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1、专题 11 5 古典概型 1 理解古典概型及其概率计算公式 2 会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率 知识点一基本事件的特点 1 任何两个基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 知识点二古典概型 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型 简称古典概型 1 试验的所有可能结果只有有限个 每次试验只出现其中的一个结果 2 每一个试验结果出现的可能性相同 特别提醒 如果一次试验中可能出现的结果有n 个 而且所有结果出现的可能性都相等 那么每一 个基本事件的概率都是 1 n 如果某个事件 A 包括的结果有m 个 那么事件A 的概率 P A m n 知
2、识点三古典概型的概率公式 P A 事件 A包含的可能结果数 试验的所有可能结果数 知识必备 概率的一般加法公式P A B P A P B P A B 中 易忽视只有当A B 即 A B 互斥时 P A B P A P B 此时 P A B 0 考点一基本事件及古典概型的判断 典例 1 吉林长春外国语学校2019 届模拟 袋中有大小相同的5 个白球 3 个黑球和3 个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 1 有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概 型 2 若按球的颜色为划分基本事件的依据 有多少个基本事件 以这些基本事件建立概率模型
3、该模型 是不是古典概型 解析 1 由于共有 11 个球 且每个球有不同的编号 故共有11 种不同的摸法 又因为所有球大小相同 因此每个球被摸中的可能性相等 故以球的编号为基本事件的概率模型为古 典概型 2 由于 11 个球共有3 种颜色 因此共有3 个基本事件 分别记为A 摸到白球 B 摸到黑球 C 摸到红球 又因为所有球大小相同 所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 1 11 而白球有5 个 故一次摸球摸到白球的可能性为 5 11 同理可知摸到黑球 红球的可能性均为 3 11 显然这三个基本事件出现的可能性不相等 故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型 方法技巧 古典概型中基本事
4、件个数的探求方法 1 枚举法 适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题 2 树状图法 适合于较为复杂的问题 注意在确定基本事件时 x y 可看成是有序的 如 1 2 与 2 1 不同 有时也可看成是无序的 如 1 2 与 2 1 相同 3 排列组合法 在求一些较复杂的基本事件个数时 可利用排列或组合的知识 变式 1 浙江台州中学2019 届模拟 甲 乙两人用4 张扑克牌 分别是红桃2 红桃 3 红桃 4 方 片 4 玩游戏 他们将扑克牌洗匀后 背面朝上放在桌面上 甲先抽 乙后抽 抽出的牌不放回 各抽1 张 1 写出甲 乙抽到牌的所有情况 2 甲 乙约定 若甲抽到的牌的数字比乙大 则甲胜
5、 否则乙胜 你认为此游戏是否公平 为什么 解析 1 设 i j 表示 甲抽到的牌的数字 乙抽到的牌的数字 则甲 乙二人抽到的牌的所有情况 方 片 4 用 4 表示 为 2 3 2 4 2 4 3 2 3 4 3 4 4 2 4 3 4 4 4 2 4 3 4 4 共 12 种 2 由 1 可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有 3 2 4 2 4 3 4 2 4 3 共 5 种情况 甲胜的概率p 5 12 5 12 1 2 此游戏不公平 考点二简单的古典概型的概率 典例 2 山东潍坊二中2019 届模拟 1 两名同学分3 本不同的书 其中一人没有分到书 另一人分得3 本书的概率为 A 1 2 B 1
6、 4 C 1 3 D 1 6 2 设袋子中装有3 个红球 2个黄球 1 个蓝球 规定 取出一个红球得1 分 取出一个黄球得2 分 取出一个蓝球得3 分 现从该袋子中任取 有放回 且每球取得的机会均等 2 个球 则取出此2 球所得分数 之和为 3 分的概率为 答案 1 B 2 1 3 解析 1 两名同学分3 本不同的书 基本事件有 0 3 1a 2 1b 2 1c 2 2 1a 2 1b 2 1c 3 0 共 8 个 其中一人没有分到书 另一人分到3本书的基本事件有2 个 一人没有分到书 另一人分得3 本书的概率p 2 8 1 4 2 袋子中装有3 个红球 2 个黄球 1 个蓝球 规定 取出一个
7、红球得1 分 取出一个黄球得2 分 取 出一个蓝球得3 分 现从该袋子中任取 有放回 且每球取得的机会均等 2 个球 基本事件总数n 6 6 36 取出此 2 球所得分数之和为3 分 包含第一次抽到红球 第二次抽到黄球或者第一次抽到黄球 第二次抽 到红球 基本事件个数m 2 3 3 2 12 所以取出此2 球所得分数之和为3 分的概率p m n 12 36 1 3 规律方法计算古典概型事件的概率可分三步 1 计算基本事件总个数n 2 计算事件A 所包含的基 本事件的个数m 3 代入公式求出概率p 变式 2 湖北孝感高级中学2019 届模拟 同学聚会上 某同学从 爱你一万年 十年 父亲 单身情歌
8、 四首歌中选出两首歌进行表演 则 爱你一万年 未被选取的概率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 5 6 答案 B 解析 从四首歌中任选两首共有C2 4 6 种选法 不选取 爱你一万年 的方法有C 2 3 3种 故所求 的概率为p 3 6 1 2 考点三古典概型与平面向量和或解析几何的交汇 典例 3 广东广雅中学2019 届模拟 设平面向量a m 1 b 2 n 其中 m n 1 2 3 4 记 a a b 为事件 A 则事件A 发生的概率为 A 1 8 B 1 4 C 1 3 D 1 2 答案 A 解析 有序数对 m n 的所有可能情况为4 4 16 个 由 a a b 得 m2 2m
9、 1 n 0 即 n m 1 2 由于 m n 1 2 3 4 故事件 A 包含的基本事件为 2 1 和 3 4 共 2 个 所以P A 2 16 1 8 变式 3 福建三明一中2019 届模拟 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a b 则直线ax by 0 与圆 x 2 2 y2 2 有公共点的概率为 答案 7 12 解析 依题意 将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组 a b 有 6 6 36 种 其中满足直 线 ax by 0 与圆 x 2 2 y2 2 有公共点 即满足 2a a2 b2 2 即 a b 的数组 a b 有 1 1 1 2 1 3 1 4 6 6 共 6 5 4
10、3 2 1 21 种 因此所求的概率为 21 36 7 12 考点四古典概型与函数或统计的交汇 典例 4 广西南宁二中2019 届模拟 已知函数f x 1 3x 3 ax2 b2x 1 若 a 是从 1 2 3 三个数 中任取的一个数 b是从 0 1 2 三个数中任取的一个数 则该函数有两个极值点的概率为 A 7 9 B 1 3 C 5 9 D 2 3 答案 D 解析 f x x2 2ax b2 由题意知f x 0 有两个不等实根 即 4 a2 b2 0 a b 有序数对 a b 所有结果为3 3 9 种 其中满足a b有 1 0 2 0 3 0 2 1 3 1 3 2 共 6 种 故 所求概
11、率p 6 9 2 3 变式 4 四川雅安中学2019 届模拟 某中学组织了一次数学学业水平模拟测试 学校从测试合格 的男 女生中各随机抽取100 人的成绩进行统计分析 分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率 分布直方图 注 分组区间为 60 70 70 80 80 90 90 100 1 若得分大于或等于80 认定为优秀 则男 女生的优秀人数各为多少 2 在 1 中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人 从这5 人中任意选取2 人 求至少有一名男 生的概率 解析 1 由题可得 男生优秀人数为100 0 01 0 02 10 30 女生优秀人数为100 0 015 0 03 10 45 2 因为样本容量与总体中的个体数的比是 5 30 45 1 15 所以样本中包含的男生人数为 30 1 15 2 女生 人数为 45 1 15 3 则从 5 人中任意选取2 人共有 C25 10 种 抽取的 2 人中没有一名男生有C23 3 种 则至少有一名男生 有 C25 C23 7 种 故至少有一名男生的概率为 p 7 10 即选取的 2 人中至少有一名男生的概率为 7 10
