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1、专题 6 5 数列的综合应用 1 贵州省遵义航天高级中学2019 届高三模拟 已知等比数列中 若 且成等差数列 则 A 2 B 2或 32 C 2 或 32 D 1 答案 B 解析 设等比数列的公比为q 成等差数列 解得 故选 B 2 浙江省金华十校2019 届期末 数列是各项均为正数的等比数列 数列是等差数列 且 则 A B C D 答案 B 解析 an a1qn 1 b n b1 n 1 d a1q4 b1 5d a1q2 a1q6 2 b1 5d 2b6 2a5 2a5 a1q2 a1q6 2a1q4 a1q2 q2 1 2 0 所以 故选 B 3 四川绵阳中学2019 届期中 等比数列
2、的前n 项和 前 2n 项和 前 3n 项的和分别为A B C 则 A B C D 答案 D 解析 由等比数列的性质可知 等比数列的第一个n 项和 第二个n 项和 第三个n 项和仍然构成 等比数列 则有构成等比数列 即 故选 D 4 湖南省湘潭市2019 届高三第二次模拟 已知数列为等比数列 首项 数列满足 且 则 A 8 B 16 C 32 D 64 答案 C 解析 由题意知为等差数列 因为 所以 因为 所以公差 则 即 故 于是 故选 C 5 山东省日照市2019 届高三联考 已知等差数列的公差为 2 若成等比数列 是的前项和 则等于 A 8 B 6 C 10 D 0 答案 D 解析 a
3、1 a 3 a 4成等比数列 a1a4 a1 a1 3 2 化为 2a1 16 解得 a1 8 则 S9 8 9 2 0 故选 D 6 宁夏银川九中2019 届期中 已知数列 an 的通项公式an 26 2n 要使此数列的前n 项和 Sn最大 则 n 的值为 A 12 B 13 C 12 或 13 D 14 答案 C 解析 令 所以前n 项和 Sn最大时 n 的值为 12 或 13 7 广东省天河区普通高中2019 届综合测试 已知数列是为首项 为公差的等差数列 是1 为首项 2 为公比的等比数列 设 则当时 n 的最大值是 A 9 B 10 C 11 D 12 答案 B 解析 是以 1 为首
4、项 2 为公差的等差数列 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列 解得 则当时 n 的最大值是 10 故选 B 8 陕西省2019 年高三第三次教学质量检测 我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的 详解九章算法 一书里出现了如图所示的表 即杨辉三角 这是数学史上的一个伟大成就 在 杨辉三角 中 第行的所有数 字之和为 若去除所有为1 的项 依次构成数列2 3 3 4 6 4 5 10 10 5 则此数列的前15 项和为 A 110 B 114 C 124 D 125 答案 B 解析 由题意 次二项式系数对应的杨辉三角形的第行 令 可得二项展开式的二项式系数的和 其中第 1 行为 第2 行为 第
5、3 行为 以此类推 即每一行的数字之和构成首项为1 公比为 2 的对边数列 则杨辉三角形中前行的数字之和为 若除去所有为1 的项 则剩下的每一行的数字的个数为 可以看成构成一个首项为1 公差为2 的等差数列 则 令 解得 所以前 15 项的和表示前7 行的数列之和 减去所有的1 即 即前 15 项的数字之和为114 故选 B 9 四川省高2019 届高三第一次诊断性测试 若等差数列的公差且成等比数列 则 A B C D 2 答案 A 解析 设等差数列的首项为a1 公差为d 则 a3 a1 2d a7 a1 6d 因为 a1 a3 a7成等比数列 所以 a1 2d 2 a1 a 1 6d 解得
6、a1 2d 所以 故选 A 10 江西省南昌市2019 届高三第一次模拟 我国南宋数学家杨辉1261 年所著的 详解九章算法 一 书里出现了如图所示的表 即杨辉三角 这是数学史上的一个伟大成就 在 杨辉三角 中 第 n 行的所有数 字之和为 若去除所有为1 的项 依次构成数列 则此数列的前55 项和为 A 4072 B 2026 C 4096 D 2048 答案 A 解析 由题意可知 每一行数字和为首项为1 公比为2 的等比数列 则杨辉三角形的前n 项和为 Sn2n 1 若去除所有的为1 的项 则剩下的每一行的个数为1 2 3 4 可以看成构成一个首项为 1 公差为 1 的等差数列 则 Tn
7、可得当 n 10 所有项的个数和为55 则杨辉三角形的前12 项的和为 S12 2 12 1 则此数列前55 项的和为S12 23 4072 故选 A 11 北京市朝阳区2019 届高三模拟 天坛公园是明 清两代皇帝 祭天 祈谷 的场所 天坛公园中的 圜丘台共有三层 如图1 所示 上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板 从中心向外围以扇面形石 如图 2 所示 上层坛从第一环至第九环共有九环 中层坛从第十环至第十八环共有九环 下层坛从第十九环至 第二十七环共有九环 第一环的扇面形石有9 块 从第二环起 每环的扇面形石块数比前一环多9 块 则 第二十七环的扇面形石块数是 上 中 下三层坛所有的扇面形石
8、块数是 答案 243 3402 解析 第一环的扇面形石有9 块 从第二环起 每环的扇面形石块数比前一环多9 块 则依题意得 每环的扇面形石块数是一个以9 为首项 9 为公差的等差数列 所以 an 9 n 1 9 9n 所以 a27 9 27 243 前 27 项和为 3402 12 江西省新余四中2019 届高三模拟 已知数列满足 数列是公比为2 的等比数列 则 答案 解析 由题可知 则所以 故所以 原式 13 湖南省长沙市长郡中学2019 届高三模拟 在各项均为正数的等比数列中 当取最小值时 则数 列的前项和为 答案 解析 等比数列中 所以 令 则 令 解得 因为各项均为正数的等比数列 所以
9、 当时 当时 所以在时取得最小值 设 代入化简可得 所以 两式相减得 14 江苏省2019 届高三联合调研 若无穷数列满足 当 时 其中表示 中的最大项 有 以下结论 若数列是常数列 则 若数列是公差的等差数列 则 若数列是公比为的等比数列 则 若存在正整数 对任意 都有 则是数列的最大项 则其中正确的结论是 写出所有正确结论的序号 答案 解析 若数列是常数列 则 max 0 所以 正确 若数列是公差d 0 的等差数列 则 max d 所以有最大值 因此不可能递增且d 0 所以 d 0 正确 若数列是公比为q 的等比数列 则 且 所以 所以或 又因为 所以 所以 q 1 正确 若存在正整数T
10、对任意 都有 假设在中最大 则中都是最大 则 且 即 所以 所以是数 列的最大项 正确 故答案为 15 江西省重点中学盟校2019 届高三第一次联考 已知数列为正项等比数列 满足 且 构成等差 数列 数列满足 1 求数列 的通项公式 2 若数列的前项和为 数列满足 求数列的前项和 答案 解析 设等比数列的公比为q q 由题意 得 解得或 舍 又所以 16 江西省新八校2019 届高三第二次联考 已知数列为正项等比数列 满足 且构成等差数列 数 列满足 1 求数列 的通项公式 2 若数列的前项和为 数列满足 求数列的前项和 答案 1 2 解析 1 设等比数列的公比为 由题意 得 解得或 舍 又所
11、以 2 17 北京市平谷区2019 届高三质量监控 给定数列 对 该数列前项的最大值记为 后项的最小值 记为 1 设数列为3 4 7 5 2 写出 的值 2 设是 公比的等比数列 证明 成等比数列 3 设 证明 的充分必要条件为是公差为的等差数列 答案 1 见解析 2 见解析 3 见解析 解析 1 由题意 可知 当 i 1 时 A1 3 B1 2 d1 A1 B1 3 2 1 当 i 2 时 A2 4 B2 2 d2 A2 B2 4 2 2 当 i 3 时 A3 7 B3 2 d3 A3 B3 7 2 5 当 i 4 时 A4 7 B4 2 d4 A4 B4 7 2 5 2 由题意 可知 a
12、1 0 公比 q 1 数列 an 是一个单调递增的等比数列 当 i 1 时 A1 a1 B1 a2 d1 A1 B1 a1 a2 a1 1 q 当 i 2 时 A2 a2 B2 a3 d2 A2 B2 a2 a3 a1 1 q q 当 i 3 时 A3 a 3 B 3 a 4 d 3 A 3 B 3 a 3 a 4 a 1 1 q q2 对 因此且 为首项为a1 1 q 公比为q 的等比数列 3 充分性 若是公差为的等差数列 则 因为 必要性 若 假设是第一个使的项 则 这与相矛盾 故 即 故是公差为的等差数列 18 浙江省三校2019 年 5 月份第二次联考 已知数列 的各项均不为零 若是单
13、调递增数列 且 求及数列的通项公式 若数列满足 求数列的前项的和 答案 解析 因为 所以 因为 则 所以是等差数列 因为 则 所以 所以 因为 所以 当时 所以 所以 累加得当时 即 也适合上式 故 所以 19 山东省威海市2019 届高三二模 已知是递增的等比数列 成等差数列 求数列的通项公式 设数列满足 求数列的前项和 答案 解析 设等比数列的公比为 成等差数列 即 解得或 舍去 又 由条件及 可得 又满足上式 20 山东省淄博市2019 届高三模拟 已知等比数列的前项和为成等差数列 且 1 求数列的通项公式 2 若 求数列的前项和 答案 1 2 解析 1 设等比数列的公比为 由成等差数列
14、知 所以 即 又 所以 所以 所以等差数列的通项公式 2 由 1 知 所以 所以数列的前项和 所以数列的前项和 1 2019 年浙江卷 设 数列中 则 A 当B 当 C 当D 当 答案 A 解析 当 b 0 时 取 a 0 则 当时 令 即 则该方程 即必存在 使得 则一定存在 使得对任意成立 解方程 得 当时 即时 总存在 使得 故 C D 两项均不正确 当时 则 当时 则 则 故 A 项正确 当时 令 则 所以 以此类推 所以 故 B 项不正确 故本题正确答案为A 2 2019 全国高考 已知数列 an 和 bn 满足 a1 1 b1 0 1 证明 an bn 是等比数列 an bn 是等
15、差数列 2 求 an 和 bn 的通项公式 答案 I 见解析 2 解析 1 由题设得 即 又因为 a1 b1 l 所以是首项为 1 公比为的等比数列 由题设得 即 又因为 a1 b1 l 所以是首项为 1 公差为 2的等差数列 2 由 1 知 所以 所以 3 2019 年浙江卷 设等差数列的前项和为 数列满足 对每成等比数列 1 求数列的通项公式 2 记证明 答案 1 2 证明见解析 解析 1 由题意可得 解得 则数列的通项公式为 其前 n 项和 则成等比数列 即 据此有 故 2 结合 1 中的通项公式可得 则 4 2018 年浙江卷 已知等比数列 an 的公比 q 1 且 a3 a4 a5
16、28 a4 2 是 a3 a5的等差中项 数列 bn 满足 b1 1 数列 bn 1 bn an 的前 n 项和为 2n2 n 求q 的值 求数列 bn 的通项公式 答案 解析 由是的等差中项得 所以 解得 由得 因为 所以 设 数列前n 项和为 由解得 由 可知 所以 故 设 所以 因此 又 所以 5 2018 天津高考 设 an 是等差数列 其前 n 项和为Sn n N bn 是等比数列 公比大于0 其前 n 项和为Tn n N 已知 b1 1 b3 b2 2 b4 a3 a5 b5 a4 2a6 求 Sn和 Tn 若 Sn T1 T2 Tn an 4bn 求正整数n 的值 解析 I 设等比数列 bn 的公比为 q 由b1 1 b3 b2 2 可得q2 q 2 0 因为q 0 可得q 2 故 bn 2 n 1 所以 Tn 2 n 1 设等差数列 an 的公差为 d 由 b4 a3 a5 可得 a1 3d 4 由 b5 a4 2a6 可得 3a1 13d 16 从而 a1 1 d 1 故 an n 所以 Sn II 由 I 知 T1 T2 Tn 2 1 22 2n n 2n 1 n
