00 0 lim x f x xf x x 注 函数 yf x在 0 xx处的导数是 yf x在 0 xx处的瞬时变化率 5 导函数的概念 如果函数 yf x在开区间 a b 内的每一点都是可导的 则称 f x在区间 a
4、 b 内可导 这样 对开 区间 a b 内的每一个值x 都对应一个确定的导数 fx 于是在区间 a b 内 fx构成一个新的函数 我 们 把 这 个 函 数 称 为 函 数 yf x的 导 函 数 简 称 导 数 记 为 fx或y 即 fxy 0 lim x f x xf x x 二 导数的几何意义 函数 yf x在 0 xx处的导数 0 fx就是曲线 yfx在点 00 xf x处的切线的斜率k 即 00 0 0 lim x f x xf x kfx x 注 曲线的切线的求法 若已知曲线过点P x0 y0 求曲线过点 P 的切线 则需分点P x0 y0 是切点 和不是切点两种情况求解 1 当点
5、 P x0 y0 是切点时 切线方程为 y y0 f x0 x x0 2 当点 P x0 y0 不是切点时 可分以下几步完成 名师整理 助你成功 第一步 设出切点坐标P x1 f x1 第二步 写出过P x1 f x1 的切线方程为 y f x1 f x1 x x1 第三步 将点P 的坐标 x0 y0 代入切线方程求出 x1 第四步 将x1的值代入方程 y f x1 f x1 x x1 可得过点P x0 y0 的切线方程 三 导数的计算 1 基本初等函数的导数公式 函数导数 f x C C 为常数 fx 0 n f xxnN 1 n fxnxnN f x sin x cosfxx f x co
6、s x sinfxx 01 x f xaa a且 ln 01 x fxaa a a且 e x f x e x fx log 01 a f xx aa且 1 01 ln fxaa xa 且 f x ln x 1 fx x 2 导数的运算法则 1 u xv xuxvx 2 u x v xux v xu x vx 3 2 0 u xu x v xu x v x v x v xvx 3 复合函数的导数 复合函数y f g x 的导数和函数y f u u g x 的导数间的关系为yx yu ux 即 y 对 x 的导数等于y 对 u 的导数与u 对 x 的导数的乘积 名师整理 助你成功 考向一导数的计算
7、 1 导数计算的原则和方法 1 原则 先化简解析式 使之变成能用八个求导公式求导的函数的和 差 积 商 再求导 2 方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式 再求导 分式形式 观察函数的结构特征 先化为整式函数或较为简单的分式函数 再求导 对数形式 先化为和 差的形式 再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式 再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式 再求导 2 求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 1 关键环节 中间变量的选择应是基本函数结构 正确分析出复合过程 一般是从最外层开始 由外及里 一层层地求导 善于把一部分表达式作为一个整体 最后结果要把中间变量换成自变量的函数 2
8、 方法步骤 分解复合函数为基本初等函数 适当选择中间变量 求每一层基本初等函数的导数 每层函数求导后 需把中间变量转化为自变量的函数 典例 1 求下列函数的导函数 1 42 356yxxx 2 2sincos 22 x xx y 3 2 logyxx 4 cosx y x 名师整理 助你成功 解析 1 42 356yxxx 3 465yxx 2 由题得 1 2sin 2 x yx 则 1 2 ln 2cos 2 x yx 3 1 1 ln2 y x 4 22 sin cos1sincosxxxxxx y xx 名师点睛 熟记基本初等函数的求导公式 导数的四则运算法则是正确求导数的基础 1 运用
9、基本初等函数求导公式和运算法则求函数 yf x在开区间 a b 内的导数的基本步骤 分析函数 yf x的结构和特征 选择恰当的求导公式和运算法则求导 整理得结果 2 对较复杂的函数求导数时 先化简再求导 如对数函数的真数是根式或分式时 可用对数的性质将真数 转化为有理式或整式求解更为方便 对于三角函数 往往需要利用三角恒等变换公式 将函数式进行化简 使函数的种类减少 次数降低 结构尽量简单 从而便于求导 1 函数 2 2esinfxxx的导数是 A 4ecosfxxx B 4ecosfxxx C 2 8ecosfxxxD 2 8ecosfxxx 2 已知函数fx的导函数为 fx 且满足关系式
10、3 2 lnf xxfx 则 1 f的值等于 A 1 4 B 1 4 C 3 4 D 3 4 考向二导数的几何意义 求曲线 y f x 的切线方程的类型及方法 1 已知切点P x0 y0 求 y f x 过点 P 的切线方程 求出切线的斜率 f x0 由点斜式写出方程 2 已知切线的斜率为k 求 y f x 的切线方程 设切点P x0 y0 通过方程 k f x0 解得 x0 再由点斜式 写出方程 名师整理 助你成功 3 已知切线上一点 非切点 求 y f x 的切线方程 设切点P x0 y0 利用导数求得切线斜率 f x0 再 由斜率公式求得切线斜率 列方程 组 解得 x0 最后由点斜式或两
11、点式写出方程 4 若曲线的切线与已知直线平行或垂直 求曲线的切线方程时 先由平行或垂直关系确定切线的斜率 再由 k f x0 求出切点坐标 x0 y0 最后写出切线方程 5 在点P 处的切线即是以P 为切点的切线 P 一定在曲线上 过点 P 的切线即切线过点P P 不一定是切点 因此在求过点P 的切线方程时 应首先检验点P 是 否在已知曲线上 典例 2 已知函数 2 lnyxx 1 求这个函数的图象在1x处的切线方程 2 若过点0 0的直线l与这个函数图象相切 求直线l的方程 解析 1 2 lnyxxx 当1x时 0 1yy 这个函数的图象在1x处的切线方程为1yx 2 设直线l与这个函数的图
12、象的切点为 2 000 lnxxx 则直线l的方程为 2 000000 ln2lnyxxxxxxx 由直线l过点0 0 得 2 000000 ln2 lnxxxxxx 00 ln2ln1xx 0 ln1x 0 1 e x 则直线l的斜率为 1 e 从而直线l的方程为 1 e yx 规律总结 求切线方程的步骤 1 利用导数公式求导数 2 求斜率 3 写出切线方程 注意导数为0 和导数不存在的情形 名师整理 助你成功 3 若2sin2fxaax为奇函数 则曲线yfx在 0 x 处的切线的斜率为 A 2 B 4 C 2 D 4 1 函数 2 在 0处的导数是 A 0 B 1 C ln2 D 1 ln
13、2 2 若曲线 e n x x y在点 1 1 e 处的切线的斜率为 4 e 则n A 2 B 3 C 4 D 5 3 已知函数 的图象如图 是 的导函数 则下列数值排序正确的是 A 0 2 3 3 2 B 0 3 2 3 2 C 0 3 3 2 2 D 0 3 2 2 3 4 设 f x 是 0 0 U 上的偶函数 当0 x时 2 f xxx 则 f x 在 1 1 f 处的切线 方程为 A 10 xyB 10 xy C 10 xyD 10 xy 5 已知 f x 在R上连续可导 fx为其导函数 且 ee 1 ee xxxx f xfx 则 2 2 0 1 ffff A 22 4e4e B
14、22 4e4e C 0 D 2 4e 6 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素 其含量不断减少 这种现象称为衰变 假设在 放射性同位素铯 137 的衰变过程中 其含量 M 单位 太贝克 与时间t 单位 年 满足函数关系 名师整理 助你成功 30 0 2 t M tM 其中 0 M为 0t 时铯 137 的含量 已知 30t 时 铯 137 含量的变化率为 10ln 2 太 贝克 年 则 60 M A 5 太贝克B 75ln 2太贝克 C 150ln 2太贝克D 150 太贝克 7 已知过点 1 1 P 且与曲线 3 yx相切的直线的条数有 A 0 B 1 C 2 D 3 8 设过
15、曲线 e 2 e为自然对数的底数 上任意一点处的切线为 1 总存在过曲线 2 1 2 2sin 上一点处的切线 2 使得 1 2 则实数 的取值范围为 A 1 1 B 2 2 C 1 2 D 2 1 9 已知函数 的导函数为 且满足 2 e ln 则 e 10 曲线 e 2的切线方程为 2 6 0 则实数 的值为 11 若点P是函数y 2sin sincos x xx 图象上任意一点 直线 l为点P处的切线 则直线l斜率的取值范围是 12 已知曲线 2 f xx 求 1 曲线 f x在点 1 1 P处的切线方程 2 曲线 f x过点3 5P的切线方程 名师整理 助你成功 13 已知函数 32
16、fxxbxcxd的图象过点0 2P 且在点1 1Mf处的切线方程为 670 xy 1 求1f和1f的值 2 求函数fx的解析式 1 2019 年高考全国 卷理数 已知曲线eln x yaxx在点 1 ae 处的切线方程为y 2x b 则 A e1ab B a e b 1 C 1 e1ab D 1 ea 1b 2 2018 年高考全国 卷理数 设函数 32 1 f xxaxax 若 f x 为奇函数 则曲线 yf x 在 点 0 0 处的切线方程为 A 2yxB yx C 2yx D yx 3 2019 年高考全国 卷理数 曲线 2 3 e x yxx在点 0 0 处的切线方程为 4 2018年高考全国 卷理数 曲线 2ln 1 yx 在点 0 0 处的切线方程为 5 2018 年高考全国 卷理数 曲线1 e x yax在点0 1处的切线的斜率为 2 则 a 名师整理 助你成功 6 2019 年高考江苏 在平面直角坐标系xOy中 P 是曲线 4 0 yxx x 上的一个动点 则点P 到直 线0 xy的距离的最小值是 7 2019 年高考北京理数节选 已知函数 321 4 fxxxx 求曲
