《2020届高三数学一轮复习《函数的单调性》教案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高三数学一轮复习《函数的单调性》教案 .pdf（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 专题 函数的单调性 吵架时为什么会大声 原因是 当两个人相互愤怒的时候 他们的心和心相距很远 为了 填补这段距离 他们必须呼喊 这样彼此才能听到 他们越是愤怒 心和 心的距离越是遥远 于是 他们只有越发强力呼喊 他们彼此才能听到 反过来 也是恋爱时为什么喃喃低语的原因 批注 心情越愤怒 距离越遥远 这一个现象体现了函数的单调性 由此引入函数的单调性 知识梳理4 min 1 单调性的定义 对于给定区间上的函数 xfy 如果对属于这个区间的自变量的任意两个值 21 x x 当 21 xx时 都有 12 f xf x 那么就说 函数 xfy在这个区间上是增函数 如果对属于这个区间的自变量的任意两
2、个值 21 x x 当 21 xx时 都有 12 f xf x 那么就说 函数 xfy在这个区间上是减函数 2 讨论函数单调性必须在其定义域上进行 因此 要研究函数的单调性 必须先求函数的定义域 问题一 用定义证明函数 yf x在区间I上具有单调性的步骤是什么 答 1 取值 对任意 12 xxI且 12 xx 2 作差 变形 12 f xf x 并判断差的正负 3 根据判定的结果作出相应的结论 问题二 函数 21 2 x y x 的单调情况是怎样的 答 215 2 22 x y xx 在 2 2 上单调递减 问题三 函数 a yx x 的单调情况是怎样的 答 0 0 0 0 0 a a f x
3、xa x aaaaa 问题二和问题三中 通过提问两个相对具体的反比例函数和nike类函数的单调性来检查学生对基础知 识的掌握情况 为后面的例题讲解的做准备 2 典例精讲33 min 例 1 已知偶函数 xf和奇函数 xg的定义域都是 4 4 它们在 0 4 上的图像分别是图1 和 图 2 则关于x的不等式0 xgxf的解集是 解 由函数的奇偶性及定义域 作图如下 易得 要 0f x g x 则 2 0 2 4 xU 小结 奇函数的在对称区间的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 巩固练习 若函数 1 0 1 aaaakxf xx 在R上既是奇函数 又是减函数 则 log kxxg a 的
4、图像是 解 由 f x在R上是奇函数 故 0 0 2 xx fkfxaa f x在R上单调递减 故01a 则 log 1 01 a g xxa 故选 A 例2 下列命题中正确的命题是 A 若存在 12 x xa b 当 12 xx时 有 12 f xfx 则说函数 xfy在区间ba 上是增函数 x y 图 1 f x O 4 2 4 x y 图 2 g x O 4 2 4 x y 图 1 f x O 4 2 4 x y 图 2 g x O 4 2 4 3 B 若存在 baxi 2 1 Nninni 当 123n xxxxL时 有 123 n f xfxfxfxL 则说函数 xfy在区间ba 上
5、是增函数 C 函数 xfy的定义域为 0 若对任意的0 x 都有 0 f xf 则函数 xfy在 0 上一定是减函数 D 若对任意 12 x xa b 当 21 xx时 有0 21 21 xx xfxf 则说函数 xfy在区间ba 上是 增函数 解 A B中的变量应该是任取两个变量 而不是存在 C 中只是一个变量是任意的 不符合单调性的定义 D 是单调增函数的等价形式 1212 12 121212 00 0 0 0 xxxx f xf x f xf xf xf xxx 或 故选 D 单调增函数的等价形式如下 同理 可得单调减函数的等价形式 巩固练习 1 有下列几个命题 函数 x xy 1 是增
6、函数 函数 1 1 x y在其定义域 1 1 上是减函数 函数 2 45xxy的单调区间是 2 已知 xf在R上增函数 若0ba 则有 bfafbfaf 其中正确命题的序号是 解 错 错 虽然 1 1 都是 1 1 y x 的单调递减区间 但求并集后就不再符合减函数定义 4 错 要研究函数 2 54yxx的单调区间 首先被开方数 2 540 xx 解得15x 而 2 不是上述区间的子区间 对 f x在R上增函数 且ab 所以ba f afb f bfa 所以 f af bfafb 故选 2 已知函数 xf为定义在R上的函数 则 对于任意Rx 恒有 1 xfxf 是 xf 在R上是增函数 的 条
7、件 解 必要非充分 必要性 f x在R上是增函数 又对任意xR 1xx 故恒有 1 f xf x 是必要条件 充分性 令 1 0 2 1 0 0 2 xx f x x U 对任意xR 恒有 1 f xf x 但是 f x在 R上不单调 故是不充分的 例 3 设 xf是定义在R上的函数 对m Rn恒有 nfmfnmf 且当0 x时 1 0 xf 1 求证 1 0 f 2 证明 Rx时恒有0 xf 3 求证 xf在R上是减函数 4 若 2 1f xfx 求x的范围 解 1 取 1 0 2 mn 则 11 0 0 22 fff 因为 1 0 2 f所以 0 1f 2 设0 x则 0 x 由条件可知
8、0fx 又因为1 0 0ff xxf xfx 所以 0f x xR时 恒有 0f x 3 设 12 xx 则 121211 f xf xfxf xxx 1211 f xf xxfx 121 1 f xf xx 因为 12 xx 所以 21 0 xx 所以 21 1f xx 即 21 1 0fxx 又因为1 0f x 所以 121 1 0f xf xx 5 所以 12 0f xf x 即该函数在R 上是减函数 4 因为 2 1f xfx 所以 2 22 0 f xfxfxf 所以2 20 x 所以1xx的范围为 解抽象函数不等式 往往利用函数的单调性和奇偶性消去f 同时不要忘记 定义域优先 例4
9、 已知函数 0 2 Rax x a xxf 若xf在区间 2是增函数 求实数a的取 值范围 解 设 21 2xx 22 1212 12 aa fxfxxx xx 12 1212 12 xx x xxxa x x 由 212xx得121216x xxx 12120 0 xxx x 要使fx在区间2 是增函数只需 12 0fxfx 即 1212 0 x xxxa恒成立 则16a 巩固练习 已知函数 22 xx f xa 常数 aR 若4a 求证函数 f x在 1 上是增函数 解 设 12 1 xx 且 12 xx 则 1122 12 22 22 xxxx f xf xaa 21 12 12 22
10、22 2 xx xx xx a 12 12 12 22 2 2 xx xx xx a 由 12 xx 可得 12 22 xx 即 12 220 xx 由 12 1 xx 12 xx 可得 12 2xx 故 12 240 xx 又4a 故 12 2 xx a 即 12 20 xx a 所以 12 0f xf x 即 12 f xf x 故函数 f x在 1 上是增函数 备选题 1 选 已 知 xfy是 定义 在R上 的 单 调函 数 实 数21xx 12 1 1 xx 1 12 xx 若 21 ffxfxf 则 A 0B 0C 10D 1 解 方法一 利用定比分点 假设P在数轴上的坐标为x 1
11、P点在数轴上的坐标为 1 x 2 P点在数轴上的坐标为 2 x 12 1 xx P 6 分点的位置 内分点外分点分点与一端点重合 P点在 12 PP上P在 12 PP延长线上P在 12 PP延长线上P与 1 P重合P与 2 P重合 图示 1 2 PP PP 0110 0 不存在 若0 均在 12 xx中间或两端 显然不符合题意 故选A 方法二 特殊函数法 令 f xxc 121212 1 1 f xf xffxxxx 解得0 选 A 方法三 排除法 取特殊值 选令 1 1 0 1 2 逐一排除 即可确定选A 定比分点在外省考察的比较多上海的高考很少考察 因此 建议给五星的学生做 慎用 2 选
12、如果函数 12 lg xxf在定义域的某个子区间 1 1 kk上不存在反函数 则 k的取值范围是 2 2 1 A 2 3 1 B 2 1 C 2 2 3 2 1 1 D 解 D 利用单调函数一定有反函数的性质 只要函数 lg 21 f xx在 1 1 kk上单调即可 3 选 已知函数 a yx x 有如下性质 如果常数0a 那么该函数在0 a 上是减函数 在 a 上是增函数 1 如果函数 2 b yx x 0 x的值域为6 求实数b的值 2 研究函数 2 2 c yx x 常数0c 在定义域内的单调性 并说明理由 3 对函数 a yx x 和 2 2 a yx x 常数0a 作出推广 使它们都
13、是你所推广的函数的特例 研究 7 推广后的函数的单调性 只须写出结论 不必证明 并求函数 2 2 11 nn F xxx xx n是 正整数 在区间 1 2 2 上的最大值和最小值 可利用你的研究结论 本题为2006 年上海高考题的第22 题 难度对四星和五星的学生均适合 解 1 2 log 9b 2 函数在 4 c 和 4 0c 上单调递增 在 4 0 c 和 4 c 上单调递减 3 可以把函数推广为 n n a yx x 常数0a 其中n是正整数 当n是奇数时 函数在 2 0 n a 和 2 0 n a 上单调递减 在 2 n a 和 2 n a 上单调递增 当n为偶数时 函数在 2 0 n a 和 2 n a 上单调递减 在 2 n a 和 2 0 n a 上单调递增 当 1 2 x或2x时 函数F x取得最大值 99 24 nn 当1x时 F x取得最小值 1 2 n 回顾总结 3 min 1 要研究函数的单调性 必须先求函数的定义域 2 函数单调性的等价形式有哪些 3 奇函数在对称区间上有 相同 的单调性 偶函数在对称区间上 单调性 相反 4 复合函数的单调性利用 同增异减 口诀进行判断 5 单调性问题有时可以转化为 恒成立问题 我爱 放电影
