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1、考点 03 利用函数的图像探究函数的性质 1 知识框图 自主热身 归纳提炼 1 2017 苏州暑假测试 若函数 6 2 0 1 3log 2 a xx fxaa x x 的值域是 4 则实数 a的取 值范围是 答案 12a 解析作出函数的图象 易知当2x 时 64fxx 要使 f x的值域为 4 由图可知 显然1a且3log 24 a 即12a 2 2016 苏锡常镇调研 已知函数 f x 2x 2 x 1 2 则函数y f x 1 的值域为 答案 0 2 解法1 由于平移不改变值域 故只需要研究原函数的值域 画出函数f x 2x 2 的图像 由下图易得 值域为 0 2 解法 2 因为 x 1
2、 2 所以 2x 1 2 4 2 x 2 3 2 2 所以 2 x 2 0 2 因为 y f x 1 是由 f x 向右平移1 个单位得到的 所以值域不变 所以y f x 1 的值域为 0 2 3 2017 苏锡常镇二模 已知函数f x 4 x m x2 4x 3 x m 若函数 g x f x 2x 恰有三个不同的零 点 则实数m 的取值范围是 答案 1 2 解法1 问题转化为g x 0 即方程f x 2x 有三个不同的解 即 x m 4 2x 或 x m x2 4x 3 2x 解得 x m x 2 或 x m x 1 或 x m x 3 因为方程f x 2x 有三个不同的解 所以 2 m
3、1 m 3 m 解得 1 m 2 解法 2 由题意知函数g x 4 2x x m x2 2x 3 x m 画出函数 y 4 2x 和 y x2 2x 3 的图像 可知函 数 g x 的三个零点为 3 1 2 因此可判断m 在 1 与 2 之间 当 m 1时 图像不含点 1 0 不合题意 当 m 2 时 图像包含点 2 0 符合题意 所以1 m 2 4 2016 南京学情调研 已知直线 y kx 1 与曲线 f x x 1 x x 1 x 恰有四个不同的交点 则实数 k 的取值范围为 答案 1 8 0 1 8 解析 由题意得f x x 1 x x 1 x 是偶函数 且f x 2 x x 1 2x
4、 1 x 0 2x 0 x0 时 要使它们有四 个公共点 则需y kx 1 与 y 2 x x 1 有一个公共点 此时 kx 1 2 x 即方程 kx2 x 2 0 有两个 相等的实数解 从而 1 8k 0 解得 k 1 8 当 k 0 时 根据对称性可得 k 1 8 从而满足条件的 k 的取 值范围是 1 8 0 1 8 易错警示本题会忽视当直线与y 2 x相切时 其实就是有四个交点 处理动直线与曲线交点时要注意 两个特殊情形 一是过端点 二是相切的时候 5 2017 南京学情调研 已知函数f x 12x x3 x 0 2x x 0 当 x m 时 f x 的取值范围为 16 则实数m 的取
5、值范围是 答案 2 8 解析 由于f x 的解析式是已知的 因此 可以首先研究出函数f x 在 R上的单调性及相关的性质 然后根据f x 的取值范围为 16 求出它的值等于 16 时的x的值 借助于函数f x 的图像来对 m的取值范围进行确定 当x 0 时 f x 12x x 3 所以 f x 12 3x 2 令 f x 0 则x 2 正值舍去 所以当x 2 时 f x 0 此时f x 单调递减 当x 2 0 时 f x 0 此时f x 单调递增 故 函数f x 在x 0 时的极小值为f 2 16 当x 0 时 f x 2x单调递减 f 0 0 f 8 16 因此 根据f x 的图像可得m 2
6、 8 解后反思根据函数的解析式来得到函数的相关性质 然后由此画出函数的图像 借助于函数的图像可 以有效地进行解题 这就是数形结合的魅力 6 2017 南京 盐城二模 若函数 f x x2 mcosx m2 3m 8 有唯一零点 则满足条件的实数 m 组 成的集合为 答案 2 思路点拨首先判断f x 是偶函数 而偶函数有唯一零点时 零点只能是x 0 解析 f x 是偶函数 若f x 有唯一零点 故f 0 0 由 f 0 0 得 m2 2m 8 0 解得 m 2 或 m 4 当 m 2时 f x x2 2cosx 2 x2 4sin2x 2 有唯一零点 x 0 当 m 4 时 f x x2 4co
7、sx 4 因为 f 2 4cos2 0 f 2 8 0 所以在 2 内也有零点 不合题意 解后反思因为 f 0 0 只是偶函数f x 有唯一零点的必要条件 所以检验是必须的 说明不充分常用举 反例的方法 问题探究 开拓思维 题型一 运用图像研究函数零点的个数 知识点拨 运用函数的图像研究函数的零点问题的关键要正确做出函数的图像 观察图像交点的个数 由于答案依赖于图像因此 要正确规范的做出图像 该标的关键的点 线要标出 另外有时为了更好地作 图也要多对函数进行调整 变成常见的函数 1 2019 苏州三市 苏北四市二调 定义在R 上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 2 4 上 43
8、 4 32 2 xx xx xf则函数xxfy log5 的零点的个数为 答案 5 解析 因为 f x 4 f x 可得 f x 是周期为4 的奇函数 先画出 函 数 f x 在区间 2 4 上的图像 根据奇函数和周期为4 可以画出f x 在 R上的图像 由y f x log5 x 0 得f x log5 x 分 别画出y f x 和y log5 x 的图像 如下图 由f 5 f 1 1 而 log55 1 f 3 f 1 1 log5 3 1 可以得到两个图像有5 个交点 所以零点的个数为 5 解后反思本题考查了函数的零点问题 以及函数的奇偶性和周期性 考查了转化与化归 数形结合的思 想 函
9、数的零数问题 常转化为函数的图像的交点个数来处理 其中能根据函数的性质作出函数的图像并 能灵活地运用图像 找到临界点是解题的关键也是难点 变 式1 2017南 通 期 末 已 知 函 数f x 是 定 义 在 1 上 的 函 数 且f x 1 2x 3 1 x 2 1 2f 1 2x x 2 则函数y 2xf x 3 在区间 1 2 015 上的零点个数为 答案 11 解析 解法 1 由题意得当1 x 2 时 f x 2x 2 1 x 3 2 4 2x 3 2 x 2 设x 2 n 1 2 n n N 则 x 2 n 1 1 2 又f x 1 2 n 1f 1 2 n 1x 当 x 2 n 1
10、 1 3 2 时 则x 2 n 1 3 2 n 2 所以 f x 1 2 n 1f 1 2 n 1x 1 2 n 12 1 2 n 1x 2 所以 2xf x 3 2x 1 2 n 12 1 2 n 1x 2 3 0 整理得x 2 2 2n 2x 3 22n 4 0 解得 x 3 2 n 2 或x 2 n 2 由于 x 2 n 1 3 2 n 2 所以 x 3 2 n 2 当 x 2 n 1 3 2 2 时 则 x 3 2 n 2 2n 所以 f x 1 2 n 1f 1 2 n 1x 1 2 n 14 2 1 2 n 1x 所以 2xf x 3 2x 1 2 n 14 2x 2 n 1 3
11、0 整理得x 2 4 2n 2x 3 22n 4 0 解得 x 3 2 n 2 或x 2 n 2 由于 x 3 2 n 2 2 n 所以无解 综上所述 x 3 2 n 2 由 x 3 2 n 2 1 2 015 得n 11 所以函数y 2xf x 3 在区间 1 2 015 上零点的个数是11 解法 2 由题意得当x 2 n 1 2 n 时 因为 f x 1 2 n 1 f 1 2 n 1x 所以f x max f 3 2 2 n 1 1 2 n 1 令g x 3 2x 当 x 3 2 2 n 1 时 g x g 3 2 2 n 1 1 2 n 1 所以当x 2 n 1 2 n 时 x 3 2
12、 2 n 1 为y 2xf x 3的一个 零点 下面证明 当x 2 n 1 2 n 时 y 2xf x 3 只有一个零点 当x 2 n 1 3 2 n 2 时 y f x 单调递增 y g x 单调递减 f 3 2 n 2 g 3 2 n 2 所以 x 2 n 1 3 2 n 2 时 有一零点 x 3 2 n 2 当 x 3 2 n 2 2 n 时 y f x 1 2 n 1 1 2 n 1 x 2 n 2 3 k1 f x 1 2 2n 3 g x 3 2x k 2 g x 3 2x 2 1 3 2 2n 3 3 2 2n 1 所以k10 当 x 0 100 时 关于x 的方程 f x x
13、1 5的所有解的 和为 答案 10 000 思路点拨注意到方程f x x 1 5的解可以看做函数 y f x 与 y x 1 5的图像交点的横坐标 同时 注意 到 f x f x 1 1 具有 周期性 的特点 由此可作出的图像 由图像来得到解的规律 进而得到所有解 的和 分别作出函数y f x 与 y x 1 5的图像 如图 当 x 0 1 时 令 f x x 1 2 2 x 1 1 x 1 5 即 x 2 x 1 5 0 此时两根之和为 1 由图可知 当x 1 2 x 2 3 时 它们的两个根的和组成公差为2 的 等差数列 从而当x 0 100 时 所有的解的和为 100 1 1 2 100
14、 1 2 10 000 题型二 根据函数的零点确定参数的范围 知识点拨 求解函数的零点问题的填空题 其基本策略是应用数形结合的方法来加以解决 在应用数形 结合思想时 一般地会将函数的零点问题转化为两个函数的图像的交点问题来加以解决 此时 为了方便 起见 转化后的两个函数 其中一个是不含参数的函数 另一个是含有参数的函数 即转化为 一静一动 两个函数 这样 通过研究 动 函数的图像与 静 函数的图像的相对位置关系就可以得到问题的解 例 1 2019 通州 海门 启东期末 函数 f x x2 2ax x 1 ex x a x 1 有 3 个不同的零点 则实数a 的取值范围为 答案 1 1 e 1
15、解析 思路分析 注意到x 1 时 f x x2 2ax 的零点是可求的 即x 0 舍去 或 x 2a 为此 就需要对2a 是否小于 1 来进行讨论 若2a 大于或等于 1 则需要 x 1 时 f x 有三个零点 从而通 过数形结合的方式来加以研究 若2a 小于 1 则需要x 1 时 f x 有两个零点 从而通过数形结合的 方式来加以研究 进而得到问题的答案 由 x 2 2ax 0 得 x 0 或 x 2a 因为 x 1 所以 x 0 不合题意 1 当 2a 1 即 a0 不满足条件 故不成立 若 y x a 与 y ex相交 如图 2 此时要有两个交点 必需 a 1 e 1 1 a 解得 1
16、1 e a 1 即 a 1 2时 如图 3 此时只可能有一个交点 故不成立 综上 实数a 的取值范围是 1 1 e 1 变式 1 1 2019 扬州期末 已知函数f x a 3 4 x x a 有且仅有三个零点 并且这三个零 点构成等差数列 则实数a 的值为 答案 11 6 或 1 3 3 2 解析 思路分析 1 函数 f x 有且仅有三个零点 通常转化为方程f x 0 有三相异实根 再转化 为两个新函数的图像有三个不同的交点 这两个新函数如何构建是关键 通常的原则是 一是两个新函数 图像是常见初等函数图像 二是一个函数图像是定的 另一个函数图像是动的 三是参数放在直线型中 即定曲线动直线 这样便于解决问题 基于这三点 所以构造的是函数y 4 x 3 与 y x a a x x a x 2a x a 的图像有且仅有三个不同的交点 再通过分类讨论的思想方法和三个零点构成等差 数列建立关于a 的方程 从而求得a 的值 思路分析 2注意所研究的函数为分段函数f x x 4 x 3 2a x a x 4 x 3 x a 因此 分别来研究每 一段中的零点的个数 由于函数分为两段 因此 只有两种可
