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1、课时跟踪训练 四十八 基础巩固 一 选择题 1 2017 东北三省四市二模 直线 x 3y 3 0 与圆 x 1 2 y 3 2 10 相交所得弦长为 A 30 B 53 2 C 42 D 33 解析 由题知 题中圆的圆心坐标为 1 3 半径 r 10 则圆心到直线 的距离d 1 9 3 12 2 10 2 所以弦长为2r2 d2 210 10 4 30 答案 A 2 2017 沈阳市高三质量监测 已知直线 l y k x 3 和圆 C x2 y 1 2 1 若直线 l 与圆 C 相切 则 k A 0 B 3 C 3 3 或 0 D 3或 0 解析 因为直线 l 与圆 C 相切 所以圆心 C
2、到直线 l 的距离 d 1 3k 1 k2 1 1 3k 1 k2 解得 k 0 或 k 3 故选 D 答案 D 3 2017 河南省洛阳市高三第一次统考 直线 l y kx 1 与圆 O x2 y2 1 相交于 A B 两点 则 k 1 是 AB 2 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 依题意 注意到 AB 2 OA 2 OB 2等价于圆心O 到直线 l 的距离等于 2 2 即有 1 k2 1 2 2 k 1 因此 k 1 是 AB 2 的充分 不必要条件 选 A 答案 A 4 2017 陕西省高三质检 已知直线 y ax 与圆 C x2 y
3、 2 2ax 2y 2 0 相交于 A B 两点 且 ABC 为等边三角形 则圆C 的面积为 A 49 B 36 C 7 D 6 解析 圆 C 的标准方程为 x a 2 y 1 2 a2 1 因此圆心 C a 1 到直 线 y ax 的距离为 a2 1 a2 1 3 2 a2 1 解得a2 7 所以圆C 的面积为 a 2 1 2 6 选D 答案 D 5 2018 河北省定兴三中月考 圆 O x2 y 2 50 与圆 x2 y 2 12x 6y 40 0 的公共弦长为 A 5 B 6 C 25 D 26 解析 由题意得 两圆公共弦所在直线的方程为2x y 15 0 又圆心 O 0 0 到公共弦所
4、在直线2x y 15 0 的距离为 15 22 12 35 则两圆的公共弦长为250 5 2 2 5 故选 C 答案 C 6 2017 宁夏银川九中五模 直线 l kx y 4 0 k R 是圆 C x2 y2 4x 4y 6 0 的一条对称轴 过点A 0 k 作斜率为 1 的直线 m 则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 A 2 2 B 2 C 6 D 26 解析 圆 C x 2 y2 4x 4y 6 0 即 x 2 2 y 2 2 2 表示以 C 2 2 为圆心 2为半径的圆 由题意可得 直线l kx y 4 0 经过圆心 C 2 2 所以 2k 2 4 0 解得 k 3 所以点 A 0
5、3 故直线 m 的方程为 y x 3 即 x y 3 0 则圆心 C 到直线 m 的距离 d 2 2 3 2 1 2 所以 直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 22 1 2 6 故选 C 答案 C 二 填空题 7 2017 四川新津中学月考 若点 P 1 1 为圆 C x 3 2 y2 9 的弦 MN 的中点 则弦 MN 所在直线的方程为 解析 圆心为 C 3 0 直线 PC 的斜率 kPC 1 2 则弦 MN 所在直线的斜 率 k 2 则弦 MN 所在直线的方程为y 1 2 x 1 即 2x y 1 0 答案 2x y 1 0 8 已知圆 C1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0 与圆
6、C2 x2 y2 2x 2my m2 3 0 若圆 C1与圆 C2相外切 则实数 m 解析 圆 C1和圆 C2的标准方程分别为 x m 2 y 2 2 9 x 1 2 y m 2 4 圆心分别为 C1 m 2 C2 1 m 半径分别为 3 和 2 当两圆外 切时 m 2 m 2 5 解得 m 2 或 m 5 答案 2 或 5 9 2015 江苏卷 在平面直角坐标系xOy 中 以点 1 0 为圆心且与直线mx y 2m 1 0 m R 相 切 的 所 有 圆 中 半 径 最大 的 圆 的 标 准 方 程 为 解析 直线 mx y 2m 1 0 m R 恒过定点 2 1 当点 2 1 为 圆和直线
7、的切点时 圆的半径最大 此时 r 2 2 2 圆的标准方程为 x 1 2 y2 2 答案 x 1 2 y2 2 三 解答题 10 直线 l 的方程为 mx y m 2 0 m R 圆 O 的方程为 x2 y2 9 1 证明 不论 m 取何值 l 与圆都相交 2 求 l 被圆截得的线段长的最小值 解 1 证明 证法一 圆心O 到 l 的距离为 d m 2 1 m2 圆 O 的半径长 为 3 若 l 与 圆 相 交 则 有 m 2 1 m2 3 m 2 20 8m 1 4 2 9 2 0 显然 8 m 1 4 2 9 2 0 对任意的 m 总成立 m 2 1 m2 0 则 m 1 所以 直线 l
8、的方程为 x y 1 0 解法二 由题意 设直线l 的方程为 x my 1 m 0 即x my 1 0 所以圆心 O 到直线 l 的距离 d 1 1 m2 又BM 2MA 且 OM 1 圆 x2 y2 5 的半径 r 5 所以r2 d2 OM 2 d2 2 r2 d 2 OM 2 d2 即 3 OM 2 d2 r2 d2 所以 9 1 1 1 m2 5 1 1 m2 解得 m 2 1 又点 A 在第一象限 所以m 1 故直线 l 的方程为 x y 1 0 答案 x y 1 0 15 2015 全国卷 已知过点 A 0 1 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C x 2 2 y 3 2 1 交于 M
9、 N 两点 1 求 k 的取值范围 2 若OM ON 12 其中 O 为坐标原点 求 MN 解 1 由题设 可知直线l 的方程为 y kx 1 因为直线 l 与圆 C 交于两点 所以 2k 3 1 1 k2 1 解得 4 7 3 k 4 7 3 所以 k 的取值范围为 4 7 3 4 7 3 2 设 M x1 y1 N x2 y2 将 y kx 1 代入圆 C 的方程 x 2 2 y 3 2 1 整理得 1 k2 x 2 4 1 k x 7 0 所以 x1 x2 k 1 k2 x 1x2 7 1 k2 OM ON x1x2 y1y2 1 k2 x 1x2 k x1 x 2 1 4k k 1 k
10、2 8 由题设可得 4k k 1 k2 8 12 解得 k 1 所以 l 的方程为 y x 1 故圆 C 的圆心 2 3 在 l 上 所以 MN 2 16 2018 河北衡水中学五调 已知圆 C x 3 2 y 4 2 4 直线 l 过定 点 A 1 0 1 若 l 与圆 C 相切 求 l 的方程 2 若 l 与圆 C 相交于 P Q 两点 求 CPQ 的面积的最大值 并求此时直 线 l 的方程 解 1 若直线 l 的斜率不存在 则直线 l 的方程为 x 1 符合题意 若直线 l 的斜率存在 设直线l 的方程为 y k x 1 即 kx y k 0 直线l 与圆 C 相切 圆心 3 4 到直线
11、 l 的距离等于半径 即 3k 4 k k2 1 2 解得 k 3 4 故直线 l 的方程为 y 3 4 x 1 即 3x 4y 3 0 综上 所求直线 l 的方程为 x 1 或 3x 4y 3 0 2 直线与圆相交于两点 直线的斜率一定存在且不为0 设直线方程为 kx y k 0 则圆心到直线l 的距离为 d 2k 4 1 k2 S CPQ 1 2d 2 4 d 2 d 4 d2 4d 2 d 4 d2 2 4 当d 2时 S CPQ取得最大值 2 d 2k 4 1 k2 2 解得 k 1 或 k 7 故所求直线 l 的方程为 x y 1 0 或 7x y 7 0 延伸拓展 2017 江苏南京三模 在平面直角坐标系xOy 中 圆 O x2 y2 1 圆 M x a 3 2 y 2a 2 1 a 为实数 若圆 O 和圆 M 上分别存在点 P Q 使得 OQP 30 则a 的取值范围为 解析 由题意知 圆心 M a 3 2a 因为圆 O 和圆 M 上分别存在点 P Q 使得 OQP 30 易知当Q 为线段 OM 与圆 M 的交点 PQ 与圆 O 相切于 点 P 时 OQP 最大 且 OP 1 所以 OM OQ MQ 3 所以 a 3 2 4a2 9 解得 6 5 a 0 答案 6 5 0
