《考点07指数与指数函数-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点07指数与指数函数-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师整理 助你成功 考点 07 指数与指数函数 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念 理解指数函数的单调性 掌握指数函数图象通过的特殊点 4 知道指数函数是一类重要的函数模型 一 指数与指数幂的运算 1 根式 1 n次方根的概念与性质 n 次 方 根 概念一般地 如果 n xa 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 其中1n n 性质 当n是奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 这时 a的n次方根用符号 n a表示 当n是偶数时 正数a的n次方根有两个 这两个数互为相反数 这时 正 数a的正的n
2、次方根用符号 n a表示 负的n次方根用符号 n a表示 正的n 次方根与负的 n次方根可以合并写成 0 n a a 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都为0 记作00 n 2 根式的概念与性质 根概念 式子 n a叫做根式 这里n叫做根指数 a叫做被开方数 名师整理 助你成功 式 性质 1 nn aa nnN且 当n为奇数时 nn aa 当n为偶数时 0 0 nn a a aa a a 注 速记口诀 正数开方要分清 根指奇偶大不同 根指为奇根一个 根指为偶双胞生 负数只有奇次根 算术方根零或正 正数若求偶次根 符号相反值相同 负数开方要慎重 根指为奇才可行 根指为偶无意义 零取方根仍为零 2
3、 实数指数幂 1 分数指数幂 我们规定正数的正分数指数幂的意义是 0 1 m nm n aaam nnN 且 于是 在条件 0 1am nnN且下 根式都可以写成分数指数幂的形式 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿 我们规定 1 0 m n m n aam n a N且 1 n 0 的正分数指数幂等于0 0 的负分数指数幂没有意义 2 有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后 指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数 整数指数幂的运算性 质对于有理数指数幂也同样适用 即对于任意有理数 r s 均有下面的运算性质 0 rsrs a aaar sQ 0 rsrs aaar sQ 0
4、 0 rrr aba babrQ 名师整理 助你成功 3 无理数指数幂 对于无理数指数幂 我们可以从有理数指数幂来理解 由于无理数是无限不循环小数 因此可以取无 理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它 最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数 一般地 无理数指数幂 0 aa 是无理数是一个确定的实数 有理数指数幂的运算性质同样适用于 无理数指数幂 二 指数函数的图象与性质 1 指数函数的概念 一般地 函数 0 1 x yaaa且叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是R 注 指数函数 0 1 x yaaa且的结构特征 1 底数 大于零且不等于1 的常数 2 指数 仅有自变量x 3 系
5、数 ax的系数是 1 2 指数函数 0 1 x yaaa且的图象与性质 01a1a 图象 定义域 R 值域 0 奇偶性非奇非偶函数 对称性函数 y a x与 y ax 的图象关于y 轴对称 过定点 过定点 0 1 即0 x时 1y 名师整理 助你成功 单调性在R上是减函数在R上是增函数 函数值的 变化情况 当0 x时 1y 当0 x时 01y 当0 x时 1y 当0 x时 01y 底数对图 象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示 其中 0 c d 1 a b 在 y 轴右侧 图象从上到下相应的底数由大变小 在 y 轴左侧 图象从下到上相应的底数由大变小 即无论
6、在y 轴的左侧还是右侧 底数按逆时针方向变大 注 速记口诀 指数增减要看清 抓住底数不放松 反正底数大于0 不等于1 已表明 底数若是大于1 图象从下往上增 底数 0 到 1 之间 图象从上往下减 无论函数增和减 图象都过 0 1 点 3 有关指数型函数的性质 1 求复合函数的定义域与值域 形如 xf ya的函数的定义域就是 f x 的定义域 求形如 xf ya的函数的值域 应先求出 f x 的值域 再由单调性求出 xf ya的值域 若a 的范 名师整理 助你成功 围不确定 则需对a 进行讨论 求形如 x yfa的函数的值域 要先求出 x ua 的值域 再结合yf u的性质确定出 x yfa
7、的值域 2 判断复合函数 x yfa的单调性 令u f x x m n 如果复合的两个函数 u ya与ufx的单调性相同 那么复合后的函数 xf ya在 m n 上是增函数 如果两者的单调性相异 即一增一减 那么复合函数 xf ya在 m n 上是减函数 3 研究函数的奇偶性 一是定义法 即首先是定义域关于原点对称 然后分析式子 f x与 f x 的关系 最后确定函数的奇偶 性 二是图象法 作出函数的图象或从已知函数图象观察 若图象关于坐标原点或y 轴对称 则函数具有 奇偶性 考向一指数与指数幂的运算 指数幂运算的一般原则 1 有括号的先算括号里的 无括号的先做指数运算 2 先乘除后加减 负指
8、数幂化成正指数幂的倒数 3 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 4 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数幂的运算性质来解答 5 有理数指数幂的运算性质中 其底数都大于零 否则不能用性质来运算 6 将根式化为指数运算较为方便 对于计算的结果 不强求统一用什么形式来表示 如果有特殊要求 要根据要求写出结果 但结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 典例 1 化简并求值 名师整理 助你成功 1 29 334 1 825 125 2 32 32 4 1111 3342 a bab a bab 答案 1 1 2 2 a
9、b 解析 1 92 29233 43 10334 322 11 82525525 2125 2 1 12 2 32 3354 3232 33 1 41127 1111 2 3333 3342 a ba b a baba ba ab b ababa b a bab 名师点睛 把根式化为分数指数幂 再按照幂的运算法则进行运算即可 1 2 2 1 3 0 2 1273 2 2 482 考向二与指数函数有关的图象问题 指数函数y ax a 0 且 a 1 的图象变换如下 注 可概括为 函数y f x 沿 x 轴 y 轴的变换为 上加下减 左加右减 典例 2 函数 y ax a a 0 且 a 1 的图
10、象可能是 答案 C 解析 当x 1 时 y a1 a 0 所以 y ax a 的图象必过定点 1 0 名师整理 助你成功 结合选项可知选C 2 函数 2 e xx fx的图像是 A B C D 考向三指数函数单调性的应用 1 比较幂的大小的常用方法 1 对于底数相同 指数不同的两个幂的大小比较 可以利用指数函数的单调性来判断 2 对于底数不同 指数相同的两个幂的大小比较 可以利用指数函数图象的变化规律来判断 3 对于底数不同 且指数也不同的幂的大小比较 可先化为同底的两个幂 或者通过中间值来比较 2 解指数方程或不等式 简单的指数方程或不等式的求解问题 解决此类问题应利用指数函数的单调性 要特
11、别注意底数a 的取 值范围 并在必要时进行分类讨论 典例 3 设 232 555 322 555 abc 则 a b c的大小关系是 A acbB abc C cabD bca 答案 A 解析 对于函数 2 5 x y 在其定义域上是减函数 32 55 Q 32 55 22 55 即bc 在同一平面直角坐标系中画出函数 3 5 x y和函数 2 5 x y的图象 可知 22 55 32 55 即ac 从而bca 名师整理 助你成功 故 A 正确 名师点睛 不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式 若底数含有参数 需注意对参数的值分 1a与01a两种情况讨论 3 设 1 10 ea ln2b
12、 1 lg e c 其中e2 71828L是自然对数的底数 则 A c ba B a bc C acbD bac 典例 4 设函数 1 1 7 0 2 2 0 x x x f x x 若 1f a 则实数a 的取值范围是 A 1 B 3 C 3 1 D 3 1 U 答案 C 解析 当0a时 不等式 1f a可化为 1 71 2 a 即 1 8 2 a 解得30a 当0a时 不等式 1f a可化为 1 21 a 所以01a 故a的取值范围是 3 1 故选 C 名师点睛 利用指数函数的单调性 分别讨论当0a及0a时 a的取值范围 最后综合即可得出结 果 4 若221 mn 则 A 11 mn B
13、11 22 loglogmn 名师整理 助你成功 C ln0mnD 1 m n 考向四指数型函数的性质及其应用 1 指数型函数中参数的取值或范围问题 应利用指数函数的单调性进行合理转化求解 同时要特别注意底数a 的取值范围 并当底数不确定时进 行分类讨论 2 指数函数的综合问题 要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质 如奇偶性 周期性 相结合 同时要特别注意底数不确定 时 对底数的分类讨论 典例 5 已知函数 11 e12 x fx 则 是 A 奇函数 且在 上是增函数B 偶函数 且在 0 上是增函数 C 奇函数 且在 上是减函数D 偶函数 且在 0 上是减函数 答案 C 解析 易知函数 f
14、 x的定义域为R 关于原点对称 且 11e1 e12e12 x xx fx 则0fxfx 所以fx是奇函数 显然函数 11 e12 x fx 是减函数 故选 C 5 若函数f x 3 x 3 x 与 g x 3 x 3 x的定义域均为 R 则 A f x 与 g x 均为偶函数B f x 为奇函数 g x 为偶函数 C f x 与 g x 均为奇函数D f x 为偶函数 g x 为奇函数 名师整理 助你成功 典例 6 若函数 2 2 2 2 log 2 x x fx xax 的最小值为 2 f 则实数a的取值范围为 A 0a B 0a C 0aD 0a 答案 D 解析 当2x时 f x 22
15、22 xx 单调递减 f x 的最小值为f 2 1 当 x 2 时 f x 2 logxa单调递增 若满足题意 只需 2 log1xa恒成立 即2xa恒成立 max 2 ax a 0 故选 D 典例 7 函数 2 2 1 2 xx y 的值域为 答案 0 2 解析 设 22 2 1 11txxx 又由指数函数 1 2 t y为单调递减函数 即可求解 由题意 设 22 2 1 11txxx 又由指数函数 1 2 t y为单调递减函数 知当1t时 02y 即函数 2 21 2 xx y的值域为 0 2 6 若关于x的不等式 1 220 xx a的解集包含区间0 1 则a的取值范围为 A 7 2 B
16、 1 C 7 2 D 1 名师整理 助你成功 1 计算 114 333 1 2 2 xxx A 3 B 2 C 2xD 12x 2 若函数 2 1 log 2 1 则函数 的值域是 A 2 B 0 C 0 0 2 D 2 3 设 0 61 50 6 0 6 0 6 1 5abc 则 a b c的大小关系是 A a bc B b ac C acb D bca 4 函数 1 2 2 2 的单调递减区间为 A 0 B 1 C 1 D 1 5 函数 1 1 x xa ya x 的图象的大致形状是 A B C D 6 已知函数2 0 x fxx 其值域为D 在区间1 2上随机取一个数x 则xD的概率是 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 2 3 7 已知实数 x y满足 11 22 xy 则下列关系式中恒成立的是 A tantanxyB 22 ln2ln1xy 名师整理 助你成功 C 11 xy D 33 xy 8 已知函数 2 83640fxxx在 1 2 上的值域为 A 函数 2 x g xa在 1 2 上的值域为 B 若 xA是xB的必要不充分条件 则 a的取值范围是 A 4 B 14
