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1、名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 作答时 务必将答案写在答题卡上 写在本试卷及草稿纸上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共12小题 每小题 5 分 共 60分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 设集合 A x x2 5x 6 0 B x x 1b 则 A ln a b 0 B 3a0 D a b 答案 C 解析 分析 本题也可用直接法 因为ab 所以0ab 当1ab时 ln 0ab 知 A 错 因为
2、3x y是增 函数 所以3 3 ab 故 B 错 因为幂函数 3 yx是增函数 ab 所以 33 ab 知 C 正确 取1 2ab 满足 ab 12ab 知 D 错 详解 取2 1ab 满足 a b ln 0ab 知 A 错 排除A 因为 9333 ab 知 B 错 排 除 B 取1 2ab 满足 ab 12ab 知 D 错 排除 D 因为幂函数 3 yx是增函数 ab 所以 33 ab 故选 C 点睛 本题主要考查对数函数性质 指数函数性质 幂函数性质及绝对值意义 渗透了逻辑推理和运算 能力素养 利用特殊值排除即可判断 7 设 为两个平面 则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内
3、有两条相交直线与 平行 C 平行于同一条直线 D 垂直于同一平面 答案 B 解析 分析 本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件 渗透直观想象 逻辑推理素养 利用面面平行的判定 定理与性质定理即可作出判断 详解 由面面平行的判定定理知 内两条相交直线都与平行是 的充分条件 由面面平行性质 定理知 若 则内任意一条直线都与平行 所以内两条相交直线都与平行是 的必要 条件 故选 B 点睛 面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理 最容易犯的错误为定理记不住 凭主观臆断 如 若 abab 则 此类的错误 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 8 若抛物线y2 2px p 0 的焦点是椭圆 22
4、 3 1 xy pp 的一个焦点 则p A 2 B 3 C 4 D 8 答案 D 解析 分析 利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 p的方程 即可解出p 或者利用检验排除的方法 如2p 时 抛物线焦点为 1 0 椭圆焦点为 2 0 排除 A 同样可排除B C 故选 D 详解 因为抛物线 2 2 0 ypx p的焦点 0 2 p 是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点 所以 2 3 2 p pp 解得8p 故选 D 点睛 本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质 渗透逻辑推理 运算能力素养 9 下列函数中 以 2 为周期且在区间 4 2 单调递增的是 A f x cos 2 x B f x
5、sin 2 x C f x cos x D f x sin x 答案 A 解析 分析 本题主要考查三角函数图象与性质 渗透直观想象 逻辑推理等数学素养 画出各函数图象 即可做出选 择 详解 因为sin yx图象如下图 知其不是周期函数 排除D 因为coscosyxx 周期为2 排除 C 作出cos2yx图象 由图象知 其周期为 2 在区间 42 单调递增 A 正确 作出sin2yx 的图象 由图象知 其周期为 2 在区间 42 单调递减 排除B 故选 A 点睛 利用二级结论 函数 yf x的周期是函数 yfx周期的一半 sinyx不是周 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 期函数 10 已
6、知 a 0 2 2sin2 cos2 1 则 sin A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 答案 B 解析 分析 利用二倍角公式得到正余弦关系 利用角范围及正余弦平方和为1 关系得出答案 详解 2sin 2cos21Q 2 4sincos2cos 0 cos0 2 Q sin0 2sincos 又 22 sincos1 22 1 5sin1 sin 5 又sin0 5 sin 5 故选 B 点睛 本题为三角函数中二倍角公式 同角三角函数基本关系式的考查 中等难度 判断正余弦正负 运算准确性是关键 题目不难 需细心 解决三角函数问题 研究角的范围后得出三角函数值的正负 很 关键 切
7、记不能凭感觉 11 设 F 为双曲线C 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的右焦点 O 为坐标原点 以OF 为直径的圆与圆x2 y2 a 2 交于 P Q 两点 若 PQ OF 则 C 的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 5 答案 A 解析 分析 准确画图 由图形对称性得出P点坐标 代入圆的方程得到c 与 a关系 可求双曲线的离心率 详解 设PQ与x轴交于点 A 由对称性可知 PQx轴 又 PQOFcQ 2 c PAPA为以 OF 为直径的圆的半径 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 A为圆心 2 c OA 2 2 c c P 又P点在圆 222 xya上 22 2 44 c
8、c a 即 22 22 2 2 2 cc ae a 2e 故选 A 点睛 本题为圆锥曲线离心率的求解 难度适中 审题时注意半径还是直径 优先考虑几何法 避 免代数法从头至尾 运算繁琐 准确率大大降低 双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题 需强化练 习 才能在解决此类问题时事半功倍 信手拈来 12 设函数 f x 的定义域为R 满足 1 2 f xf x 且当 0 1 x时 1 f xx x 若对任意 xm 都有 8 9 f x 则 m 的取值范围是 A 9 4 B 7 3 C 5 2 D 8 3 答案 B 解析 分析 本题为选择压轴题 考查函数平移伸缩 恒成立问题 需准确求出函数每一段解析式
9、 分析出临界点位置 精准运算得到解决 详解 0 1 xQ 时 1 f xx x 1 f x2 f x 2 1 fxf x 即 f x 右移 1 个单位 图像变为原来的2倍 如图所示 当23x时 4 2 4 2 3 f xf xxx 令 8 4 2 3 9 xx 整理得 2 945560 xx 12 78 37 38 0 33 xxxx 舍 xm时 8 9 f x成 立 即 7 3 m 7 3 m 故选 B 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 点睛 易错警示 图像解析式求解过程容易求反 画错示意图 画成向左侧扩大到2 倍 导致题目 出错 需加深对抽象函数表达式的理解 平时应加强这方面练习 提
10、高抽象概括 数学建模能力 二 填空题 本题共4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 我国高铁发展迅速 技术先进 经统计 在经停某站的高铁列车中 有10个车次的正点率为0 97 有 20 个车次的正点率为0 98 有 10 个车次的正点率为0 99 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估 计值为 答案 0 98 解析 分析 本题考查通过统计数据进行概率的估计 采取估算法 利用概率思想解题 详解 由题意得 经停该高铁站的列车正点数约为 10 0 9720 0 98 100 9939 2 其中高铁个 数为 10 20 10 40 所以该站所有高铁平均正点率约为 39 2 0 98 40 点
11、睛 本题考点为概率统计 渗透了数据处理和数学运算素养 侧重统计数据的概率估算 难度不大 易 忽视概率的估算值不是精确值而失误 根据分类抽样的统计数据 估算出正点列车数量与列车总数的比值 14 已知 f x 是奇函数 且当 0 x 时 e ax f x 若 ln 2 8f 则 a 答案 3 解析 分析 当 0 x 时 0 x ax f xfxe代入条件即可得解 详解 因为 f x 奇函数 且当 0 x 时0 x ax f xfxe 又因为ln 2 0 1 ln 2 8f 所以 ln 2 8 a e 两边取以 e为底的对数得 ln 23ln 2a 所以3a 即3a 点睛 本题主要考查函数奇偶性 对
12、数的计算 渗透了数学运算 直观想象素养 使用转化思想得出答 案 15 ABCV的内角 A B C的对边分别为 a b c 若 6 2 3 bac B 则ABCV的面积为 答案 6 3 解析 分析 本题首先应用余弦定理 建立关于c的方程 应用 a c的关系 三角形面积公式计算求解 本题属于常见题 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 目 难度不大 注重了基础知识 基本方法 数学式子的变形及运算求解能力的考查 详解 由余弦定理得 222 2cosbacacB 所以 2221 2 226 2 cccc 即 2 12c 解得2 3 2 3cc 舍去 所以 24 3ac 113 sin4 32 36
13、3 222 ABC SacB 点睛 本题涉及正数开平方运算 易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误 解答此类问 题 关键是在明确方法的基础上 准确记忆公式 细心计算 16 中国有悠久的金石文化 印信是金石文化的代表之一 印信的形状多为长方体 正方体或圆柱体 但南 北朝时期的官员独孤信的印信形状是 半正多面体 图 1 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成 的多面体 半正多面体体现了数学的对称美 图 2 是一个棱数为48 的半正多面体 它的所有顶点都在同一个 正方体的表面上 且此正方体的棱长为1 则该半正多面体共有 个面 其棱长为 答案 1 共 26 个面 2 棱长为 21 解析 分析
14、 第一问可按题目数出来 第二问需在正方体中简单还原出物体位置 利用对称性 平面几何解决 详解 由图可知第一层与第三层各有9 个面 计18 个面 第二层共有8 个面 所以该半正多面体共有 18826个面 如图 设该半正多面体的棱长为x 则ABBEx 延长BC与FE交于点G 延长BC交正方体棱于H 由半正多面体对称性可知 BGE为等腰直角三角形 22 2 21 1 22 BGGECHxGHxxx 1 21 21 x 即该半正多面体棱长为 21 点睛 本题立意新颖 空间想象能力要求高 物体位置还原是关键 遇到新题别慌乱 题目其实很简单 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 稳中求胜是关键 立体几何
15、平面化 无论多难都不怕 强大空间想象能力 快速还原图形 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21题为必考题 每个试题考生都必须作答 第22 23 为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共60 分 17 如图 长方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 点 E 在棱 AA1上 BE EC1 1 证明 BE 平面 EB1C1 2 若 AE A1E 求二面角 B EC C1的正弦值 答案 1 证明见解析 2 3 2 解析 分析 1 利用长方体的性质 可以知道 11 BC 侧面11 A B BA 利用线面垂直的性质可以证明出 11 B CEB 这
16、样可以利用线面垂直的判定定理 证明出 BE 平面 11 EB C 2 以点B坐标原点 以 1 BC BA BB u uu r u uu r uuu r 分别为 x y z轴 建立空间直角坐标系 设正方形ABCD的边长为 a 1 B Bb 求出相应点的坐标 利用1 BEEC 可以求出 a b之间的关系 分别求出平面 EBC 平 面 1 ECC的法向量 利用空间向量的数量积公式求出二面角 1 BECC的余弦值的绝对值 最后利用同角 的三角函数关系 求出二面角 1 BECC的正弦值 详解 证明 1 因为 1111 ABCDA B C D是长方体 所以 11 B C侧面 11 A B BA 而BE平面 11 A B BA 所以 11 BEB C 又 1 BEEC 1111 B CECC 111 B CEC 平面11 EB C 因此 BE 平面 11 EB C 2 以点 B坐标原点 以 1 BC BA BB u uu r uu u r uuu r 分别为 x y z轴 建立如下图所示的空间直角坐标系 1 0 0 0 0 0 0 0 2 b BC aC ab Ea 因为 1 BEEC 所以 2 2
