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1、考点 08 三角函数的图像与性质 知识框图 自主热身 归纳总结 1 2019 苏州期末 已知 3sin cos 则 tan 的值是 答案 1 3 解析 思路分析先设 则即求 tan 的值 设 则 3sin cos 得 3sin cos 所以tan 1 3 2 2018 苏北四市期末 若函数f x Asin x A 0 0 的图像与直线y m 的三个相邻交点 的横坐标分别是 6 3 2 3 则实数 的值为 答案 4 解析 由题意得函数f x 的最小正周期T 2 3 6 2 从而 4 3 2018 镇江期末 函数 y 3sin 2x 4 的图像两相邻对称轴的距离为 答案 2 解析 由题知函数最小正
2、周期T 2 2 图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期 的一半即 2 4 2016 苏州期末 已知 是第三象限角 且 sin 2cos 2 5 则 sin cos 答案 31 25 解析 思路分析首先试试能否猜出答案 猜出的答案是否正确 观察得sin 4 5 cos 3 5满足方 程 但此时 是第一象限角 不合题意 由 sin 2cos 2 5 sin2 cos 2 1 得 5cos2 8 5cos 21 25 0 解得 cos 3 5或 7 25 因为 是第三象限角 所以 cos 7 25 从而 sin 24 25 所以 sin cos 31 25 5 2018 镇江期末 已知锐角 满足 ta
3、n 6cos 则 sin cos sin cos 答案 3 22 解析 由 tan 6cos 得sin 6cos2 即sin 6 1 sin 2 解得 sin 6 3 负值已舍 去 cos 3 3 代入 sin cos sin cos 可得结果为3 2 2 6 2016 南通一调 已知 sin x 6 1 3 则 sin x 5 6 sin2 3 x 的值为 答案 5 9 解析 sin x 5 6 sin x 6 sin x 6 1 3 sin 2 3 x cos 2 x 6 1 sin2 x 6 1 1 9 8 9 所以 sin x 5 6 sin2 3 x 1 3 8 9 5 9 7 20
4、17 徐州 连云港 宿迁三检 若函数 2sin 2 0 2 f xx的图象过点 0 3 则函 数 f x 在 0 上的单调减区间是 答案 12 7 12 或 12 7 12 解析 将点 3 0 代入得 2 3 sin 因为 2 0 所以 3 所以 3 2sin 2 xxf 由 2 3 2 3 2 2 2kxk得 12 7 12 kxk Zk 即 函 数 xf的 单 调 减 区 间 为 12 7 12 kk Zk 所以数 xf在 0 上的单调减区间是 12 7 12 8 2019无锡期末 已知直线y a x 2 a 0 与函数y cosx 的图像恰有四个公共点A x 1 y1 B x2 y2 C
5、 x3 y3 D x4 y4 其中x1 x2 x30 R 是偶函数 点 1 0 是函数 y f x 图像的对称中心 则 的最小值为 答案 2 解法 1 令 x 2 k1 k1 Z 得 x 2 k1 因为函数f x sin x 0 R 是偶 函数 则x 2 k1 0 得 2 k1 因为点 1 0 是函数 y f x 图像的对称中心 所以 f 1 0 即 sin 0 故 k2 k2 Z 则 k2 k2 2 k1 2 k2 k1 又因为 0 所以当 k2 k1 1 时 取最小值为 2 解法 2 函数f x 是偶函数 所以图像关于x 0 对称 又 1 0 是函数f x 的对称中心 所以 T 4 k 2
6、T 2k 1 4 2 1 得 2k 1 2 k Z 又 0 所以 min 2 变式 2 2019 苏北三市期末 将函数 f x sin2x 的图像向右平移 6 个单位长度得到函数g x 的图像 则以函数f x 与 g x 的图像的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 答案 3 2 解析 平移后的函数g x sin 2x 3 令 f x g x 得 sin2x sin 2x 3 解法 1 2x 3 2x 2k k Z 即 x 3 k 2 k Z 相邻的三个交点为 3 3 2 6 3 2 5 6 3 2 故所求面积为S 1 2 3 3 2 解法 2 sin2x sin 2x 3 sin2xcos 3
7、 cos2x sin 3 1 2sin2x 3 2 cos2x 即 sin 2x 3 0 则有 2x 3 k k Z x 6 k 2 k Z 相邻的三个交点为 3 3 2 6 3 2 5 6 3 2 则所求面积S 1 2 3 3 2 变式 3 2018 无锡期末 函数 y cos 2x 0 的图像向右平移 2 个单位长度后 与函数y sin 2x 3 的图像重合 则 答案 6 解析 函数 y cos 2x 的图像向右平移 2 个单位长度后所得图像的函数是y cos 2 x 2 cos 2x sin 2x 2 由题意可得 2 3 2k k Z 故 6 2k k Z 又 因为 0 所以当k 0 时
8、 6 变式 4 2018 苏州暑假测试 将函数 y sin 2x 0 的图像沿x 轴向左平移 8 个单位长度 得到函数y f x 的图像 若函数y f x 的图像过原点 则 的值是 答案 3 4 解析 由题意 f x sin 2 x 8 进而 f 0 sin 4 0 又因为 0 所以 3 4 变式 5 2018 南通 泰州一调 在平面直角坐标系xOy 中 将函数y sin 2x 3 的图像向右平 移 0 2 个单位长度 若平移后得到的图像经过坐标原点 则 的值为 答案 6 解析 解法 1 代入特殊点 平移后的解析式为y sin 2 x 3 sin 2x 3 2 因为函 数图像过原点 则sin
9、3 2 0 即sin 2 3 0 所以2 3 k k Z 则 k 2 6 又 0 2 所以 6 解法2 函数的性质 平移后的解析式为y sin 2 x 3 sin 2x 3 2 因为函数图像过原 点 则函数为奇函数 所以 3 2 k k Z 所以 k 2 6 又 0 2 所以 6 变式 8 2017 南京 盐城二模 将函数 f x sinx 的图像向右平移 3个单位长度后得到函数 y g x 的图像 则函数y f x g x 的最大值为 答案 3 解析 化简 y f x g x sinx sin x 3 sin x 6 6 sin x 6 6 3sinx 6 故 y 3 3 变式 7 2017
10、 南京 盐城一模 将函数 y 3sin 2x 3 的图像向右平移 0 2 个单位长度后 所得函数为偶函数 则 答案 5 12 解析 将函数 y 3sin 2x 3 的图像向右平移 0 2个单位长度后 所得函数为 y 3sin2 x 3 3sin 2x 3 2 因为所得的函数为偶函数 所以 3 2 k 2 解得 k 2 12 k Z 因为 0 2 所以 k 1 得 5 12 变式 1 2017 镇江期末 将函数 y 5sin 2x 4 的图像向左平移 0 2 个单位长度后 所得函 数图像关于y 轴对称 则 答案 8 解析 向左平移 个单位长度后所得函数解析式为y 5sin 2 x 4 因为其图像
11、关于y 轴对称 所以 2 4 2 k k Z 即 8 k 2 k Z 又因为 0 2 所以 8 题型二讨论三角函数的对称性 知识点拨 正弦型和余弦型函数的对称轴 就是函数取最大值或最小值时x 的值 体现了整体的思想 如本题是 x k 2 k Z 而不是2k 2 解题时一定要注意这一点 利用整体思想 结合三 角函数的图像及性质是解决这类问题的关键 例 2 2019 南京学情调研 已知函数f x 2sin 2x 2 2 的图像关于直线x 6 对称 则 f 0 的值为 答案 1 解析 由题意 f 6 2sin 2 6 2 即 sin 3 1 又因为 2 2 6 3 5 6 所以 3 2 即 6 所以
12、 f x 2sin 2x 6 f 0 1 变式 1 2019 苏锡常镇调研 二 函数 cos 0 3 f xx的图像关于直线 2 x对称 则的最小值为 答案 3 2 解法1 根据余弦函数的图像及性质 令 kx 3 Zk得 k x 3 令 2 3 k 得 k2 3 2 Zk 又因为0 所以当0k时取得最小值为 3 2 解法 2 由条件可得1 2 f 即1 32 cos 则 k 32 Zk 解得k2 3 2 Zk 又因为0 所以当0k时取得最小值为 3 2 变式 2 2019 苏州期初调查 已知函数f x sin 2x 0 的一条对称轴是x 5 12 则 答案 3 解析 因为函数f x 的一条对称
13、轴是x 5 12 所以 2 5 12 k 2 k Z 则 k 4 3 k Z 又因为0 0 0 的图像经过点 6 2 且相 邻两条对称轴间的距离为 2 则 f 4 的值为 答案 3 解析 由相邻两条对称轴间的距离为 2 知其最小正周期T 2 2 从而得 2 T 2 2 又 f x 2sin 2x 的图像经过点 6 2 所以 2sin 3 2 解得 2k 6 k Z 又因为0 0 0 0 0 2 0 所以T 2 2 得 1 4 分 所以f x 2sin x 将点 3 2 代入 得 3 2 2k k Z 即 6 2k k Z 又 2 0 0 0 2 部分图像如图所示 1 求函数 f x 的解析式
14、2 当 x 1 2 5 2 时 求函数y f x 1 f x 的值域 解析 1 由题图知A 2 T 4 2 3 1 3 1 所以 T 4 2 所以 f x 2sin 2x 由 f 2 3 2sin 2 2 3 2 得 sin 3 1 所以 3 2k 2 k Z 又 0 0 2 fxAxA 在一个 周期内的图象 已知点P 6 0 23 Q 是图象上的最低点 R是图象上的最高点 1 求函数 fx 的解析式 2 记RPO QPO 均为锐角 求 tan 2 的值 解析 1 因为图象在一个周期内的最低点为 23 Q 与 x 轴的交点为 6 0 P 所以34 26 16AT 又 2 T 所以 8 所以 3
15、sin 8 f xx 将点 23 Q 代入 得 33sin2 8 所以 2 42 kkZ 所以 2 4 kkZ 又 2 所以 4 所以 3sin 84 f xx 2 点 R 的横坐标 1 286 2 RQ xxT 所以 6 3 R 又因为 均为锐角 从而 1 tan 4 3 tan 4 所以 22 1 2 2tan8 4 tan2 15 1tan 1 1 4 所以 83 tan 2tan 77154 tan 2 1tan2tan8336 1 154 关联 2 2017 南通 扬州 泰州 淮安三调 已知函数 sin 3 f xAx 00A 图象的 相邻两条对称轴之间的距离为 且经过点 3 32
16、1 求函数 f x的解析式 2 若角满足 3 1 2 ff 0 求角的值 解析 1 由条件知 周期2 T 即 2 2 所以1 即 sin 3 f xAx 因为 f x 的图象经过点 3 32 所以 32 sin 32 A 所以1A 所以 sin 3 f xx 2 由 3 1 2 ff 得 sin3sin1 332 即 sin3cos1 33 所以 2sin1 33 即 1 sin 2 因为0 所以 6 或 5 6 易错警示 这由 1 sin 2 求角的值 会忽略 0 的限制条件 出现少解或多解的错误现象 关联 3 2016 南京三模 如图 已知A B 分别是函数f x 3sin x 0 在 y 轴右侧图像上的第 一个最高点和第一个最低点 且 AOB 2 则该函数的最小正周期是 第 9 题图 答案 4 思路分析利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 连结 AB 设 AB 与 x 轴的交点为C 则由 AOB 2 得 CO CA CB 又 OA CA 所以 AOC 是高 为3的正三角形 从而OC 2 所以该函数的最小正周期是4 关联 4 2016 苏北四市期末 函数 f x 2sin x 0
