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1、12 3角平分线的性质 福田河中学八年级数学组夏玉焰 什么是角的平分线 怎样画一个角的平分线 操作与思考1 C 信不信由你 如图 AB AD BC DC 沿着AC画一条射线AE AE就是 BAC的角平分线 你知道为什么吗 分别以 为圆心 大于 的长为半径作弧 两弧在 AOB的内部交于 如何用尺规作角的平分线 A 作法 以 为圆心 适当长为半径作弧 交 于 交 于 作射线OC 则射线 即为所求 探究 探索1 将角AOB对折 再折出一个直角三角形 使第一条折痕为斜边 然后展开 观察两次折叠形成的三条折痕 你能得到什么结论 O A B 角平分线上的点到角的两边的距离相等 在 AOB的平分线OC上任取
2、一点P 然后 作点P到 AOB两边的垂线段PD PE 画一画 量一量 从中你有什么新发现 你能说明其中的道理吗 画一画 想一想 议一议 命题 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设 一个点在一个角的平分线上 结论 它到角的两边的距离相等 已知 OC是 AOB的平分线 点P在OC上 PD OA PE OB 垂足分别是D E 求证 PD PE 角平分线的性质 定理 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为 1 2PD OA PE OB PD PE 1 如图 OC是 AOB的平分线 PD PE PD OA PE OB 2 如图所示 在 ABC中 C 90 AD是 BAC的平分线交B
3、C于D BC 15 且CD DB 1 2 则点D到AB的距离为 3 在Rt ABC中 BD平分 ABC DE AB于E 则 图中相等的线段有哪些 相等的角呢 哪条线段与DE相等 为什么 若AB 10 BC 8 AC 6 求BE AE的长和 AED的周长 练一练 3在 ABC中 AC BC AD为 BAC的平分线 DE AB AB 7 AC 3 求BE的长 E D C B A 4 ABC中 C 900 AD平分 CAB 且BC 8 BD 5 求点D到AB的距离是多少 点D到AB的距离是3 如图 由于点D 于点E PD PE 可以得到什么结论 议一议 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线
4、上 已知 如图 垂足分别是A B PD PE 求证 点P在的角平分线上 解 设要截取的长度为 m 则 要在 区建一个集贸市场 使它到公路和铁路距离相等 且离公路和铁路的交叉处500米 该集贸市场应建在何处 比例尺1 20000 解得 0 025m 2 5cm 则点 即为所求的点 想一想 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 已知 如图 垂足分别是D E PD PE 求证 点P在的角平分线上 证明 作射线OP 点P在角的平分线上 在Rt PDO和Rt PEO中 HL 全等三角形的对应角相等 OP OP 公共边 PD PE 已知 角平分线的判定 角平分线的判定的应用书写格式 OP是的平分线 PD
5、 PE 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 角平分线的性质 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上 PD PE 用途 证线段相等 用途 判定一条射线是角平分线 例1 如图 在 ABC中 D是BC的中点 DE AB DF AC 垂足分别是E F 且BE CF 求证 AD是 ABC的角平分线 4 已知 如图 C C 90 AC AC 求证 1 ABC ABC 2 BC BC 要求不用三角形全等的判定 B 5已知 如图 BE AC于E CF AB于F BE CF相交于D BD CD 求证 AD平分 BAC 课堂练习 例
6、已知 如图 ABC的角平分线BM CN相交于点P 求证 点P到三边AB BC CA的距离相等 证明 过点P作PD PE PF分别垂直于AB BC CA 垂足为D E F BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 已知 PD PE 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 同理PE PF PD PE PF 即点P到边AB BC CA的距离相等 D E F 练习 如图 三条公路相交 现在要修建一加油站 使加油站到三条公路的距离相等 问加油站该选在什么位置上 拓展与延伸 1 已知 BD AM于点D CE AN于点E BD CE交点F CF BF 求证 点F在 A的平分线上 2 已知PA PB 1 2 1800 求证 OP平分 AOB A O B P 1 2 E F 3已知 如图 ABC的 B的外角的平分线BD和 C的外角平分线CE相交于点P 求证 点P在 BAC的平分线上 D E 课堂小结 1 角平分线的性质定理 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2 角平分线的判定定理 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角平分线上 3 角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等 线段相等的新途径
