《考点09函数与方程-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点09函数与方程-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师整理 助你成功 考点 09 函数与方程 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 一 函数的零点 1 函数零点的概念 对于函数 yf xxD 我们把使 0f x 成立的实数 x叫做函数 yfxxD的零点 2 函数的零点与方程的根之间的联系 函数 yf x的零点就是方程 0f x的实数根 也就是函数 yf x的图象与x 轴的交点的横坐标 即方程 0f x有实数根 函数 yf x的图象与x 轴有交点 函数 yf x有零点 注 并非所有的函数都有零点 例如 函数 f x x2 1 由于方程x
2、2 1 0 无实数根 故该函数无零点 3 二次函数 2 0yaxbxca的零点 000 二次函数 2 0yaxbxca 的图象 与 x 轴的交点 x1 0 x2 0 x1 0 无交点 零点个数2 1 0 4 零点存在性定理 如果函数 yf x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 0f af b 那么 函数 yf x 在区间 a b内有零点 即存在c a b 使得 0f c 这个 c也就是方程 0fx的根 名师整理 助你成功 注 上述定理只能判断出零点存在 不能确定零点个数 5 常用结论 1 若连续不断的函数是定义域上的单调函数 则至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个
3、零点之间的所有函数值保持同号 3 函数 F xf xg x有零点方程 0F x有实数根函数 yf x与 yg x的图象有 交点 4 函数 F xf xa有零点方程 0F x有实数根函数 yf x与ya的图象有交点 ay yf x 其中a为常数 二 二分法 1 二分法的概念 对于在区间 a b 上连续不断且 0f af b的函数 yf x 通过不断地把函数 f x的零点所在的 区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2 用二分法求函数 f x 零点近似值的步骤 给定精确度 用二分法求函数 f x零点近似值的步骤如下 确定区间 a b 验证 0f af b
4、给定精确度 求区间 a b 的中点 c 计算 f c a 若 f c 0 则 c 就是函数的零点 b 若 f a f c 0 则令 b c 此时零点x0 a c c 若 f c f b 0 则令 a c 此时零点x0 c b 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或 b 否则重复 速记口诀 定区间 找中点 中值计算两边看 同号丢 异号算 零点落在异号间 重复做 何时止 精确度来把关口 名师整理 助你成功 考向一函数零点 方程的根 所在区间的判断 函数零点的判定方法 1 定义法 定理法 使用零点存在性定理 函数 yf x 必须在区间 a b 上是连续的 当 f af b 0时 函
5、数在区间 a b 内至少有一个零点 2 方程法 判断方程 0fx 是否有实数解 3 图 象 法 若 一 个 函 数 或 方 程 由 两 个 初 等 函 数 的 和 或 差 构 成 则 可 考 虑 用 图 象 法 求 解 如 f xg xh x 作出 yg x 和 yh x 的图象 其交点的横坐标即为函数 f x 的零点 典例 1 函数e x fxx的零点所在的区间为 A 1 1 2 B 1 0 2 C 1 0 2 D 1 1 2 答案 D 解析 易知函数e x fxx的图象是连续的 且通过计算可得 1 1e1e10f 1 2 111 ee0 222 f 0 0e010f 1 2 1111 e0
6、 222e f 11 1e110 e f 由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为 1 1 2 本题选择D 选项 规律总结 首先确定函数是连续函数 然后结合函数零点存在性定理求解函数零点所在的区间即可 判断 函数零点所在区间的方法 一般而言 判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值 进行符号判断即可得出结论 此类问题的难点往往是函数值符号的判断 可运用函数的有关性质进行判断 名师整理 助你成功 典例 2 在用二分法求方程 3 210 xx的一个近似解时 现在已经将根锁定在区间 1 2 内 则下一步可 以断定该根所在区间为 答案 3 2 2 解析 令 3 21fxxx 32
7、75 3 10 288 f 120f 28530f 故下一步可以断定根所在区间为 3 2 2 故填 3 2 2 1 已知函数 1fxmx 的零点在区间 1 2 内 则m的取值范围是 A 1 2 B 1 1 2 C 1 D 1 1 2 U 2 已知函数 32 1 1 3 fxxx 1 证明方程f x 0 在区间 0 2 内有实数解 2 请使用二分法 取区间的中点两次 指出方程f x 0 x 0 2 的实数解x0在哪个较小的区间 内 考向二函数零点个数的判断 判断函数零点个数的方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要求函数在区间
8、a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结 合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有 的性质 名师整理 助你成功 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 先画出两个函数的图象 看其交点个数 其中交 点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 典例 3 函数 2 2 4f xxx 的零点个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 要使函数有意义 则 2 40 x 即2x或2x 由 02f xx或2x 则函数的零点个数为2 故选 B 典例 4 函数 f x 2 x lg x 1 2 的零点有 A 0 个B
9、 1 个 C 2 个D 3 个 答案 B 解析 解法一 因为f 0 1 0 2 10 所以由函数零点存在性定理知 f x 在 0 2 上必定存在零点 又 f x 2 x lg x 1 2 在 1 上为增函数 故 f x 0 有且只有一个实根 即函数f x 仅有一个零点 故选 B 解法二 在同一坐标系中作出h x 2 2 x 和 g x lg x 1 的图象 如图所示 由图象可知h x 2 2 x 和 g x lg x 1 有且只有一个交点 即f x 2 x lg x 1 2 与 x 轴有且只有一个交点 即函数 f x 仅有一个零点 故选 B 名师整理 助你成功 3 已知函数 2 x xa f
10、x x xa 若函数 f x存在零点 则实数a 的取值范围是 A 0 B 1 C 1 D 0 考向三函数零点的应用问题 高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现 有时也会出现在解答题中 常与函数的图象 及性质相结合 且主要有以下几种常见类型及解题策略 1 已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围 根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件 此时应分三步 判断函数的单调性 利用零点存在性定理 得到参数所满足的不等式 解不等式 即得参数的取值范围 在求解时 注意函数图象的应用 2 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围 一般情况下 常利用数形结合法 把此问题转化为
11、求两函数图象的交点问题 3 借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系 要比较 f a 与f b 的大小 通常先比较f a f b 与0的大小 若直接比较函数零点的大小 则可有以下三 种常用方法 求出零点 直接比较大小 确定零点所在区间 同一坐标系内画出函数图象 由零点位置关系确定大小 典例5对任意实数a b 定义运算 1 1 b ab ab a ab 设 2 1 4 fxxx 若函数 yfxk恰有三个零点 则实数k 的取值范围是 A 2 1 B 0 1 C 2 0 D 2 1 答案 D 名师整理 助你成功 解析 由新定义可得 2 22 4 1 4 1 1 1 4 1 xxx fx xx
12、x 即 2 4 23 1 23 x xx f x xx 或 其图象如图所示 所以由yfxk恰有三个零点可得 1 k 2 所以 2 k 1 故选 D 4 已知函数 ln 1 2 1 若函数 1 3恰有 2 个零点 则 a 的取值范围为 1 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是 A 2 1yxB lgyx C cosyxD e1 x y 2 函数 23 x f xx的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 3 命题 7 1 2 pa 命题 q函数 1 2 x fxa x 在1 2上有零点 则p是q的 A 充分必要条件B 充分不必要条件 C 必要不充分条件D 既不充分也
13、不必要条件 4 已知曲线 2 2lnf xxaxbx在点1 1 f处的切线方程为 3yx 则函数fx的零点所在的 大致区间为 A 1 0 e B 1 1 e 名师整理 助你成功 C 1 e D e 5 若定义在 上的函数 满足 2 且 1 1 时 则方程 log3 的根的 个数是 A 4B 5 C 6D 7 6 已知函数 2 0 1 0 若函数 2有 3 个零点 则实数 的取值范围是 15 已知函数 2 12 2 01 2 10 x x xmx f x xmx 若在区间 1 1 上方程 1f x 只有一个解 则实数m的 取值范围为 16 已知函数 2 10fxaxmxma 1 若10f 判断函
14、数fx的零点个数 2 若对任意实数m 函数fx恒有两个相异的零点 求实数a的取值范围 3 已知 12 x xR且 12 xx 12 fxfx 求证 方程 12 1 2 fxfxfx 在区间 12 x x 上有实数根 名师整理 助你成功 1 2019年高考全国 卷理数 设函数 f x 的定义域为R 满足 1 2 f xf x 且当 0 1 x 时 1 f xx x 若对任意 xm 都有 8 9 f x 则 m 的取值范围是 A 9 4 B 7 3 C 5 2 D 8 3 2 2019 年高考浙江 已知 a bR 函数 32 0 11 1 0 32 x x f x xaxax x 若函数 yf x
15、axb 恰有 3 个零点 则 A a 1 b 0 B a0 C a 1 b 1 b 0 3 2019 年高考江苏 设 fxg x是定义在R 上的两个周期函数 f x的周期为4 g x的周期为2 且 f x是奇函数 当2 0 x时 2 1 1 f xx 2 01 1 12 2 k xx g x x 其中k 0 若在 区间 0 9 上 关于x 的方程 f xg x有 8 个不同的实数根 则k 的取值范围是 4 2018 年高考新课标I 卷理科 已知函数 e0 ln0 x x fx xx g xfxxa 若 g x 存在 2 个零点 则a 的取值范围是 名师整理 助你成功 A 1 0 B 0 C 1
16、 D 1 5 2017 年高考新课标 卷理科 设函数 3 cos fxx 则下列结论错误的是 A f x的一个周期为2 B yf x的图象关于直线 8 3 x对称 C fx的一个零点为 6 xD f x在 2 单调递减 6 2017 年高考新课标 卷理科 已知函数 211 2 ee xx f xxxa有唯一零点 则a A 1 2 B 1 3 C 1 2 D 1 7 2016 年高考天津卷理科 已知函数 2 4330 log110 a xaxa x fx xx a 0 且 a 1 在 R 上单调递减 且关于 x 的方程 2fxx恰有两个不相等的实数解 则a 的取值范围是 A 7 2 4 3 B 2 3 3 4 C 1 23 3 34 U D 1 23 3 34 U 8 2018 年高考新课标 卷理科 函数 cos 3 6 fxx在0 的零点个数为 9 2018 年高考浙江卷 已知 R 函数 f x 2 4 43 xx xxx 当 2 时 不等式f x 0 当 e时 1 3 当 0时 易知不满足题意 当 0时 满足题意 当 0时 如图所示 由图象可知 1 3 0 所以由零点存在性定理得 零
