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1、 初等初等数学常用公式及常用结论数学常用公式及常用结论 1 元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 容斥原理 card ABcardAcardBcard AB card ABCcardAcardBcardCcard AB card ABcard BCcard CAcard ABC 5 集合 12 n a aa的子集个数共有2n 个 真子集有2n 1 个 非空子集有2n 1 个 非空的真子集有2n 2 个 6 二次函数的解析式的
2、三种形式 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 2 0 f xa xhk a 3 零点式 12 0 f xa xxxxa 7 解连不等式 Nf xM 常有以下转化形式 Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 0 f xN Mf x 11 f xNMN 8 方程0 xf在 21 kk上有且只有一个实根 与0 21 kfkf不等价 前者是后 者的一个必要而不是充分条件 特别地 方程 0 0 2 acbxax有且只有一个实根在 21 kk内 等价于0 21 kfkf 或0 1 kf且 22 21 1 kk a b k 或0 2 kf且 2 21 22 k a bkk
3、9 闭区间上的二次函数的最值 二次函数 0 2 acbxaxxf在闭区间 qp 上的最值只能在 a b x 2 处及区 间的两端点处取得 具体如下 1 当 a 0 时 若 qp a b x 2 则 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 当a0 1 axfxf 则 xf的周期 T a 2 0 axfxf 或 0 1 xf xf axf 或 1 f xa f x 0 f x 或 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x 则 xf的周期 T 2a 3 0 1 1 xf axf xf
4、 则 xf的周期 T 3a 4 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 且 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 则 xf的周期 T 4a 5 2 3 4 f xf xaf xa f xaf xa 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa 则 xf的周期 T 5a 6 axfxfaxf 则 xf的周期 T 6a 30 分数指数幂 1 1 m n nm a a 0 am nN 且1n 2 1 m n m n a a 0 am nN 且1n 31 根式的性质 1 n n aa 2 当n为奇数时 nn aa 当n为偶数时 0 0 nn a a aa a a
5、32 有理指数幂的运算性质 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 a p表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性 质 对于无理数指数幂都适用 33 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 34 对数的换底公式 log log log m a m N N a 0a 且1a 0m 且1m 0N 推论 loglog m n a a n bb m 0a 且1a 0m n 且1m 1n 0N 35 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1
6、 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 36 设函数 0 log 2 acbxaxxf m 记acb4 2 若 xf的定义域为 R 则0 a 且0 若 xf的值域为R 则0 a 且0 对于0 a的情形 需要 单独检验 37 对数换底不等式及其推广 若0a 0b 0 x 1 x a 则函数log ax ybx 1 当ab 时 在 1 0 a 和 1 a 上log ax ybx 为增函数 2 当ab 时 在 1 0 a 和 1 a 上log ax ybx 为减函数 推论 设1nm 0p 0a 且1a 则 1
7、log log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N 平均增长率为p 则对于时间x的总产值y 有 1 xyNp 39 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 1 1 1 2 n nn sn a ssn 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaa 40 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 41 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前 n 项的和
8、公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 42 等比差数列 n a 11 0 nn aqad ab q 的通项公式为 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前 n 项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn nd q s dqd bn q qqq 43 分期付款 按揭贷款 每次还款 1 1 1 n n abb x b 元 贷款a元 n次还清 每期利率为b 44 常见三角不等式 1 若 0 2 x 则sintanxxx 2 若 0 2 x 则1sincos2xx 3 s
9、in cos 1xx 45 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 46 正弦 余弦的诱导公式 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 47 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 22 sin sin sinsin 平方正弦公式 22 cos cos cossin sincosab 22 sin ab 辅助角 所在象限由点 a b的象限决 定 tan b a 48 二倍角公式 s
10、in2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 49 三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin sin 33 3 cos34cos3cos4coscos cos 33 3 2 3tantan tan3tantan tan 1 3tan33 50 三角函数的周期公式 函数sin yx x R 及函数cos yx x R A 为常数 且 A 0 0 的周期 2 T 函数tan yx 2 xkkZ A 为常数 且 A 0 0 的周期T n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 51 正弦定理 2 sinsinsin ab
11、c R ABC 52 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 53 面积定理 1 111 222 abc Sahbhch abc hhh 分别表示 a b c 边上的高 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 54 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 55 简单的三角方程的通解 sin 1 arcsin 1 k xaxka kZ a s2arccos 1 co xaxka kZa tanarctan xaxka kZ
12、aR 特别地 有 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 56 最简单的三角不等式及其解集 sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 2arccos xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxka kkZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 57 实数与向量的积的运算律 设 为实数 那么 1 结合律 a a a a 2 第一分
13、配律 a a a a a a 3 第二分配律 a a b b a a b b 58 向量的数量积的运算律 1 a a b bb b a a 交换律 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 a a b b c c a a c bc b c c 59 平面向量基本定理 如果 e e1 1 e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且 只有一对实数 1 2 使得 a a 1e e1 2e e2 不共线的向量 e e1 e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 60 向量平行的坐标表示 设 a a 11 x y b b 22 x
14、y 且 b b 0 0 则 a a b bb b 0 0 1221 0 x yx y 53 a a与 b b 的数量积 或内积 a a b b a a b b cos 61 a b 的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积 62 平面向量的坐标运算 1 设 a a 11 x y b b 22 xy 则 a b a b 1212 xxyy 2 设 a a 11 x y b b 22 xy 则 a a b b 1212 xxyy 3 设 A 11 x y B 22 xy 则 2121 ABOBOAxx yy 4 设 a a x yR 则
15、a a xy 5 设 a a 11 x y b b 22 xy 则 a a b b 1212 x xy y 63 两向量的夹角公式公式 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy a a 11 x y b b 22 xy 64 平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB 22 2121 xxyy A 11 x y B 22 xy 65 向量的平行与垂直 设 a a 11 x y b b 22 xy 且 b b 0 0 则 A A b b b b a a 1221 0 x yx y a a b ab a 0 0 a a b b 0 1212 0 x xy y 66 线段的
16、定比分公式 设 111 P x y 222 P xy P x y是线段 12 PP的分点 是实数 且 12 PPPP 则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 67 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 11 A x y 22 B x y 33 C x y 则 ABC 的重心的坐 标是 123123 33 xxxyyy G 68 点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注 图形 F 上的任意一点 P x y 在平移后图形 F上的对应点为 P x y 且 PP的 坐标为 h k 69 按向量平移 的几个结论 1 点 P x y按向量 a a h k平移后得到点 P xh yk 2 函数 yf x 的图象C按向量 a a h k平移后得到图象 C 则 C的函数解析式 为 yf xhk 3 图象 C按向量 a a h k平移后得到图象C 若C的解析式 yf x 则 C的函数 解析式为 yf xhk 4 曲线C 0f x y 按向量 a a h k平移后得到图象 C 则 C的方程为 0f xh
