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1、名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 全国III 卷 文科数学 一 选择题 1 已知集合 1 2 1 0 1 2 xxBA 则BA A 1 0 1 B B 0 1 C 1 1 D 2 1 0 答案 A 解答 11 1 2 xxxxB 所以 1 0 1 BA 2 若iiz2 1 则z A i1 B i1 C i1 D i1 答案 D 解答 iiz2 1 iii ii ii i i z1 1 1 1 1 2 1 2 3 两位男同学和两位女同学随机排成一列 则两位女同学相邻的概率是 A 6 1 B 4 1 C 3 1 D 2 1 答案 D 解答 名师整理
2、助你成功 名师整理 助你成功 列举法可得到4 位同学排成一列有24 种排法 两位女同学相邻的排法有12 种 得出两位女 同学相邻的概率是 2 1 4 西游记 三国演义 水浒传 和 红楼梦 是中国古典文学瑰宝 并称为中国古典小 说四大名著 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况 随机调查了100 位学生 其中阅 读过 西游记 或 红楼梦 的学生共有90 位 阅读过 红楼梦 的学生共有80 位 阅读 过 西游记 且阅读过 红楼梦 的学生共有60 位 则该校阅读过 西游记 的学生人数 与该校学生总数比值的估计值为 A 5 0 B 6 0 C 7 0 D 8 0 答案 C 解答 7 0 100 608
3、090 5 函数 2sinsin2f xxx在 0 2 的零点个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 B 解答 令 2sinsin 20f xxx 则有2sinsin 22sin2sincosxxxxx2sin 1cos 0 xx 即sin0 x或cos1x 当sin0 x时 xkkZ 当cos1x时 2 xkkZ 又 0 2 x 所以0 x或或2 即函数 2sinsin2f xxx在 0 2 有3个零点 6 已知各项均为正数的等比数列 n a的前4项和为15 且 135 43aaa 则 3 a A 16 B 8 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 C 4 D 2 答案 C 解析 由
4、题意 0 1 a且0q 1 2 1 4 1 43aqaqa 得043 24 qq 即 2q 15 21 21 4 1 4 a S 得1 1 a 故4 2 13 qaa 7 已知曲线xxaey x ln在点 1 ae 处的切线方程为 bxy2 则 A ea 1b B ea 1b C 1 ea 1b D 1 ea 1b 答案 D 解析 令xxaexfy x ln 则1ln xaexf x 21 1 aef 得 1 1 e e a 又 baef2 1 可得1b 故选 D 8 如图 点N为正方形ABCD的中心 ECD为正三角形 平面ECD平面ABCD M 是线段ED的中点 则 A ENBM 且直线EN
5、BM 是相交直线 B ENBM 且直线ENBM 是相交直线 C ENBM 且直线ENBM 是异面直线 D ENBM 且直线ENBM 是异面直线 答案 B 解析 因为直线ENBM 都是平面BED内的直线 且不平行 即直线ENBM 是相交直线 设 正方形ABCD的边长为a2 则由题意可得 aDBaDNaDMaDE22 2 2 根据余弦定理可得 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 BDEaaBDEDMDBDMDBBMcos249cos2 22222 BDEaaBDEDNDEDNDEENcos246cos2 22222 所以ENBM 故选 B 9 执行右边的程序框图 如果输出为01 0 则输出s的
6、值等于 A 4 2 1 2 B 5 2 1 2 C 6 2 1 2 D 7 2 1 2 答案 C 解析 第一次循环 2 1 1 xs 第二次循环 2 2 1 2 1 1xs 第三次循环 32 2 1 2 1 2 1 1xs 第四次循环 432 2 1 2 1 2 1 2 1 1xs 第七次循环 762 2 1 2 1 2 1 2 1 1xs 此时循环结束 可得 662 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1s 故选 C 10 已 知 F是双 曲 线C 22 1 45 xy 的 一 个 焦 点 为 点P在C上O为 坐 标 原 点 若 POOF 则 OPF的面积为 A 3 2 B 5 2 C 7
7、2 D 9 2 答案 B 解析 依据题意 22222 4 5 9abcab 设 F为右焦点 3 0 F 设 p 在第一象限 p x y 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 根据 POOF 22 22 9 1 45 xy xy 得到 5 3 y 所以 15 22 S OPFOFy 11 记不等式组 6 20 xy xy 表示的平面区域为D 命题 p x yD 29xy 命 题 q 212x yDxy 下面给出了个命题 pq pq pq pq A B C D 答案 A 解析 依据题意根据 6 20 xy xy 可将其中一个点 6 0 带入 2xy 满足 29xy 所以命题 p 为真命题 将平面
8、区域中的点 7 0 带入 2xy 中则 212xy 所以命题 q 为假命题 故 正确选A 12 设 f x是定义域为 R的偶函数 且在 0 单调递减 则 A 23 32 3 1 log 2 2 4 fff B 23 32 3 1 log 2 2 4 fff C 23 32 3 1 2 2 log 4 fff D 23 32 3 1 2 2 log 4 fff 答案 C 解析 333 1 log log 4 log 4 4 fff 且函数2 x y为R上的单调递增函数 23 0 32 33 02221log 3log 4 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 函数 f x在 0 单调递减 故
9、23 32 3 1 2 2 log 4 fff 二 填空题 13 已知向量 2 2a r 8 6b r 则cos a b r r 答案 2 10 解析 28264a b r r 22 222 2a r 2 2 8610b r 42 cos 102 210 a b a b ab rr r r rr 14 记 n S为等差数列 n a的前n项和 若 3 5a 7 13a 则 10 S 答案 100 解析 设等差数列 n a的公差为d 由题意可得 31 71 25 613 aad aad 解得 1 1a 2d 故 101 10 101 101090100 2 Sad 15 设 1 F 2 F为椭圆1
10、 2036 22 yx C 的两个焦点 M为C上一点且在第一象限 若 21F MF 为等腰三角形 则M的坐标为 答案 15 3 解析 已知椭圆1 2036 22 yx C 可知 6a 4c 由M为C上一点且在第一象限 故等腰三 角形 21F MF中8 211 FFMF 42 12 MFaMF 4 15 8 28 sin 22 21 MFF 15sin212MFFMFyM 代 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 入1 2036 22 yx C 可得3 M x 故M的坐标为 15 3 16 学 生 到 工 厂 劳 动 实 践 利 用3D 打 印 技 术 制 作 模 型 如 图 该 模 型 为
11、长 方 体 1111 DCBAABCD挖去四棱锥EFGHO后所得的几何体 其中O为长方体的中心 HGFE 分别为所在棱的中点 6BCABcm 41AAcm 3D 打印机所用原料密 度为 3 9 0cmg 不考虑打印损耗 则作该模型所需原料的质量为g 答案 8 118 解答 1232 2 1 464 EFGH S 四边形 2 cm 132312 3 1 466V 3 cm 8 1181329 0Vmg 三 解答题 17 为了解甲 乙两种离子在小鼠体内的残留程度 进行如下实验 将200 只小鼠随机分成 BA 两组 每组100 只 其中A组小鼠给服甲离子溶液 B组小鼠给服乙离子溶液 每只 小鼠给服的
12、溶液体积相同 摩尔溶度相同 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小 鼠体内离子的百分比 根据实验数据分别得到如下直方图 记C为事件 乙离子残留在体内的百分比不低于5 5 根据直方图得到 CP的估计值为 0 70 1 求乙离子残留百分比直方图中ba 的值 2 分别估计甲 乙离子残留百分比的平均值 同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表 答案 见解析 解答 1 依题意得 12 015 015 005 0 7 015 02 0 ab a 解得 1 0 35 0 b a 2 05 4705 061 052 043 032 0215 0 6815 072 0635 0515 041 0305 0
13、得到甲离子残留百分比的平均值为4 05 乙离子残留百分比的平均值为6 18 ABC的内角ABC 的对边分别为 a b c 已知 sinsin 2 AC abA 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 1 求B 2 若ABC为锐角三角形 且1c 求ABC面积的取值范围 答案 1 60B 2 33 82 解答 1 由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为sin0A 所以sinsin 2 AC B 由180ABC 可得sincos 22 ACB 故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B 故 1 sin 22 B 因此60B 2 由题设及 1 知ABC的面
14、积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sinsin 120 31 sinsin2tan2 cAC a CCC 由于ABC为锐角三角形 故090A 090C 由 1 知120AC 所以3090C 故 1 2 2 a 从而 33 82 ABC S 因此 ABC面积的取值范围是 33 82 19 图 1 是由矩形ADEB ABCRt和菱形BFGC组成的一个平面图形 其中1AB 60 2FBCBFBE 将其沿AB折起使得BE与BF重合 连结DG 如图 2 1 证明 图2 中的DGCA 四点共面 且平面ABC平面BCGE 2 求图 2 中的二面角ACGB的大小 答案 见解析 解答 名师整理 助你成功
15、名师整理 助你成功 证明 1 由已知得 ADBE CGBE 所以 ADCG 故AD CG确定一个平面 从而A C G D四点共面 由已知得 ABBE ABBC 故AB 平面BCGE 又因为AB平面ABC 所以平面ABC平面BCGE 2 如图 分别过点CA 作BABC 的平行线相较于点O 取AO的中点为P 再过点 作PQ垂直于AC 交AC于点Q 连结DQPQDP 60FBC 且四边形BFGC为菱形 AOPD DPAB DP平面ABCO 即ACDP 又 ACPQ AC 平面 DPQ 即有 ACDQ 2 1 BEAB 可得 5 5 PQ 5 54 DP 4 5 54 5DQACS ACGD四边形 2
16、0 已知函数 32 22f xxax 1 讨论 f x的单调性 2 当03a时 记 f x在区间 0 1 的最大值为M 最小值为m 求Mm的取值 范围 答案 见解析 解析 1 2 626 3 a fxxaxx x 当0a时 2 60fxx 此时 f x 在 单调递增 当0a时 令 0fx 解得 3 a x或 0 x 令 0fx 解得0 3 a x 此时 f x在 0 3 a 单调递增 在 0 3 a 单调递减 名师整理 助你成功 名师整理 助你成功 当 0a 时 令 0fx 解得 0 x 或 3 a x 令 0fx 解得0 3 a x 此时 f x在 0 3 a 单调递增 在 0 3 a 单调递减 综上可得 当0a时 f x在 单调递增 当 0a 时 f x在 0 3 a 单调递增 在 0 3 a 单调递减 当0a时 f x在 0 3 a 单调递增 在 0 3 a 单调递减 2 由 1 中结论可知 当03a时 f x在 0 3 a 单调递减 在 1 3 a 单调递增 此时 323 222 327927 aaaa mfa 0 2 1 4ffa 当02a时 1 4Mfa 33 4 2 2
