考点10正余弦定理及其应用(解析版) .pdf

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1、考点 10 正余弦定理及其应用 知识框图 自主热身 归纳总结 1 2019 苏州期初调查 已知 ABC 的三边上高的长度分别为2 3 4 则 ABC 最大内角的余弦值等于 答案 11 24 解析 因为高分别为2 3 4 由面积法可知 三边边长之比为 1 2 1 3 1 4 6 4 3 不妨设三边长为 6 4 3 所以最大内角的余弦值为 4 2 32 62 2 3 4 11 24 2 2019通州 海门 启东期末 在 ABC中 角A B C 所对的边分别为a b c 若acosB 3bcosA B A 6 则 B 答案 6 解析 因为 acosB 3bcosA 所以 由正弦定理 a sinA b

2、 sinB得 sinAcosB 3sinBcosA 故 tanA 3tanB 又 B A 6 故 tanB tanA 3 3 1 3 3 tanA 3tanB 3 3 1 3tanB 解得 tanB 3 3 因为 B 0 2 所以 B 6 3 2019苏州三市 苏北四市二调 在 ABC 中 已知C 120 sinB 2sinA 且 ABC 的面积为 23 则 AB 的长为 答案 27 解析 设角 A B C 的对边分别为a b c 因为 sinB 2 sinA 由正弦定理得b 2a 因为 ABC 的面 积为23 所以S 1 2absin120 3 2 a2 2 3 解得a 2 所以b 4 则A

3、B c a2 b2 2abcosC 4 16 2 2 4cos120 27 4 2019南京学情调研 已知 ABC 的面积为 3 15 且 AC AB 2 cosA 1 4 则 BC 的长为 答案 8 解析 在 ABC 中 cosA 1 4 所以 sinA 1 cos2A 15 4 由 S ABC 1 2bcsinA 1 2bc 15 4 3 15得 bc 24 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA b c 2 2bc 2bccosA 22 48 12 64 即 a 8 5 2019苏锡常镇调研 一 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为a b c 已知 5a 8b A 2B

4、则 sin A 4 答案 172 50 解析 因为 5a 8b 所以由正弦定理可得5sinA 8sinB 即 sinA 8 5sinB 因为 A 2B 所以 sinA sin2B 2sinBcosB 则 8 5sinB 2sinBcosB 因为 sinB 0 所以 cosB 4 5 则 sinB 1 cos2B 3 5 故 sinA 24 25 因为 A 2B 所以 cosA cos2B 2cos2B 1 7 25 所以 sin A 4 sinAcos 4 cosAsin 4 17 2 50 解后反思本题综合考查了正弦定理 同角三角函数关系 三角恒等变换等多个知识点的应用 6 2018 苏北四

5、市期末 在 ABC 中 已知角A B C 所对的边分别为a b c 若 bsinAsinB acos 2B 2c 则 a c的值为 答案 2 解析 由正弦定理得 sinBsinAsinB sinAcos2B 2sinC 即 sinA sin2B cos2B 2sinC 即sinA 2sinC 再由正弦定理得 a c sinA sinC 2 7 2018 镇江期末 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为a b c 若tan7tanAB 22 3 ab c 则 c 答案 4 思路分析 本题第一步应将tan7tanAB的条件化成正余弦的等式 第二步由于本题求是的三角形边长 所以将三角函数值等式

6、转化为边长的等式 第三步 再结合 22 3 ab c 解方程组即可 解析 解法一 由tan7tanAB可得 sin7sin coscos AB AB 即sincos7sincosABBA 所以有sincossincos8sincosABBABA 即sin sin8sincosABCBA 由正 余弦定理可得 222 8 2 bca cb bc 即 2222 444cbca 又 22 3 ab c 所以 2 4cc 即4c 解法二 也可在sincos7sincosABBA 用余弦定理可得 222222 7 22 acbbca ab acbc 解得 2222 444cbca 下同解法一 8 2017

7、 徐州 连云港 宿迁三检 在 ABC 中 角 A B C 所对边的长分别为a b c 已知 a 2c 2b sinB 2sinC 则 cosA 答案 2 4 解析 由sinB 2sinC 得 b 2c 又因为 a 2c 2b 所以 a 2c 因此 cosA b 2 c2 a2 2bc 2c2 c2 2c2 2 2c2 2 4 9 2017 南京 盐城二模 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为a b c 已知 tanA tanB 3c b b 则 cosA 答案 1 3 解析 思路分析利用三角公式对 tanA tanB 1 化简 由 tanA tanB 1 3c b 得 sinAcosB

8、 cosAsinB 1 3c b 即 sin A B cosAsinB 3c b 在 ABC中 sin A B sinC 由正弦定理 sinC sinB c b 所以 cosA 1 3 10 2018南 通 泰 州 一 调 设 ABC的 内 角A B C的 对 边 分 别 是abc 且 满 足 3 coscos 5 aBbAc 则 tan tan A B 答案 4 解法 1 正弦定理 根据正弦定理可得CABBAsin 5 3 cossincossin 即 CABBAsin3cossin5cossin5 又因为BABABACsincoscossin sin sin 所以BABAsincos8co

9、ssin2 又因为 0 BA 所以0cos 0cosBA 所以BAtan4tan 则 4 tan tan B A 解法 2 射影定理 因为cAbBa 5 3 coscos及cAbBacoscos可得cBa 5 4 cos cAb 5 1 cos 注意到0cos 0cosBA 两式相除可得4 cos cos Ab Ba 再由正弦定理可得 AB BA cossin cossin 4 tan tan B A 解后反思 解三角形问题中若等式既有三角函数又有边 则可以考虑利用正弦定理或余弦定理转化为只含 有边或只含有三角函数的等式处理 解法 2 则利用了三角形中的射影定理 教材必修5p17 练习 5 结

10、合条件 整体处理 11 2017 南通 扬州 泰州 淮安三调 在锐角 ABC 中 3AB 4AC 若 ABC 的面积为 3 3 则BC的长是 答案 13 解析 因为4 3bc 由 1 sin6sin3 3 2 ABC SbcAA 解得 3 sin 2 A 因为是在锐角ABC 中 所以 21 cos1 sin 2 AA 或求出锐角 3 A 再求 1 cos 2 A 在锐角ABC中 由余弦定理 得 222 1 2cos16924 313 2 abcbcA 所以13a 即13BC 问题探究 开拓思维 题型一运用正余弦定理解决边角问题 知识点拨 正余弦定理主要是解决三角形的边角问题 在解三角形时要分析

11、三角形中的边角关系 要合理 的使用正 余弦定理 要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理 就要抓住这两个定理的使用条件 例 1 2019 苏州三市 苏北四市二调 在 ABC 中 已知C 120 sinB 2sinA 且 ABC 的面 积为 2 3 则 AB 的长为 答案 27 解析 设角 A B C 的对边分别为a b c 因为 sinB 2 sinA 由正弦定理得b 2a 因为 ABC 的面 积为23 所以S 1 2absin120 3 2 a2 2 3 解得a 2 所以b 4 则AB c a2 b2 2abcosC 4 16 2 2 4cos120 27 变式 1 2019 南京学情调研

12、已知 ABC 的面积为315 且 AC AB 2 cosA 1 4 则 BC 的长为 答案 8 解析 在 ABC 中 cosA 1 4 所以 sinA 1 cos 2A 15 4 由 S ABC 1 2bcsinA 1 2bc 15 4 3 15得 bc 24 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA b c 2 2bc 2bccosA 22 48 12 64 即 a 8 变式 2 2019 年江苏卷 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为a b c 1 若 a 3c b 2 cosB 2 3 求 c 的值 2 若 sincos 2 AB ab 求sin 2 B 的值 解析 1 由题

13、意结合余弦定理得到关于c的方程 解方程可得边长c 的值 2 由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得 cosB的值 然后由诱导公式可得 sin 2 B的 值 1 因为 2 3 2 cos 3 ac bB 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac 得 222 2 3 2 323 cc cc 即 2 1 3 c 所以 3 3 c 2 因为 sincos 2 AB ab 由正弦定理 sinsin ab AB 得 cossin 2 BB bb 所以cos2sinBB 从而 22 cos 2sin BB 即 22 cos4 1cosBB 故 2 4 cos 5 B 因为sin0B 所以c

14、os2sin0BB 从而 2 5 cos 5 B 因此 2 5 sincos 25 BB 变式 3 2017 苏锡常镇调研 一 在 ABC 中 a b c 分别为角A B C 的对边 已知acosB 3 bcosA 1 且 A B 6 1 求 c 的长 2 求 B 的大小 规范解答 1 解法 1 在 ABC 中 acosB 3 由余弦定理 则 a a2 c2 b2 2ac 3 得 a2 c2 b2 6c 2 分 bcosA 1 则 b b 2 c2 a2 2bc 1 得 b2 c2 a2 2c 4 分 得2c2 8c 所以 c 4 7 分 解法 2 因为在 ABC 中 A B C 则 sinA

15、cosB sinBcosA sin A B sin C sinC 2 分 由 a sinA b sinB c sinC得 sinA asinC c sinB bsinC c 代入上式得 4 分 c acosB bcosA 3 1 4 7 分 2 由正弦定理得 acosB bcosA sinAcosB sinBcosA tanA tanB 3 10 分 又 tan A B tanA tanB 1 tanAtanB 2tanB 1 3tan2B 3 3 12 分 解得 tanB 3 3 又 B 0 所以 B 6 14 分 变式 4 2016 南通一调 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为

16、a b c a b c a b c ab 1 求角 C 的大小 2 若 c 2acosB b 2 求 ABC 的面积 规范解答 1 在 ABC 中 由 a b c a b c ab 得 a2 b2 c2 2ab 1 2 即 cosC 1 2 3 分 因为 0 C 所以 C 2 3 6 分 2 解法 1 因为 c 2acosB 由正弦定理 得 sinC 2sinAcosB 8 分 因为 A B C 所以 sinC sin A B 所以 sin A B 2sinAcosB 即 sinAcosB cosAsinB 0 即 sin A B 0 10 分 又 3 A B 3 所以 A B 0 即 A B 所以 a b 2 12 分 所以 ABC 的面积为 S ABC 1 2absinC 1 2 2 2 sin 2 3 3 14 分 解法 2 由 c 2acosB 及余弦定理 得 c 2a a 2 c2 b2 2ac 8 分 化简得 a b 12 分 所以 ABC 的面积为 S ABC 1 2absinC 1 2 2 2 sin 2 3 3 14 分 解后反思本题的考点是三角函数和解三角形 在运用