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1、专题 11 7 离散型随机变量及其分布列 1 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 了解分布列对于刻画随机现象的重要性 2 理解超几何分布及其导出过程 并能进行简单应用 知识点一离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量 称为离散型 随机变量 知识点二离散型随机变量的分布列及性质 1 一般地 若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1 x2 xi xn X 取每一个值xi i 1 2 n 的概率 P X xi pi 则表 X x1x2 xi xn P p1p2 pi pn 称为离散型随机变量X 的概率分布列 2 离散型随机变量的分布列的性质
2、 pi 0 i 1 2 n p1 p2 pn 1 考点一离散型随机变量分布列的性质 典例 1 江苏如东高中2019 届模拟 设随机变量X 的分布列为P X k 5 ak k 1 2 3 4 5 1 求 a 的值 2 求 P x 3 5 3 求 P 1 10 X 7 10 方法技巧 分布列性质的两个作用 1 利用分布列中各事件概率之和为1 可求参数的值及检查分布列的正确性 2 随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的 利用这一点可以求随机变量在某个范围内 的概率 变式 1 上海格致中学2019 届模拟 随机变量X 的分布列如下 X 101 P a b c 其中 a b c 成等差数列 则P
3、 X 1 公差 d的取值范围是 考点二超几何分布的应用 典例 2 黑龙江哈尔滨三中2019 届模拟 在心理学研究中 常采用对比试验的方法评价不同心理 暗示对人的影响 具体方法如下 将参加试验的志愿者随机分成两组 一组接受甲种心理暗示 另一组接 受乙种心理暗示 通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 现有 6 名男志 愿者 A1 A2 A3 A4 A5 A6和 4 名女志愿者 B1 B2 B3 B4 从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示 另5 人接受乙种心理暗示 1 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率 2 用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数 求
4、X 的分布列 方法技巧 1 随机变量是否服从超几何分布的判断 若随机变量X 服从超几何分布 则满足如下条件 1 该试验是不放回地抽取n 次 2 随机变量X 表示 抽取到的次品件数 或类似事件 反之亦然 2 求超几何分布的分布列的步骤 第一步 验证随机变量服从超几何分布 并确定参数N M n 的值 第二步 根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率 第三步 用表格的形式列出分布列 变式 2 辽宁葫芦岛高级中学2019 届模拟 某项大型赛事 需要从高校选拔青年志愿者 某大学 学生实践中心积极参与 从 8 名学生会干部 其中男生5 名 女生 3 名 中选 3名参加志愿者服务活动 若
5、所选 3 名学生中的女生人数为X 求 X 的分布列 考点三求离散型随机变量的分布列 典例 3 山西省实验中学2019 届模拟 已知2 件次品和3 件正品混放在一起 现需要通过检测将 其区分 每次随机检测一件产品 检测后不放回 直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时检测结 束 1 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 2 已知每检测一件产品需要费用100 元 设 X 表示直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时所需要 的检测费用 单位 元 求 X 的分布列 变式 3 河北衡水中学2019 届调研 有编号为1 2 3 n 的 n 个学生 入座编号为1 2 3 n 的 n 个座位 每个学生规定坐一个座位 设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X 已 知 X 2时 共有6 种坐法 1 求 n 的值 2 求随机变量X 的分布列
