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1、专题 13 2 参数方程 1 广东省珠海一中2019 届模拟 将下列参数方程化为普通方程 1 x 3k 1 k2 y 6k2 1 k2 2 x 1 sin 2 y sin cos 解析 1 两式相除 得k y 2x 将其代入得 x 3 y 2x 1 y 2x 2 化简得所求的普通方程是4x2 y2 6y 0 y 6 2 由 sin cos 2 1 sin 2 2 1 sin 2 x 1 sin 2 0 2 得 y2 2 x 即所求的普通方程为y2 2 x x 0 2 2 安徽省六安一中2019 届模拟 平面直角坐标系xOy 中 曲线C x 1 2 y 2 1 直线 l 经过 点 P m 0 且
2、倾斜角为 6 1 求圆 C 和直线 l 的参数方程 2 若直线 l 与曲线 C 相交于 A B 两点 且 PA PB 1 求实数m 的值 解析 1 由曲线 C x 1 2 y2 1 得参数方程为 x 1 cos y sin 为参数 直线 l 的参数方程为 x m 3 2 t y 1 2t t 为参数 2 设 A B 两点对应的参数分别为t1 t2 将直线 l 的参数方程代入x2 y2 2x 中 得 t2 3m 3 t m2 2m 0 所以 t1t2 m2 2m 由题意得 m2 2m 1 得 m 1 m 1 2或 m 1 2 又由 0 即 3m 3 2 4 m2 2m 0 得 1 m0 4 6
3、陕西省咸阳一中2019 届模拟 在平面直角坐标系xOy 中 以原点O 为极点 x 轴的非负半轴 为极轴 建立极坐标系 曲线C 的极坐标方程为 2cos 1 cos2 直线 l 的参数方程为 x 2 tcos y 1 tsin t 为参数 0 1 若 3 4 求 l 的普通方程 直接写出C 的直角坐标方程 2 若 l 与 C 有两个不同的交点A B 且 P 2 1 为 AB 的中点 求 AB 解析 1 由直线 l 的参数方程 x 2 tcos y 1 tsin t 为参数 及 3 4 可得其直角坐标方程为x y 3 0 由曲线 C 的极坐标方程 2cos 1 cos2 得其直角坐标方程为y2 2
4、x 2 把直线 l 的参数方程 x 2 tcos y 1 tsin t 为参数 代入抛物线方程y2 2x得 t2sin2 2t sin cos 3 0 设 A B 所对应的参数分别为t1 t2 则 t1 t2 2 sin cos sin2 P 2 1 为 AB 的中点 P 点所对应的参数为 t1 t2 2 sin cos sin2 0 sin cos 0 即 4 则 变为 1 2t 2 3 0 此时 t2 6 t 6 AB 26 7 甘肃省金昌一中2019 届模拟 在直角坐标系xOy 中 直线l1的参数方程为 x 2 t y kt t 为参数 直线 l2的参数方程为 x 2 m y m k m
5、 为参数 设 l1与 l2的交点为 P 当 k 变化时 P 的轨迹为曲线C 1 写出 C 的普通方程 2 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 设l3 cos sin 2 0 M 为 l3与 C 的交点 求M 的极径 解析 1 消去参数t 得 l1的普通方程 l1 y k x 2 消去参数m 得 l2的普通方程l2 y 1 k x 2 设 P x y 由题设得 y k x 2 y 1 k x 2 消去 k 得 x2 y2 4 y 0 所以 C 的普通方程为x2 y2 4 y 0 2 C 的极坐标方程为 2 cos2 sin2 4 0 0 且点 M 在直线 l 上 所以此方程的两个实
6、数根为直线l 与曲线 C 的交点 A B 对应的参数t1 t2 所以 t1t2 16 所以 MA MB t1t2 16 4 山东省聊城一中2019 届模拟 在直角坐标系xOy 中 以 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建 立极坐标系 已知曲线C sin2 2acos a 0 直线 l x 2 2 2 t y 2 2 t t 为参数 1 求曲线 C 的直角坐标方程 直线l 的普通方程 2 设直线 l 与曲线 C 交于 M N 两点 点P 2 0 若 PM MN PN 成等比数列 求实数a 的值 解析 1 由 sin2 2acos a 0 两边同乘以 得 曲线 C y2 2ax 由直线 l x 2
7、 2 2 t y 2 2 t t 为参数 消去 t 得直线l x y 2 0 2 将 x 2 2 2 t y 2 2 t 代入 y2 2ax 得 t2 22at 8a 0 由 0 得 a 4 设 M 2 2 2 t1 2 2 t1 N 2 2 2 t2 2 2 t2 则 t1 t2 22a t1t2 8a 因为 PM MN PN 成等比数列 所以 t1 t2 2 t1t2 所以 2 2a 2 4 8a 8a 所以 a 5 5 江西省萍乡一中2019 届模拟 在平面直角坐标系xOy 中 圆 C 的参数方程为 x 5 2cos t y 3 2sin t t 为参数 在以原点O 为极点 x 轴的非负
8、半轴为极轴建立的极坐标系中 直线 l 的极坐标方程为 cos 4 2 1 求圆 C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程 2 设直线 l 与 x 轴 y 轴分别交于A B两点 点P 是圆 C 上任意一点 求A B 两点的极坐标和 PAB 面积的最小值 解析 1 由 x 5 2cos t y 3 2sin t 消去参数t 得 x 5 2 y 3 2 2 所以圆 C 的普通方程为 x 5 2 y 3 2 2 由 cos 4 2 得 cos sin 2 所以直线l 的直角坐标方程为x y 2 0 2 直线 l 与 x 轴 y 轴的交点分别为A 2 0 B 0 2 化为极坐标为A 2 B 2 2 设点
9、P 的坐标为 5 2cos t 3 2sin t 则点 P 到直线 l 的距离为d 5 2cos t 3 2sin t 2 2 6 2cos t 4 2 所以 dmin 4 2 2 2 又 AB 2 2 所以 P AB 面积的最小值是S 1 2 2 2 2 2 4 6 安徽省淮南一中2019 届调研 在极坐标系中 曲线 C1的极坐标方程是 24 4cos 3sin 在以极 点为原点O 极轴为x 轴正半轴 两坐标系取相同的单位长度 的直角坐标系xOy 中 曲线C2的参数方程为 x cos y sin 为参数 1 求曲线 C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程 2 将曲线 C2经过伸缩变换 x 2
10、2x y 2y 后得到曲线C3 若 M N 分别是曲线 C1和曲线 C3上的动点 求 MN 的最小值 解析 1 C1的极坐标方程是 24 4cos 3sin 4 cos 3 sin 24 4x 3y 24 0 故 C1的直角坐标方程为 4x 3y 24 0 曲线 C2的参数方程为 x cos y sin x2 y2 1 故 C2的普通方程为 x2 y2 1 2 将曲线 C2经过伸缩变换 x 22x y 2y 后得到曲线C3 则曲线 C3的参数方程为 x 22cos y 2sin 为 参数 设 N 22cos 2sin 则点 N 到曲线 C1的距离 d 4 2 2cos 3 2sin 24 5
11、2 41sin 24 5 24 2 41sin 5 其中 满足 tan 4 2 3 当 sin 1 时 d 有最小值 24 2 41 5 所以 MN 的最小值为 24 241 5 1 2018 全国 卷 在平面直角坐标系xOy 中 O 的参数方程为 x cos y sin 为参数 过点 0 2 且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A B 两点 1 求 的取值范围 2 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 解析 1 O 的直角坐标方程为x2 y2 1 当 2时 l 与 O 交于两点 当 2时 记 tan k 则 l 的方程为 y kx 2 l 与 O 交于两点当且仅当 2 1 k2 1 解得
12、k1 即 4 2 或 2 3 4 综上 的取值范围是 4 3 4 2 l 的参数方程为 x tcos y 2 tsin t 为参数 4 3 4 设 A B P 对应的参数分别为tA tB tP 则 tP tA tB 2 且 tA tB满足 t2 2 2tsin 1 0 于是 tA tB 2 2sin tP 2sin 又点 P 的坐标 x y 满足 x tPcos y 2 tPsin 所以点 P 的轨迹的参数方程是 x 2 2 sin 2 y 2 2 2 2 cos 2 为参数 4 3 4 2 2018 高考全国卷 在平面直角坐标系xOy 中 O 的参数方程为 x cos y sin 为参数 过
13、点 0 2 且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A B 两点 1 求 的取值范围 2 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 解析 1 O 的直角坐标方程为x2 y2 1 当 2 时 l 与 O 交于两点 当 2 时 记 tan k 则 l 的方程为y kx 2 l 与 O 交于两点当且仅当 2 1 k2 1 解得 k 1 或 k 1 即 4 2 或 2 3 4 综上 的取值范围是 4 3 4 2 l 的参数方程为 x tcos y 2 tsin t 为参数 4 3 4 设 A B P 对应的参数分别为tA tB tP 则 tP tA tB 2 且 tA tB满足 t2 22tsin 1 0
14、于是 tA tB 2 2sin tP 2sin 又点 P 的坐标 x y 满足 x tPcos y 2 tPsin 所以点 P 的轨迹的参数方程是 x 2 2 sin 2 y 2 2 2 2 cos 2 为参数 4 3 4 3 2017 全国 卷 在直角坐标系xOy 中 曲线 C 的参数方程为 x 3cos y sin 为参数 直线 l 的参数方 程为 x a 4t y 1 t t 为参数 1 若 a 1 求 C 与 l 的交点坐标 2 若 C 上的点到l 距离的最大值为17 求 a 解析 1 a 1 时 直线l 的普通方程为x 4y 3 0 曲线 C 的标准方程是 x2 9 y2 1 联立方
15、程 x 4y 3 0 x2 9 y2 1 解得 x 3 y 0 或 x 21 25 y 24 25 则 C 与 l 交点坐标是 3 0 和 21 25 24 25 2 直线 l 的普通方程是x 4y 4 a 0 设曲线 C 上点 P 3cos sin 则 P 到 l 距离 d 3cos 4sin 4 a 17 5sin 4 a 17 其中 tan 3 4 又点 C 到直线 l 距离的最大值为17 所以 5sin 4 a 的最大值为17 若 a 0 则 5 4 a 17 a 8 若 a 0 则 5 4 a 17 a 16 综上 实数a 的值为 a 16 或 a 8 4 2015 广东卷 在平面直
16、角坐标系xOy 中 以原点O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C1的极坐标方程为 cos sin 2 曲线 C2的参数方程为 x t2 y 2 2t t 为参数 则 C 1与 C2 交点的直角坐标为 答案 2 4 解析 曲线C1 cos sin 2 的直角坐标方程为 x y 2 曲线 C2 x t2 y 2 2t 的普通方程为y2 8x 由 x y 2 y2 8x 解得 x 2 y 4 则 C1与 C2交点的直角坐标为 2 4 5 2014 湖北卷 已知曲线C1的参数方程是 x t y 3t 3 t 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系 曲线C2的极坐标方程是 2 则 C1与 C2交点的直角坐标为 答案 3 1 解析 将曲线C1的参数方程化为普通方程为 y 3 3 x x 0 将曲线 C2的极坐标方程化为直角坐 标方程为x 2 y2 4 联立 y 3 3 x x 0 x2 y2 4 解得 x 3 y 1 故曲线 C1与 C2交点的直角坐标为 3 1
