《专题3.3导数与函数的极值、最值(讲)(解析版) .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题3.3导数与函数的极值、最值(讲)(解析版) .pdf（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 3 3 导数与函数的极值 最值 1 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2 会用导数求函数的极大值 极小值 3 会求闭区间上函数的最大值 最小值 知识点 1 函数的单调性与导数的关系 函数 y f x 在某个区间内可导 则 1 若 f x 0 则 f x 在这个区间内单调递增 2 若 f x 0 右侧 f x 0 x0附近的左侧f x 0 图 象 形如山峰形如山谷 极 值 f x0 为极大值f x0 为极小值 极 值 x0为极大值点x0为极小值点 点 知识点 3 函数的最值与导数 1 函数 f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上函数 y f x 的图象是一条连
2、续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求 y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是 最小值 特别提醒 1 函数 f x 在区间 a b 上递增 则f x 0 f x 0 在 a b 上成立 是 f x 在 a b 上单调递增 的充分 不必要条件 2 对于可导函数f x f x0 0 是 函数 f x 在 x x0处有极值 的必要不充分条件 3 求最值时 应注意极值点和所给区间的关系 关系不确定时 需要分类讨论 不可想当然认为极值就 是最值 4
3、 函数最值是 整体 概念 而函数极值是 局部 概念 极大值与极小值之间没有必然的大小关系 考点一利用导数解决函数的极值 典例 1 2019 哈尔滨三中模拟 已知函数 f x ln x ax a R 当 a 1 2时 求 f x 的极值 解析 当a 1 2时 f x ln x 1 2x 函数的定义域为 0 且 f x 1 x 1 2 2 x 2x 令 f x 0 得 x 2 于是当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 2 2 2 f x 0 f x ln 2 1 故 f x 在定义域上的极大值为f x 极大值 f 2 ln 2 1 无极小值 方法技巧 运用导数求可导函数y f
4、x 的极值的一般步骤 1 先求函数y f x 的定义域 再求其导 数 f x 2 求方程 f x 0 的根 3 检查导数f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在 这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 特别注意 导数为零的点不一定是 极值点 变式 1 2019 河北衡水深州中学测试 讨论函数 f x 在定义域内极值点的个数 解析 由 1 知 函数的定义域为 0 f x 1 x a 1 ax x x 0 当 a 0 时 f x 0 在 0 上恒成立 即函数在 0 上单调递增 此时函数在定义域上无极值点 当 a 0 时 当 x 0 1 a 时 f
5、x 0 当 x 1 a 时 f x 0 时 函数y f x 有一个极大值点 且为x 1 a 考点二已知函数的极 最 值求参数的取值范围 典例 2 2018 北京卷 设函数 f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex 若曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x 轴平行 求a 若 f x 在 x 2 处取得极小值 求a 的取值范围 解析 因为f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex 所以 f x ax2 2a 1 x 2 ex f 1 1 a e 由题设知f 1 0 即 1 a e 0 解得 a 1 此时 f 1 3e 0 所以 a 的值为 1 f x ax2 2a 1 x 2 e x
6、 ax 1 x 2 ex 若 a 1 2 则当 x 1 a 2 时 f x 0 所以 f x 在 x 2 处取得极小值 若 a 1 2 则当 x 0 2 时 x 2 0 ax 1 1 2x 10 所以 2 不是 f x 的极小值点 综上可知 a 的取值范围是 1 2 方法技巧 已知函数极值 确定函数解析式中的参数时 要注意 1 根据极值点的导数为0 和极值 这两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于0 不是此点为极值点的充要条件 所以用 待定系数法求解后必须检验 变式 2 2017 全国 卷 若 x 2 是函数 f x x2 ax 1 ex 1 的极值点 则f x 的极小值为
7、A 1 B 2e 3 C 5e 3 D 1 解析 f x x2 a 2 x a 1 ex 1 则 f 2 4 2 a 2 a 1 e 3 0 a 1 则 f x x 2 x 1 ex 1 f x x2 x 2 ex 1 令 f x 0 得 x 2 或 x 1 当 x1 时 f x 0 当 2 x 1 时 f x 0 所以 x 1 是函数 f x 的极小值点 则 f x 极小值为f 1 1 答案 A 考点三利用导数研究函数的最值 典例 3 2018 全国卷 已知函数f x 2sin x sin 2x 则 f x 的最小值是 解析 f x 2cos x 2cos 2x 2cos x 2 2cos2
8、x 1 2 2cos2x cos x 1 2 2cos x 1 cos x 1 cos x 1 0 当 cos x 1 2时 f x 0 f x 单调递减 当 cos x 1 2时 f x 0 f x 单调递增 当 cos x 1 2 f x 有最小值 又 f x 2sin x sin 2x 2sin x 1 cos x 当 sin x 3 2 时 f x 有最小值 即 f x min 2 3 2 1 1 2 3 3 2 答案 33 2 方法技巧 求函数f x 在闭区间 a b 内的最值的思路 1 若所给的闭区间 a b 不含有参数 则只需对函数f x 求导 并求f x 0 在区间 a b 内
9、的根 再计算使导数等于零的根的函数值 把该函数值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的 一个是最小值 2 若所给的闭区间 a b 含有参数 则需对函数f x 求导 通过对参数分类讨论 判断函数的单调 性 从而得到函数f x 的最值 变式 3 2019 广东五校联考 已知函数f x ax ln x 其中 a 为常数 1 当 a 1 时 求 f x 的最大值 2 若 f x 在区间 0 e 上的最大值为 3 求 a 的值 解析 1 易知 f x 的定义域为 0 当 a 1 时 f x x ln x f x 1 1 x 1 x x 令 f x 0 得 x 1 当 0 x0 当 x 1
10、 时 f x 0 f x 在 0 1 上是增函数 在 1 上是减函数 f x max f 1 1 当 a 1 时 函数f x 在 0 上的最大值为 1 2 f x a 1 x x 0 e 1 x 1 e 若 a 1 e 则 f x 0 从而 f x 在 0 e 上是增函数 f x max f e ae 1 0 不合题意 若 a0 得 a 1 x 0 结合 x 0 e 解得 0 x 1 a 令 f x 0 得 a 1 x 0 结合 x 0 e 解得 1 a x e 从而 f x 在 0 1 a 上为增函数 在 1 a e 上为减函数 f x max f 1 a 1 ln 1 a 令 1 ln 1 a 3 得 ln 1 a 2 即 a e2 e20 f x 单调递增 当 x 2 5 2 时 f x 0 当 t 2 8 时 V t 0 从而 V t 在 0 2 上单调递 增 在 2 8 上单调递减 V 0 8 640 V 8 3 520 所以当t 8 时 V t 有最小值3 520 此时金 箍棒的底面半径为4 cm 答案 4
