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1、一 参考书目 高等数学 上 第一分册 柳重堪主编 中央广播电视大学出 版社出版 二 内容要求 一元函数微分学 一元函数积分学两个部分 包括函数 极限与连续 导数与微分 导数的应用 不定积分 定积分及其应用等方面的知识 试题类型分为单项选择题 填空题和解答题 单项选择题的形式为四选 一 即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案 填空题只要求直接填写结 果 不必写出计算过程和推理过程 解答题要求写出文字说明 演算步骤 三种 题型分数的百分比大约为 单项选择题与填空题 40 解答题 60 水平测试试题按其难度分为容易题 中等题和较难题 其分值在试卷中 的比例为 4 4 2 水平测试采用闭卷笔试形式
2、卷面满分为 150 分 考试时间为 90 分钟 一 函数 1 理解函数的概念 掌握函数y f x 中符号 f 的含义 了解函数的两要 素 会求函数的定义域及函数值 会判断两个函数是否相等 两个函数相等的 充分必要条件是定义域相等且对应关系相同 2 了解函数的主要性质 即单调性 奇偶性 有界性和周期性 若对任意 x 有 f x f x 则 f x 称为偶函数 偶函数的图形关于y 轴对 称 若对任意x 有 f x f x 则 f x 称为奇函数 奇函数的图形关于原点 对称 3 熟练掌握基本初等函数的解析表达式 定义域 主要性质和图形 基本初等函数是指以下几种类型 常数函数 y c 幂函数 y x
3、为实数 指数函数 y a x a 0 a 1 对数函数 y log a x a 0 a 1 三角函数 sin x cos x tan x cot x 反三角函数 arcsin x arccos x arctan x 4 了解复合函数 初等函数的概念 会把一个复合函数分解成较简单的函数 如函数y e arctan2 1 x 可以分解 ye u uv 2 varctanw w 1 x 分 解后的函数前三个都是基本初等函数 而第四个函数是常数函数和幂函数的 和 5 会列简单的应用问题的函数关系式 二 极限与连续 1 了解极限的概念 会求左右极限 lim f x 极限 x x0 存在的充分必要条件是左
4、 右极限存在且相等 2 了解无穷小量的概念 了解无穷小量的运算性质 1 若函数 f x 有 lim f x 0 则称f x 是当x x 0 时的无穷小量 xx0 2 有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小 3 掌握极限的四则运算法则 掌握两个重要极限 掌握求简单极限的常用方 法 1 极限的四则运算法则 设 lim f x A lim g x B 则 lim f x g x lim f x lim g x A B lim f x g x lim f x lim g x A B lim f x lim f x A 其中B 0 g x lim g x B 2 两个重要极限 lim sin x 1 第一重
5、要极限 x0 x 1 1 lim 1 第二重要极限 x x e 其他变形形式 lim 1 x x e x x0 4 了解函数连续性的定义 会判断函数的连续性 1 函数连续性的定义lim f x f x0 xx0 2 初等函数在其定义域内连续 三 导数与微分 1 理解导数与微分概念 微分用dyy dx定义 了解导数的几何意义 会求 曲线的切线和法线方程 知道可导与连续的关系 1 f x 在点 x x0 处可导是指极限 lim x0 f x0 x f x0 x 存在 且该点处的导数就是这个极限 导数极限还可写成 2 lim xx0 f x 在点 x x0 处的导数 f x f x0 x x0 f
6、x0 的几何意义是曲线 y f x 上点 x0 f x0 处的切线斜率 曲线 y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为 y f x0 x x0 f x0 函数 y f x 在 x0 点可导 则在 x0 点连续 反之函数 y f x 在 x0 点连续 在 x0 点不一定可导 2 熟记导数与微分的基本公式 熟练掌握导数与微分的四则运算法则 u v uv u v vuuv u vuuv v v2 v 0 d u v du dv d u v vdu udv d u v vdu udv v 2 v 0 3 熟练掌握复合函数的求导法则 dy dy du dx du dx 4 了解高阶导数概念 掌握
7、求显函数的二阶导数的方法 y d 2y dx 2 四 导数的应用 1 掌握洛比塔法则 能用它求 0 0 型不定式极限 2 掌握用一阶导数求函数单调区间 极值与极值点 包括判别 的方法 了解 可导函数极值存在的必要条件 知道极值点与驻点的区别与联系 3 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法 以几何问题为主 五 不定积分 1 理解原函数与不定积分概念 了解不定积分的性质以及积分与导数 微分 的关系 1 若 F x f x 则 F x 是 f x 的一个原函数 f x 的全体原函数是 F x c 2 k1f1 x k2f2 x dx k1f1 x dxk2f2 x dx d 3 f x
8、dx f x dx 4 df x dx f x dx p b 5 f x dx d f x f x c 2 熟练掌握积分基本公式和直接积分法 3 熟练掌握第一换元积分法和分部积分法 1 f g x g x dx f g x d g x F g x c 2 udv uv vdu 六 定积分及其应用 1 了解定积分的性质 b a a f x dx b f x dx b c b a f x dx a f x dx c f x dx 2 会求变上限定积分的导数 x 若G x a f t dt 则 G x f x x 3 熟练掌握牛顿 莱布尼兹公式 掌握定积分的换元积分法和分部积分法 b b 1 f x
9、 dx F x F b F a 2 ab udv uv b a b vdu a a a 4 了解无穷积分收敛性概念 会判断无穷积分的收敛性或计算无穷积分 dx 当 p 1时收敛 当 p 1时发散 a x p 1dx 当 p 1时收敛 当 p 1时发散 0 x 6 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积 直角坐标系 1 由曲线 y f x 和 y g x 及直线 x a x b 围成的面积 S 有 S a f x g x dx a 2 当 f x 为奇函数时有 a f x dx0 a a 0 3 当 f x 为偶函数时有 a f x dx2 0 f x dx2 a f x dx 三 综合练习
10、答案 1 1 x 2 1 一 单选题 1 设函数 f x log a x x 2 1 a0 a1 则该函数是 A 奇函数B 偶函数 C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数 2 下列函数中 是偶函数 A f x a x a x B f x x 3 1 C f x x3sin x D f x x 2 sin 1 x 3 当 x 0 时 下列变量中 无穷小量是 A sin x x B ln 1 x 2 1 C e x D sin 1 x 4 设 f x e x 则 lim x0 f 1x f 1 x A 2e B e C 1 e 4 5 xf x dx D 1 e 2 A xf x f x C C
11、 1 x 2 f x C 2 6 下列无穷限积分收敛的是 B xf x C D x 1 f x C A 1 dxB e xdx C 1 dx D cos x 1 x 0 1 二 填空题 1 若函数 f x 则 f 1 x x 2 极限 lim sin 3x x0 tan 5x 3 设lim 1 x k x e 2 则 k x 4 曲线 y x 3 1 在点 1 0 处的切线是 x 3 x e x sin x e 2 x 3 x sin x 5 若函数 f x ln 1 x 则 f 0 6 已知函数 f x a sin x 1 sin 3x 的驻点是 x 则 a 3 3 7 函数f x x ln
12、 1 x 的单调减少区间是 8 经过点 2 10 且在每一点的切线斜率都等于3x的曲线方程 是 9 df x dx 三 计算题 1 求函数的极限 1 lim x0 cos x 2 lim x1 x 2 1 e x cos x 1x cos x 1 3 3 lim x0 x 2 x 2 1 1 4 lim x0 e x e x 2 5 lim x x0 2 2 求函数的导数或微分 1 已知 y 2 x cos x 求 y x 2 设 y sin x 求 1 x 1 cos x y 3 3 设 y sin 2 3x 5 求 dy 4 设 y 求 dy 5 设 y ln x x 2 1 求 y 3
13、3 求函数的不定积分 1 x 1 e x dx cos 1 x 2 ln 3xdx x 3 x 2 dx x 3 4 x dx 5 4 x 2 dx sin 2x x 1 1 3 x 1 x sin 2x x 1 2 1 2 1 4 求函数的定积分 1 3 x22 e 2 ln x 2 1 1 xxex dx 2 1 x dx 3 0 xcos xdx 4 0 x sin xdx 5 1 x ln xdx 参考答案 一 单项选择题 1 A 2 C 3 B 4 D 5 A 6 C 二 填空题 1 x 2 3 5 3 1 2 4 3x 3 5 1 6 2 7 1 0 8 y 3 x 2 4 2 9
14、 f x dx 三 计算题 1 求函数的极限 1 解 lim x0 cos x lim x0 sin 2x x 1 1 lim cos x x0 lim x0 1 lim x0 x 1 1 1 lim sin 2x x 1 1 1 2 lim sin 2x x 1 1 1 x0 x x0 2x 2 2 1 5 2 解 x 2 1 sin 2x x 1 1 sin 2x x 1 1 x 1 1 x 1 1 e 2 4 2 lim x 1 lim x1 lim x1 2 lim x1 x 2 1 lim x 1 lim x1 2 lim x1 2 4 3 x 1 x 3 解 连续利用罗比塔法则两次
15、 lim cos x 1 lim sin x lim cos x 1 x0 ex e x 2 x0 ex e x x0 ex e x 2 4 解 连续利用罗比塔法则两次 lim x0 e x cos x 1x x 2 lim x0 e x cos x e x sin x 1 2 x lim x0 lim x0 e x cos x e x sin x e x sin x e x cos x 2x 2e x sin x 0 2 5 解 利用第二重要极限公式 lim x0 2 x 2 1 1 x lim 1 x0 x 1 x lim 1 2 x0 x lim 1 2 x0 x 2 x 2 1 2 1
16、 e 2 2 求函数的导数或微分 1 解 y x 2 x cos x 2 x ln 2 1 x sin x 1 cos x 1 x 1 x 2 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x x 1 x1 3 x 1 x 3 x 2 1 x 2 x 1 x 1 3 x 1x x 1 x 1 3 x 1x 2 1x x 1 x 1 3 x 1x x 1 x 1 x 1 3 x 1x 1 x 1 3 x 1x 2 x e x sin x 2 x e x sin x x 2 1 x x 2 1 x 2 1 x 2 x ln 2 cos x 1 x sin x 1 x 2 2 解 y sin x 1 cos x sin x 1 cos x cos x 1 cos x sin x sin x 1 cos x 2 1 cos x 2 cos x 1 1 1 cos x 2 1 cos x 1 1 1 2 y 3 1 cos x x 31 cos 1 1 3 3 2 3 解 y sin 2 3x 5 2 sin 3x 5 sin 3x 5 2 sin 3 x 5 cos 3 x 5 3 x 5 6
