《专题07二次函数与幂函数(教学案)(解析版) .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题07二次函数与幂函数(教学案)(解析版) .pdf（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师整理 助你成功 1 了解幂函数的概念 结合函数y x y x2 y x3 y x1 2 y 1 x 的图象 了解它们的变化情况 2 理解二次函数的图象和性质 能用二次函数 方程 不等式之间的关系解决简单问题 1 幂函数 1 幂函数的定义 一般地 形如y x 的函数称为幂函数 其中x是自变量 为常数 2 常见的 5 种幂函数的图象 3 常见的 5 种幂函数的性质 函数 特征 性质 y x y x2y x3y x1 2 y x 1 定义域RRR 0 x x R 且 x 0 值域R 0 R 0 y y R 且 y 0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 2 二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 名师整理
2、助你成功 一般式 f x ax2 bx c a 0 顶点式 f x a x m 2 n a 0 顶点坐标为 m n 零点式 f x a x x1 x x2 a 0 x1 x2为 f x 的零点 2 二次函数的图象和性质 解析式f x ax2 bx c a 0 f x ax2 bx c a m 2 m 1 1 2 则实数 m 的取值范围是 A 5 1 2 B 5 1 2 C 1 2 D 5 1 2 2 解析 1 由幂函数的定义知k 1 又 f 1 2 2 2 所以 1 2 2 2 解得 1 2 从而 k 3 2 2 因为函数y x1 2的定义域为 0 且在定义域内为增函数 所以不等式等价于 2m
3、 1 0 m2 m 1 0 2m 1 m2 m 1 名师整理 助你成功 解得 m 1 2 m 5 1 2 或m 5 1 2 1 m 2 即 5 1 2 m0 时 图象过原点和 1 1 在第一象限的图象上升 当 0 时 图象不过原点 过 1 1 在第一象限的图象下降 3 在比较幂值的大小时 必须结合幂值的特点 选择适当的函数 借助其单调性进行比较 准确掌握 各个幂函数的图象和性质是解题的关键 变式探究 1 幂函数 y f x 的图象过点 4 2 则幂函数y f x 的图象是 2 已知幂函数f x n2 2n 2 xn2 3n n Z 的图象关于y 轴对称 且在 0 上是减函数 则n 的值为 A
4、3 B 1 C 2 D 1 或 2 解析 1 设 f x x R 则 4 2 1 2 因此 f x x 1 2 根据图象的特征 C 正确 2 幂函数f x n2 2n 2 xn2 3n 在 0 上是减函数 n2 2n 2 1 n2 3n 0 n 1 名师整理 助你成功 又 n 1 时 f x x 2的图象关于 y 轴对称 故n 1 答案 1 C 2 B 高频考点二求二次函数的解析式 例 2 已知二次函数f x 满足 f 2 1 f 1 1 且 f x 的最大值是8 试确定此二次函数的解析式 解析 解法一 利用一般式 设 f x ax2 bx c a 0 由题意得 4a 2b c 1 a b c
5、 1 4ac b2 4a 8 解得 a 4 b 4 c 7 所求二次函数的解析式为f x 4x2 4x 7 解法二 利用顶点式 设 f x a x m 2 n a 0 f 2 f 1 抛物线的对称轴为x 2 1 2 1 2 m 1 2 又根据题意函数有最大值 8 n 8 y f x a x 1 2 2 8 f 2 1 a 2 1 2 2 8 1 解得 a 4 f x 4 x 1 2 2 8 4x2 4x 7 解法三 利用两根式 由已知 f x 1 0 两根为 x1 2 x2 1 故可设 f x 1 a x 2 x 1 a 0 即 f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值f x max 8
6、 即 4a 2a 1 a2 4a 8 解得 a 4 或 a 0 舍 所求函数的解析式为f x 4x2 4x 7 方法技巧 确定二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式 一般用待定系数法 选择规律如下 名师整理 助你成功 变式探究 已知二次函数f x 满足 f 1 x f 1 x 且 f 0 0 f 1 1 求 f x 的解析式 解析 解法一 一般式 设 f x ax2 bx c a 0 则 c 0 a b c 1 b 2a 1 a 1 b 2 c 0 f x x2 2x 解法二 两根式 对称轴方程为x 1 f 2 f 0 0 f x 0 的两根分别为0 2 可设其解析式为f x a
7、x x 2 又 f 1 1 可得 a 1 f x x x 2 x2 2x 解法三 顶点式 由已知 可得顶点为 1 1 可设其解析式为f x a x 1 2 1 又由 f 0 0 可得 a 1 f x x 1 2 1 x2 2x 高频考点三二次函数的图象与性质 命题角度1二次函数的单调性 例 3 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 1 求实数 a 的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 2 当 a 1 时 求 f x 的单调区间 解析 1 由于函数 f x 的图象开口向上 对称轴是x a 所以要使f x 在 4 6 上是单调函数 应 名师整理 助你成功 有 a 4 或
8、a 6 即 a 6 或 a 4 2 当 a 1 时 f x x2 2x 3 f x x2 2 x 3 此时定义域为x 4 6 且 f x x2 2x 3 x 0 6 x2 2x 3 x 4 0 f x 的单调递增区间是 0 6 单调递减区间是 4 0 命题角度2二次函数的最值 例2 已知函数f x x2 bx 则 b 0 是 f f x 的最小值与f x 的最小值相等 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为f x x2 bx x b 2 2 b 2 4 其最小值为 f b 2 b2 4 因为 f f x f x 2 b f
9、x f x b 2 2 b 2 4 因为 f x min b2 4 若 f f x 与 f x 的最小值相等 当且仅当f x b 2 b2 4 时成立 解得b2 所以 b 0 是 f f x 的最小值与f x 的最小值相等 的充分不必要条件 故选A 命题角度3二次函数中恒成立问题 例 3 设函数f x ax2 2x 2 对于满足1 x 4 的一切 x值都有 f x 0 则实数a 的取值范围为 答案 1 2 解析 由f x 0 即 ax2 2x 2 0 x 1 4 得 a 2 x2 2 x 在 1 4 上恒成立 令 g x 2 x2 2 x 2 1 x 1 2 2 1 2 1 x 1 4 1 所
10、以 g x max g 2 1 2 所以要使f x 0 在 1 4 上恒成立 只要a 1 2即可 方法技巧 二次函数的最值及恒成立问题 1 解决二次函数最值问题的思路 抓住 三点一轴 数形结合 三点是指区间两个端点和中点 一轴 名师整理 助你成功 指的是对称轴 结合配方法 根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 2 解决二次函数恒成立问题有两个解题思路 一是分离参数 思路的依据是 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 二是不分离参数 对参数进行分类讨论 高频考点四二次函数的应用 例 4 已知函数f x x R 满足 f x f 2 x 若函数 y x
11、2 2x 3 与 y f x 图象的交点为 x1 y1 x2 y2 xm ym 则 i 1 m xi A 0 B m C 2mD 4m 解析 由 f x f 2 x 知函数 f x 的图象关于直线x 1 对称 又 y x2 2x 3 x 1 2 4 的图象也 关于直线x 1 对称 所以这两函数的交点也关于直线x 1 对称 不妨设 x1 x2 0 时 f x ax2 2x 图象的开口方向向上 且对称轴为 x 1 a 当 1 a 1 即 a 1时 f x ax 2 2x 图象的对称轴在 0 1 内 f x 在 0 1 a 上递减 在 1 a 1 上递增 f x min f 1 a 1 a 2 a
12、1 a 当 1 a 1 即 0 a 1 时 f x ax 2 2x 图象的对称轴在 0 1 的右侧 f x 在 0 1 上递减 f x min f 1 a 2 9 分 3 当 a 0 时 f x ax2 2x 的图象的开口方向向下 且对称轴x 1 a 0 在 y 轴的左侧 名师整理 助你成功 f x ax2 2x 在 0 1 上递减 f x min f 1 a 2 11 分 综上所述 f x min a 2 a 1 1 a a 1 方法与技巧 1 二次函数的三种形式 1 已知三个点的坐标时 宜用一般式 2 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 小 值有关的量时 常使用顶点式 3 已知二
13、次函数与x 轴有两个交点 且横坐标已知时 选用零点式求f x 更方便 2 研究二次函数的性质要注意 1 结合图象分析 2 含参数的二次函数 要进行分类讨论 3 利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时 必须结合幂值的特点 转化为同指数幂 再选择适当的函数 借助其单调性进 行比较 失误与防范 1 对于函数y ax2 bx c 要认为它是二次函数 就必须满足a 0 当题目条件中未说明a 0 时 就 要讨论 a 0 和 a 0 两种情况 2 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限 内 要看函数的奇偶性 幂函数的图象最多能同时出现在两个象
14、限内 如果幂函数图象与坐标轴相交 则 交点一定是原点 变式探究 已知函数f x x2 2ax 1 a 在 0 x 1 时有最大值2 求实数a 的值 解析 当对称轴x a 0 时 如图1 所示 当 x 0 时 y 有最大值ymax f 0 1 a 所以 1 a 2 即 a 1 且满足a1 时 如图3 所示 当 x 1 时 y 有最大值 ymax f 1 2a a 2 a 2 且满足a 1 a 2 综上可知 a 的值为 1 或 2 方法技巧 二次函数在区间上的最值问题 可分成三类 对称轴固定 区间固定 对称轴变动 区间固定 对称轴固定 区间变动 此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑 对于
15、后面两类 名师整理 助你成功 问题 通常应分对称轴在区间内 左 右三种情况讨论 举一反三 设函数f x x2 2x 2 x t t 1 t R 求函数f x 的最小值 解析 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x t t 1 t R 函数图象的对称轴为x 1 当 t 1 1 即 t1 时 函数图象如图 3 所示 函数f x 在区间 t t 1 上为增函数 所以最小值为f t t 2 2t 2 综上可知 f x min t2 1 t1 1 2019 年高考全国 卷 函数f x 2 sin cos xx xx 在 的图像大致为 A B C D 答案 D 名师整理 助你成功 解析 由 22 si
16、n sin cos cos xxxx fxf x xxxx 得 fx 是奇函数 其图象关于原点 对称 又 2 2 1 42 2 1 2 2 f 2 0 1 f 可知应为D 选项中的图象 故选 D 2 2019 年高考全国 卷 函数 3 2 22 xx x y 在6 6的图像大致为 A B C D 答案 B 解析 设 3 2 22 xx x yf x 则 33 2 2 2222 xxxx xx fxf x 所以 f x 是奇函 数 图象关于原点成中心对称 排除选项 C 又 3 44 24 4 0 22 f 排除选项 D 3 66 26 6 7 22 f 排除选项A 故选 B 名师整理 助你成功 3 2019 高考全国卷 函数 y 2x3 2x 2 x在 6 6 的图象大致为 答案 B 解析 因为f x 2x3 2 x 2 x 所以 f x 2x3 2 x 2x f x 且 x 6 6 所以函数y 2x3 2 x 2 x为奇 函数 排除C 当 x 0 时 f x 2x3 2 x 2 x 0 恒成立 排除D 因为 f 4 2 64 24 2 4 128 16 1 16 128 16 257
