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1、考点 01 函数的性质及其应用 知识框图 自主热身 归纳提炼 1 2019 南京学情调研 若函数 f x a 1 2x 1是奇函数 则实数 a 的值为 答案 1 2 解析 解法 1 特殊值法 因为函数f x 为奇函数 且定义域为 x x 0 所以有f 1 f 1 0 即 a 1 a 2 0 解得 a 1 2 解法 2 定义法 因为函数f x 为奇函数 所以有f x f x 0 即 a 1 2x 1 a 1 2 x 1 0 即 2a 1 0 解得 a 1 2 易错警示本题由于是填空题 可用特殊值法解答 但取特值时 要注意函数的定义域 2 2019 南通 泰州 扬州一调 已知函数f x 是定义在R
2、 上的奇函数 且f x 2 f x 当 0 x 1 时 f x x3 ax 1 则实数 a 的值为 答案 2 解析 因为 f x 2 f x 则 f 1 f 1 又 f x 是定义在R 上的奇函数 所以f 1 f 1 则有 f 1 f 1 即 f 1 0 所以 1 a 1 0 则 a 2 故答案为2 3 2018 南京学情调研 已知函数f x 是定义在R 上的奇函数 且在 0 上为单调增函数 若f 1 2 则满足f 2x 3 2 的 x 的取值范围是 答案 2 解析 因为f x 是定义在R 上的奇函数 且在 0 上为单调增函数 所以f x 在 R 上为单调增函 数 又因为f 1 2 所以 f
3、1 2 故 f 2x 3 2 f 1 即 2x 3 1 解得 x 2 4 2017苏州暑假测试 已知定义在R 上的奇函数f x 当x 0 时 f x 2x x2 则f 0 f 1 答案 1 解析 因为 f x 为定义在R 上的奇函数 所以f 0 0 f 1 f 1 2 1 1 因此 f 0 f 1 1 5 2016 南通一调 若函数 f x x x b x 0 ax x 2 x 0 a b R 为奇函数 则 f a b 的值为 答案 1 解析 思路分析本题是一个分段函数的奇偶性问题 破解方法是运用赋值法或运用f x f x 0 x R 求出参数a b 的值 解法 1 因为函数f x 为奇函数
4、所以 f 1 f 1 f 2 f 2 即 1 1 b a 1 2 2 2 b 2a 2 2 解得 a 1 b 2 经验证 a 1 b 2 满足题设条件 所以 f a b f 1 1 解法 2 因为函数f x 为奇函数 所以 f x 的图像关于原点对称 当 x 0 二次函数的图像顶点为 b 2 b2 4 当 x 0 二次函数的图像顶点为 1 a 所以 b 2 1 b2 4 a 解得 a 1 b 2 经验证 a 1 b 2 满足题设条件 所以 f a b f 1 1 6 2015 宿迁一模 设函数 f x 是定义在R 上的奇函数 当x 0 时 f x x2 x 则关于x 的不等式f x 0 则 x
5、0 x2 x x 0 所以 f x 2 等价于 x 0 x2 x0 x2 x2 即 f x 2 的解集为 2 7 2015 南京调研 若 f x a x x 1 x 3a x 1 是 R 上的单调函数 则实数a 的取值范围为 答案 1 2 解析 因为当x0 且 1 3a a 解得a 1 2 易错警示本题易在两个地方出错 一是不考虑 1 3a与a的大小关系 二是忽视 1 3a a中的等 号成立 8 2019 南通 泰州 扬州一调 已知函数f x 2x a x a x 2a a 0 若 f 1 f 2 f 3 f 672 0 则满足f x 2019 的 x 的值为 答案 337 解析 思路分析去绝
6、对值化简f x 由 f x 的图像得到函数f x 在 R上单调递增且关于点 a 2 0 对称 根据f 1 f 2 f 3 f 672 0 求得a的值 再解不等式 求得x的值 解析 f x 2 2 2 2 2 xa xa a x a x 结合函数的图像可知 函数f x 在 R 上单调递增且关于点 a 2 0 对称 因为 f 1 f 2 f 3 f 672 0 所以 1 672 2 a 2 解得 a 673 由f x 2019 当x 673 时 f x 2x a 2 0 不成立 当 673 xf x 的解集为 答案 2 3 解法 1f x 是定义在R 上的奇函数 且当x 0 时 f x x2 5x
7、 则当 x0 f x f x x 2 5 x x2 5x 即 f x x2 5x x 0 x2 5x xf x 得 x 1 2 5 x 1 x2 5x 解得 x 3 所以 1 x 3 当 0 xf x 得 x 1 2 5 x 1 x2 5x 解得 1 x 2 所以 0 x 1 当 xf x 得 x 1 2 5 x 1 x2 5x 解得 x 2 所以 2 xf x 的解集为 2 3 解法 2在同一坐标系中分别作出函数y f x 与 y f x 1 的图像 将函数 y f x 的图像向右平移一个 单位长度得到y f x 1 的图像 根据对称性可得 两个函数分别交于点 2 6 3 6 从图像可得 f
8、 x 1 f x 的解集为 2 3 变式 1 2017 苏北四市期末 已知函数f x 是定义在 R 上的奇函数 当x 0 时 f x 2x 3 则 不等式 f x 5 的解集为 答案 3 解析 当 x 0 时 f x 2x 3 2 因为函数f x 是定义在R 上的奇函数 所以f 0 0 当 x 0 时 x 0 所以f x 2 x 3 f x 2 x 3 此时不等式 f x 5 可化为 2 x 3 5 解得 x 3 综上所述 该不等式的解集为 3 变式 2 2016 南京三模 已知 f x 是定义在R 上的偶函数 当x 0 时 f x 2x 2 则不等式f x 1 2 的解集是 答案 1 3 解
9、析 思路分析用函数的性质解不等式 比解具体不等式更快 偶函数 f x 在 0 上单调递增 且f 2 2 所以 f x 1 2 即 f x 1 f 2 即 x 1 2 所以 1 x 3 解后反思 对于偶函数f x 均有 f x f x f x 变式 3 2015 宿迁一模 设函数 f x 是定义在R 上的奇函数 当x 0 时 f x x2 x 则关于 x 的不等 式 f x 0 则 x0 x 2 x x 0 所以 f x 2 等价于 x 0 x 2 x0 x2 x2 即 f x 0 时 f x xlnx 则不等式f x 0 时 f x xlnx f x lnx 1 当 f x 0 时 x 1 e
10、 即 f x 在 0 1 e 上单调递减 在 1 e 上单调递增 所以f x 在 0 上的最小值为 1 e 又因为 f x 为奇函数 所以f x 在 1 e 0 上 单调递减 在 1 e 上单调递增 所以f x 在 0 上的最大值为 1 e 即 f x 在 1 e 上单调 递增 在 1 e 1 e 上单调递减 在 1 e 上单调递增 所以f x e 在 1 e 上无解 由f e f e e 所以 f x e 的解集为 e 关联 1 已知函数f x 是定义在R 上的偶函数 且当x 0 时 f x x2 x 若 f a f a 4 则实数 a 的 取值范围为 答案 1 1 解析 解法1 奇偶性的性
11、质 因为f x 是定义在R 上的偶函数 所以f a f a 2 f a 4 即 f a 2 即 a 2 a 2 a 2 a 1 0 解得 1 a 1 解法 2 奇偶性的定义 当 x 0 时 x 0 又因为f x 是定义在R 上的偶函数 所以 f x f x x 2 x x2 x 故 f x x2 x x 0 x 2 x x 0 当 a 0 时 f a f a a2 a a 2 a 2a2 2a 4 解得 0 a 1 当 a 0 时 f a f a a2 a a 2 a 2a2 2a 4 解得 1 a 0 综上 1 a 1 解后反思解法 2 是从函数的奇偶性定义入手 先求函数解析式 再对a 分类
12、求解 没有充分运用函数 的奇偶性 而解法1 借助了函数奇偶性的性质 即对于R 上偶函数 f x 有 f x f x f x 把自变量化成 非负值 避免分类讨论 关联2 设 f x 是定义在R 上的偶函数 且当x 0 时 f x 2 x 若对任意的 x a a 2 不等式f x a f2 x 恒成立 则实数 a 的取值范围是 答案 3 2 解析 思路分析在函数性质问题中 出现 双f 特征 f x a f 2 x 应联想到直接代入解 析式求解 解法 1 用函数的单调性求解 解法 2 故法 1只需根据条件求出函数f x 的解析式 法2的难 点在于是否能够把f 2 x 写成 f t 的形式 易知f 2
13、 x f 2x 解法 1 利用解析式 当 x 0 时 定义在R 上的偶函数f x 2x 易得 f x 2 x x R 由 f x a f2 x 得 2 x a 2 x 2 即 x a 2x 对于 x a a 2 恒成立 即 3x a x a 0 对于 x a a 2 恒成立 即 3a a a a 0 3 a 2 a a 2 a 0 解得 a 3 2 解法 2 偶函数的性质 当 x 0 时 定义在R 上的偶函数f x 2x 易得 f x 2 x x R 易证f2 x f 2x x R 故由 f x a f 2 x 得 x a 2x 对于 x a a 2 恒成立 下同解法 1 题型二根据函数 或者
14、构造函数 研究性质 知识点拨 此类问题常见的有三种 1 给定函数的解析式对于这类问题要根据函数的解析式研究函数 的单调性和奇偶性 2 给定函数的解析式但是给定的函数解析式不具有单调性和奇偶性 对于这类问题 要构造新的函数 使之具有单调性个奇偶性 3 抽象函数的问题这类问题没有具体的函数解析式 但是 回给出函数的的性质 例 2 2018 扬州期末 已知函数f x sinx x 1 4x 2x 则关于x 的不等式f 1 x 2 f 5x 7 0 的解 集为 答案 x 2 x0 则有 f x 0 所以f x 为 R 上的减函数 因此不等式f 1 x2 f 5x 7 0 即 f 1 x2 f 5x 7
15、 亦即f 1 x2 7 5x 解得2 x 3 故不等式f 1 x2 f 5x 7 0 的解集为 x 2 x0 a 0 且 a 1 则实数 a 的取值范围是 答案 0 1 3 解析 由函数 f x 的解析式易得 该函数为奇函数且在定义域R 上是单调增函数 故f 1 f log 1 a 3 0 即 f log 1 a3 f 1 f 1 即 log 1 a3 1 log 1 aa 所以 1 a 1 3 a 或 0 1 a 1 3 a 解得 0 a3 解后反思遇到解与函数值有关的不等式的问题首先考虑研究所给函数的单调性和奇偶性 将所给不 等式转化为自变量不等式 不要忽视函数的定义域对自变量的限制 变式
16、2 2019镇江期末 已知函数f x 1 2 x 2x 则满足 f x 2 5x f 6 0 的实数 x 的取值范围是 答案 2 3 思路分析用函数的单调性和奇偶性解答 解析 函数 f x 的定义域为R 且 f x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 x f x 故 f x 在 R 上是奇函数 又 1 2 x 与 2x在 R 上都是单调递减的 从而f x 在 R 上单调递减 从而由题意可得f x2 5x f 6 f 6 故 x2 5x 6 解得 2 xf a 1 则实数a 的取值范围为 答案 1 解析 函数 f x 2x4 4x2为偶函数 因为f x 8x3 8x 8x x 2 1 所以当 x 0 时 函数 f x 为增函数 当x 0 时 函数f x 为减函数 由f a 3 f a 1 得 f a 3 f a 1 即 a 3 2 a 1 2 解得 a 1 所以实数 a 的取值范围为 1 解后反思 本题考查了函数的奇偶性和单调性 易得当x 0 时 函数f x 为增函数 而偶函数 的性质f x f x 可以实现把自变量转化到 0 上 这一转化是解题的关键 同学们要熟练掌握偶 函数这一性质
