《专题08解析几何-2020年高考数学(理)二轮专项复习 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题08解析几何-2020年高考数学(理)二轮专项复习 .pdf（87页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 08 解析几何 平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法 为此 我们要关注 将几何问 题代数化 用代数语言描述几何要素及其关系 将几何问题转化为代数问题 处理代数问题 分析代数结果的几何含义 最终解决几何问题 在此之中 要不断地体会数形结合 函数与方程及分类讨论等数学思想与方法 要善于 应用初中平面几何 高中三角函数和平面向量等知识来解决直线 圆和圆锥曲线的综合问题 8 1 直角坐标系 知识要点 1 数轴上的基本公式 设数轴的原点为O A B 为数轴上任意两点 OB x2 OA x1 称 x2 x1叫做向量 AB 的坐标或数量 即数量AB x2 x1 数轴上两点 A B 的距离公
2、式是 d A B AB x2 x1 2 平面直角坐标系中的基本公式 设 A B 为直角坐标平面上任意两点 A x1 y1 B x2 y2 则 A B 两点之间的距离 公式是 2 12 2 12 yyxxABBAd A B 两点的中点M x y 的坐标公式是 2 2 2121 yy y xx x 3 空间直角坐标系 在空间直角坐标系O xyz 中 若 A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 A B 两点之间的距离 公式是 2 12 2 12 2 12 zzyyxxABBAd 复习要求 1 掌握两点间的距离公式 中点坐标公式 会建立平面直角坐标系 用坐标法 也称为 解析法 解决简单的几何问题
3、2 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标系刻画点的位置 并掌握两点间的距离公 式 例题分析 例 1 解下列方程或不等式 1 x 3 1 2 x 3 4 3 1 x 3 4 略解 1 设直线坐标系上点A B 的坐标分别为x 3 则 x 3 1 表示点 A 到点 B 的距离等于1 如图 8 1 1 所示 图 8 1 1 所以 原方程的解为x 4 或 x 2 2 与 1 类似 如图8 1 2 图 8 1 2 则 x 3 4 表示直线坐标系上点A 到点 B 的距离小于或等于4 所以 原不等式的解集为 x 1 x 7 3 与 2 类似 解不等式1 x 3 得解集 x x 4 或 x 2 将此与不等式 x
4、 3 4 的解集 x 1 x 7 取交集 得不等式 1 x 3 4 的解集为 x 1 x 2 或 4 x 7 评析 解绝对值方程或不等式时 如果未知数x 的次数和系数都为1 那么可以利用 绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式 x a 的几何意义 表示数轴 直线坐标系 上点 A x 到点 B a 的距离 例 2 已知矩形ABCD 及同一平面上一点P 求证 PA2 PC 2 PB2 PD2 解 如图 8 1 3 以点 A 为原点 以AB 为 x 轴 向右为正方向 以AD 为 y 轴 向 上为正方向 建立平面直角坐标系 图 8 1 3 设 AB a AD b 则 A 0 0 B a 0 C a b
5、 D 0 b 设 P x y 则 22222222 byaxyxPCPA x2 y2 x a 2 y b 2 22222222 byxyaxPDPB x2 y2 x a 2 y b 2 所以 PA2 PC2 PB2 PD2 评析 坐标法是解析几何的一个基本方法 非常重要 坐标法中要注意坐标系的建立 理论上 可以任意建立坐标系 但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度 适当的坐标 系可以使解题过程较为简便 例 3 已知空间直角坐标系中有两点A 1 2 1 B 2 0 2 1 求 A B 两点的距离 2 在 x 轴上求一点P 使 PA PB 3 设 M 为 xOy 平面内的一点 若 MA MB 求
6、 M 点的轨迹方程 解 1 由两点间的距离公式 得 14 21 02 21 222 AB 2 设 P a 0 0 为 x 轴上任一点 由题意得 222 10 20 1 a 即 a2 2a 6 a2 4a 8 解得 a 1 所以 P 1 0 0 40 2 2 a 3 设 M x y 0 则有 整理可得 x 2y 1 0 所以 M 点的轨迹方程为x 2y 1 0 评析 由两点间的距离公式建立等量关系 体现了方程思想的应用 练习 8 1 一 选择题 1 数轴上三点A B C 的坐标分别为3 1 5 则 AC CB 等于 A 4 B 4 C 12 D 12 2 若数轴上有两点A x B x2 其中 x
7、 R 则向量的数量的最小值为 A B 0 C D 3 在空间直角坐标系中 点 1 2 3 关于 yOz 平面的对称点是 A 1 2 3 B 1 2 3 C 1 2 3 D 1 2 3 4 已知平面直角坐标内有三点A 2 5 B 1 4 P x y 且 AP BP 则实数 x y 满足的方程为 A x 3y 2 0 B x 3y 2 0 C x 3y 2 0 D x 3y 2 0 二 填空题 5 方程 x 2 3 的解是 不等式 x 3 2 的解为 6 点 A 2 3 关于点 B 4 1 的对称点为 7 方程 x 2 x 3 4的解为 8 如图 8 1 4 在长方体ABCD A1B1C1D1中
8、DA 3 DC 4 DD1 2 A1C 的 中点为 M 则点 B1的坐标是 点 M 的坐标是 M 关于点 B1的对称点为 4 0 2 10 2 1 22222 yxyx AB 2 1 4 1 4 1 图 8 1 4 三 解答题 9 求证 平行四边形ABCD 满足 AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 10 求证 以 A 4 3 1 B 7 1 2 C 5 2 3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 11 在平面直角坐标系中 设 A 1 3 B 4 5 点 P 在 x 轴上 求 PA PB 的最小值 8 2 直线的方程 知识要点 1 直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某
9、条直线上 且这条直线上点的坐标都是这个方程 的解 那么这个方程叫做这条直线的方程 这条直线叫做这个方程的直线 2 直线的倾斜角和斜率 x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角 并规定 与 x 轴平行或重 合的直线的倾斜角为零度角 因此 倾斜角的取值范围是0 180 我们把直线y kx b 中的系数k 叫做这条直线的斜率 设 A x1 y1 B x2 y2 为直线 y kx b 上任意两点 其中x1 x2 则斜率 倾斜角为 90 的直线的斜率不存在 倾斜角为的直线的斜率k tan 90 3 直线方程的几种形式 点斜式 y y1 k x x1 斜截式 y kx b 两点式 一般式 A
10、x By C 0 A2 B2 0 4 两条直线相交 平行与重合的条件 设直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 则 1 l1与 l2相交A1B2 A2B1 0 或 2 l1与 l2平行 3 l1与 l2重合 当直线 l1与 l2的斜率存在时 设斜率分别为 k1 k2 截距分别为b1 b2 则 l1与 l2相交k1 k2 l1 l2k1 k2 b1 b2 l1与 l2重合k1 k2 b1 b2 5 两条直线垂直的条件 设直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 则 l1 l2 A1A2 B1B2 0 当直线 l1与 l2的斜率存在时 设斜
11、率分别为 k1 k2 则 l1 l2k1k2 1 12 12 xx yy k 2121 12 1 12 1 yyxx xx xx yy yy 0 22 2 1 2 1 BA B B A A 0 0 0 0 222 2 1 2 1 2 1 2112 21211221 CBA C C B B A A CACA BCCBBABA 或 或而 0 0 222 2 1 2 1 2 1 2221 11 CBA C C B B A A CCBBAA 或 6 点到直线的距离 点 P x1 y1 到直线 l Ax By C 0 的距离 d 的计算公式 复习要求 1 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线斜
12、率的计算公式 根据确定直 线位置的几何要素 探索并掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点式及一般式 体会斜截 式与一次函数的关系 2 掌握两条直线平行与垂直的条件 点到直线的距离公式 能够根据直线的方程判断 两条直线的位置关系 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 例题分析 例 1 1 直线的斜率是 倾斜角为 2 设 A 2 3 B 3 2 C 1 1 过点 C 且斜率为k 的直线 l 与线段 AB 相交 则斜率 k 的取值范围为 略解 1 直线可以化简为 所以此直线的斜率为 倾斜角 2 如图 8 2 1 设直线 AC 的倾斜角为 图 8 2 1 因为此直线的斜率为 所以 设直线 BC 的倾斜角
13、为 因为此直线的斜率为 22 11 BA CByAx d 082yx 082yx 2 28 2 2 xy 2 2 2 2 tanarc 3 4 12 13 AC k 3 4 tan 2 3 13 12 BC k 所以 因为直线 l 与线段 AB 相交 所以直线l 的倾斜角满足 由正切函数图象 得tan tan或 tan tan 故 l 斜率 k 的取值范围为 评析 1 求直线的斜率常用方法有三种 已知直线的倾斜角 当 90 时 k tan 已知直线上两点的坐标 x1 y1 x2 y2 当 x1 x2时 k 已知直线的方程Ax By C 0 当 B 0 时 k 2 已知直线的斜率k 求倾斜角时
14、要注意当k 0 时 arctank 当 k 0 时 arctan k 例 2 根据下列条件求直线方程 1 过点 A 2 3 且在两坐标轴上截距相等 2 过点 P 2 1 且点 Q 1 2 到直线的距离为1 解 1 设所求直线方程为y 3 k x 2 或 x 2 舍 令 y 0 得 x 2 k 0 令 x 0 得 y 3 2k 由题意 得2 3 2k 解得 k 或 k 1 所以 所求直线方程为3x 2y 0 或 x y 5 0 2 设所求直线方程为y 1 k x 2 或 x 2 当直线为 y 1 k x 2 即 kx y 2k 1 0 时 由点 Q 1 2 到直线的距离为1 得 1 解得 2 3
15、 tan 2 3 3 4 k 12 12 xx yy B A k 3 k 3 2 3 1 122 2 k kk 3 4 k 所以 直线 即 4x 3y 5 0 符合题意 当直线为 x 2 时 检验知其符合题意 所以 所求直线方程为4x 3y 5 0 或 x 2 评析 求直线方程 应从条件出发 合理选择直线方程的形式 并注意每种形式的适 应条件 特别地 在解题过程中要注意 无斜率 零截距 的情况 例 3已知直线l1 m 2 x m 2 y 1 0 l2 m2 4 x my 3 0 1 若 l1 l2 求实数m 的值 2 若 l1 l2 求实数m 的值 解法一 1 因为 l1 l2 所以 m 2
16、m m 2 m2 4 解得 m 2 或 m 1 或 m 4 验证知两直线不重合 所以 m 2 或 m 1 或 m 4 时 l1 l2 2 因为 l1 l2 所以 m 2 m2 4 m m 2 0 解得 m 2 或 m 1 或 m 4 解法二 当 l1斜率不存在 即 m 2 时 代入直线方程 知l1 l2 当 l2斜率不存在 即 m 0 时 代入直线方程 知l1与 l2既不平行又不垂直 当 l1 l2斜率存在 即 m 0 m 2 时 可求 l1 l2 如的斜率分别为 k1 k2 截距 b1 b2 若 l1 l2 由 k1 k2 b1 b2 解得 m 2 或 m 1 或 m 4 若 l1 l2 由 k1k2 1 解得 m 1 或 m 4 综上 1 当 m 2 或 m 1 或 m 4 时 l1 l2 2 当 m 2 或 m 1 或 m 4 时 l1 l2 评析 两条直线平行与垂直的充要条件有几个 但各有利弊 简洁的 如解法一 相互 之间易混淆 好记的要注意使用条件 如解法二 易丢 无斜率 的情况 解题过程中要注 0 3 5 3 4 yx 2 2 m m m m4 2 2 1 mm 3 意正确
