《2020届高三文理科数学一轮复习《平面向量的数量积与平面向量应用举例》专题汇编(学生版) .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高三文理科数学一轮复习《平面向量的数量积与平面向量应用举例》专题汇编(学生版) .pdf（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 12 平面向量的数量积与平面向量应用举例 专题 一 相关知识点 1 向量的夹角 1 定义 已知两个非零向量a 和 b 作 OA a OB b 则 AOB 就是向量 a 与 b 的夹角 2 范围 设 是向量 a与 b 的夹角 则0 180 3 共线与垂直 若 0 则 a 与 b 同向 若 180 则 a 与 b 反向 若 90 则 a 与 b 垂直 2 平面向量的数量积 1 射影的定义 设 是 a 与 b 的夹角 则 b cos 叫作向量b 在 a 方向上的射影 a cos 叫作向量a 在 b 方向上的射影 2 平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a b 的夹角为 则数量 a b cos
2、叫作 a 与 b 的数 量积 记作a b 投影 a cos 叫作向量a 在 b 方向上的投影 b cos 叫作向量b 在 a 方向上的投影 几何 意义 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积 注意 1 数量积 a b 也等于 b 的长度 b 与 a 在 b 方向上的投影 a cos 的乘积 这两个投影是不同的 2 a 在 b 方向上的投影也可以写成 a b b 投影是一个数量 可正可负也可为0 它的符号取决于 角的范围 3 向量数量积的性质 设 a b 是两个非零向量 e 是单位向量 是 a 与 e 的夹角 于是我们就有下列数量积的性质 1 e
3、 a a e a e cos a cos 2 a b a b 0 3 a b 同向 a b a b a b 反向 a b a b 特别地 a a a 2 a 2 或 a a a 4 若 为 a b 的夹角 则cos a b a b 5 a b a b 6 a b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 a2 2a b b2 4 平面向量数量积的运算律 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b 结合律 3 a b c a c b c 分配律 5 平面向量数量积的性质及其坐标表示 2 12 设非零向量a x1 y1 b x2 y2 a b 结论几何表示坐标表示 模 a a a a
4、x2 1 y21 数量积a b a b cos a b x1x2 y1y2 夹角 cos a b a b cos x1x2 y1y2 x21 y21 x 2 2 y 2 2 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 a b 与 a b 的关系 a b a b x1x2 y1y2 x2 1 y21 x22 y22 常用结论 1 两个向量a b 的夹角为锐角 a b 0 且 a b 不共线 2 两个向量a b 的夹角为钝角 a b 0 且 a b 不共线 题型一平面向量数量积的运算 类型一 利用数量积定义进行运算 1 已知向量a 和向量 b 的夹角为30 a 2 b 3 则向量a 和向量 b 的
5、数量积a b 2 在边长为1 的等边 ABC 中 设 BC a CA b AB c 则 a b b c c a 3 已知向量a b 是互相垂直的单位向量 且c a c b 1 则 3a b 5c b 4 已知向量a b 满足 a 1 a b 1 则 a 2a b 5 已知锐角三角形ABC 中 AB 4 AC 1 ABC 的面积为3 则 AB AC 类型二 平面图形中数量积的运算 1 已知矩形ABCD 中 AB 2 BC 1 则 AC CB 2 在 ABCD 中 AB 8 AD 6 N 为 DC 的中点 BM 2MC 则 AM NM 3 在 ABC 中 AB 4 BC 6 ABC 2 D 是 A
6、C 的中点 E 在 BC 上 且 AE BD 则 AE BC 等于 3 12 4 已知 ABC 是边长为1 的等边三角形 点D 在边 BC 上 且 BD 2DC 则 AB AD 的值为 5 已知点O 为 ABC 的外心 且 AC 4 AB 2 则 AO BC 6 已知 ABC 是边长为1 的等边三角形 则 AB 2BC 3BC 4CA 7 在边长为2 3的等边三角形ABC 中 点 O 为 ABC 外接圆的圆心 则OA OB OC 8 已知 D 是 ABC 所在平面内一点 且满足 BC CA BD AD 0 则 ABC 是 A 等腰三角形B 直角三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形 9 已知
7、ABC 是边长为1 的等边三角形 点D E 分别是边AB BC 的中点 连接DE 并延长到点F 使 得 DE 2EF 则 AF BC 的值为 题型二 平面向量数量积的应用 类型一求向量的模 1 已知 a b 122 a 4 a 和 b 的夹角为135 则 b 的值为 4 12 2 已知向量a b 的夹角为 60 a 2 b 1 则 a 2b 3 已知不共线的两个向量a b 满足 a b 2 且 a a 2b 则 b 4 已知平面向量a b 满足 b a b 3 且 a 1 b 2 则 a b 5 已知非零向量a b 的夹角为60 且 b 1 2a b 1 则 a 6 已知非零向量a b 满足
8、a b 0 a 3 且 a 与 a b 的夹角为 4 则 b 7 已知向量a b 的夹角为 60 a 2 a 2b 2 则 b 等于 8 设向量a b 满足 a b 10 a b 6 则 a b 9 已知平面向量a b 的夹角为 6 且 a 3 b 2 在 ABC 中 AB 2a 2b AC 2a 6b D 为 BC 中点 则 AD 等于 10 已知向量a b 满足 a 1 a b a 2b 0 则 b 的取值范围为 A 1 2 B 2 4 C 1 4 1 2 D 1 2 1 类型二求向量的夹角 5 12 1 已知向量a b 满足 a b 2 且 a b 2 则向量a 与 b 的夹角为 2 已
9、知平面向量a b 的夹角为 3 且 a 1 b 1 2 则 a 2b 与 b 的夹角是 3 已知两个单位向量a b 满足 a 2b 3 则 a b 的夹角为 4 已知向量a b 满足 a 2b 5a 4b 0 且 a b 1 则 a 与 b 的夹角 为 5 已知非零向量a b 满足 b 4 a 且 a 2a b 则 a 与 b 的夹角为 6 向量 a b 满足 a b 23 a 且 a b a 0 则 a b 的夹角的余弦值为 7 已知 e1 e2是互相垂直的单位向量 若3e1 e2与 e1 e2的夹角为60 则实数 的值是 8 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求 a 与
10、 b 的夹角 2 求 a b 3 若AB a BC b 求 ABC 的面积 类型三平面向量的垂直问题 1 已知向量a 与 b 的夹角是 3 且 a 1 b 4 若 3a b a 则实数 的值为 6 12 2 已知 a 1 b 2 且 a a b 则向量a 与向量 b 的夹角为 3 设 a 1 2 b 1 1 c a kb 若 b c 则实数k 的值等于 4 已知向量 AB 与AC 的夹角为 120 且 AB 3 AC 2 若AP AB AC 且AP BC 则实数 的值为 类型四考察向量的投影 1 已知 a 5 b 4 a 与 b 的夹角 120 则向量b 在向量 a 方向上的投影为 2 在等腰
11、 ABC 中 AB AC 2 ABC 30 D 为 BC 的中点 则 CD 在 BA 方向上的投影为 3 已知 AB 2 1 点 C 1 0 D 4 5 则向量 AB 在CD 方向上的投影为 4 已知向量a 1 3 b 3 m 且 b 在 a 上的投影为 3 则向量a 与 b 的夹角为 题型三平面向量数量积的坐标表示 类型一平面向量数量积的坐标运算 1 已知向量a 2 1 b 1 2 则 2a b a 2 设向量a 1 2 b m 1 如果向量a 2b 与 2a b 平行 那么a 与 b 的数量积等于 3 已知向量a 2 1 b 1 k a 2a b 0 则 k 4 在直角三角形ABC 中 A
12、CB 90 AC BC 2 点 P 是斜边 AB 上的中点 则CP CB CP CA 7 12 类型二利用坐标求向量的模 1 设平面向量a 3 5 b 2 1 则 a 2b 2 已知 a cos 6 sin 6 b cos 5 6 sin5 6 则 a b 3 设向量a m 1 b 1 2 且 a b 2 a 2 b 2 则 m 类型三利用坐标求向量的夹角 1 a b 为平面向量 已知a 4 3 2a b 3 18 则 a b 夹角的余弦值等于 2 已知向量a 2 7 b x 3 且 a与 b 的夹角为钝角 则实数x 的取值范围为 3 已知向量AB m 1 BC 2 m 4 若 AB AC 1
13、1 则 m 的取值范围为 4 若向量a k 3 b 1 4 c 2 1 已知 2a 3b 与 c 的夹角为钝角 则k 的取值范围是 5 已知平面向量a 1 2 b 4 2 c ma b m R 且 c 与 a的夹角等于c 与 b 的夹角 则m 类型四平面向量的垂直问题 1 设向量a x x 1 b 1 2 且 a b 则 x 2 已知向量a 1 1 b 6 4 若 a ta b 则实数t 的值为 8 12 3 向量 a 1 2 b 1 1 若 ka b 与 b 互相垂直 则实数k 的值为 4 设向量a 1 0 b 1 m 若 a ma b 则 m 5 已知 向量 a 3 1 b 0 1 c k
14、 3 若 a 2b 与 c 垂直 则k 类型五平面向量的投影问题 1 向量 a 3 4 在向量 b 1 1 方向上的投影为 2 已知向量a 2 m b 1 2 若向量a 在向量 b 方向上的投影为2 则实数 m 3 已知点A 0 1 B 2 3 C 1 2 D 1 5 则向量 AC 在BD 方向上的投影为 4 已知 a 1 b 2 1 若向量2a b 与 c 8 6 共线 则a在 b 方向上的投影为 5 已知向量a 1 2 b 2 2 1 设 c 4a b 求 b c a 2 若 a b 与 a 垂直 求 的值 3 求向量 a 在 b 方向上的投影 题型四平面向量数量积的应用问题 类型一平面向
15、量模的最值或范围问题 9 12 1 已知向量a b c 满足 a b a b 2 a c b 2c 0 则 b c 的最小值为 A 7 3 2 B 3 1 2 C 3 2 D 7 2 2 已知 a b 是平面内两个互相垂直的单位向量 若向量c 满足 a c b c 0 则 c 的最大值是 A 1 B 2 C 2 D 2 2 类型二数量积的最值或范围问题 1 如图 在直角梯形ABCD 中 DA AB 1 BC 2 点 P 在阴影区域 含边界 中运动 则 PA BD 的取值 范围是 A 1 2 1 B 1 1 2 C 1 1 D 1 0 2 在等腰直角 ABC 中 ABC 90 AB BC 2 M
16、 N 不与 A C 重合 为 AC 边上的两个动点 且满 足 MN 2 则 BM BN 的取值范围为 A 3 2 2 B 3 2 2 C 3 2 2 D 3 2 类型三平面向量与其他知识的综合问题 考法 1 平面向量与几何的综合问题 10 12 1 在四边形ABCD 中 点 E F 分别是边AD BC 的中点 设 AD BC m AC BD n 若 AB 2 EF 1 CD 3 则 A 2m n 1 B 2m 2n 1 C m 2n 1 D 2n 2m 1 考法 2 平面向量与三角函数的综合问题 1 在 ABC 中 设 A B C 的对边分别为a b c 向量 m cos A sin A n 2 sin A cos A 且 m n 2 1 求角 A 的大小 2 若 b 4 2 c 2a 求 ABC 的面积 2 已知向量a cos x sin x b 3 3 x 0 1 若 a b 求 x 的值 2 记 f x a b 求 f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值 11 12 3 在平面直角坐标系 xOy 中 已知向量m 2 2 2 2 n sin x cos x x 0 2 1 若
