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1、最新资料推荐第1讲 绝对值和绝对值不等式的解法5.1 绝对值的概念定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值例如，到原点的距离等于，所以这一定义说明了绝对值的几何定义，从这一定义中很容易得到绝对值的求法：5.1.1 绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A2 B2 C-2 D4 解：A【例2】已知|x|=5，|y|=2，且xy0，则x-y的值等于（）A7或-7 B7或3 C3或-3 D-7或-3 解：C【例3】已知：abc0，且M=，当a，b，c取不同值时，M有 _种不同可能当a、b、c都是正数时，M= _；当a、b、c中有一个负数时，则M= _；当
2、a、b、c中有2个负数时，则M= _；当a、b、c都是负数时，M=_ 解：3；1，练习1：已知是非零整数，且，求的值解：由于，且是非零整数，则一正二负或一负二正，（1）当一正二负时，不妨设，原式；（2）当一负二正时，不妨设，原式原式【例4】若，则解：，所以结论：绝对值具有非负性，即若，则必有，练习1：， _；_解：练习2：若，则 解：由题意，所以5.1.2 零点分段法去绝对值对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号【例5】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数
3、式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下种情况：当时，原式当时，原式当时，原式综上讨论，原式通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出和的零点值解：令，解得，所以是的零点；令，解得，所以是的零点（2）化简代数式解：当时，原式；当时，原式；当时，原式综上讨论，原式（3）化简代数式解：当时，；当时，；当时，综上讨论，原式5.1.3 绝对值函数常见的绝对值函数是：，其图象是绝对值函数学习时，要抓关键点，这里的关键点是思考如何画的图象？我们知道，表示轴上的点到原点的距离；的几何意义是表示轴上的点到点的距离【例6】 画出的图
4、像解：（1）关键点是，此点又称为界点；（2）接着是要去绝对值当时，；当时，（3）图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到练习1.（1）画出的图像； （2）画出的图像 【例7】画出的图象解：（1）关键点是和（2）去绝对值当时，；当时，；当时，（3）图象如右图所示【例8】 画出函数的图像解：（1）关键点是（2）去绝对值：当时，；当时，（3）可作出图像如右图【例9】 画出函数的图像解：（1）关键点是和（2）去绝对值：当或时，；当时，（3）可作出图像如右图1_；_；_；2，则_3若，那么一定是（ ）A正数 B负数 C非正数 D非负数4若，那么是_数5如图，化简_6
5、已知，则_7化简，并画出的图象8化简 9.画出的图像10.画出的图像答案：1； 2或 3C 4负 5-4 637，图象如下 8 9如图所示 10如图所示 5.2 绝对值不等式到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式【例1】 解方程：解：原方程变为，或【例2】解不等式 解：对应数轴上的一个点，由题意，到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：和，自然只有在和之间的点，到原点的距离才小于1，所以的解集
6、是练习1解不等式：（1）； （2） （3） 解：（1） （2） （3）结论：（1）的解集是，如图1 （2）的解集是，如图2 【例3】解不等式 解：由题意，解得，所以原不等式的解集为结论：（1） （2）或练习1：解不等式：（1）；（2）；（3）；解：（1）由题意，解得，所以原不等式的解集为（3）由题意，或，解得或，所以原不等式的解集为（3）由题意，解得，所以原不等式的解集为练习2：解不等式组解：由，得，解得，由，得，即，解得，由得，所以原不等式的解集为练习3：解不等式解：方法一：由，解得；由得，或，联立得，所以原不等式的解集为方法二：或，解得，所以原不等式的解集为【例4】解不等式：解：方法一：（
7、零点分段法）（1）当时，原不等式变为：，解得，所以；（2）当时，原不等式变为：，解得，所以；综上所述，原不等式的解集为方法二：或，解得或，所以原不等式的解集为结论：（1） （2）或练习4：解不等式：解：由得，解得，原不等式的解集为【例5】解方程：（1） （2）（3） （4）【初中知识链接】在三角形中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这个结论反映在数轴上是这样的：若和是数轴上的两个数，那么当时，数到和的距离之和等于与的距离；当或时，数到和的距离之差的绝对值，等于与的距离以上所有问题都可以用此方法解决解：（1）等式左边式子的几何意义是，实数到和1的距离之和，而和1的距离之和也刚好是
8、3，容易知道，当位于和1之间时，到和1的距离之和就刚好为3，所以的取值范围是（2）等式左边式子的几何意义是，实数到和1的距离之和，由于和1的距离是3，所以一定在和1的两边，经过计算，可知当位于和时，满足条件（3）等式左边式子的几何意义是，实数到和1的距离之差，由于和1的距离刚好是4，所以当位于到1的两边时，到和1的距离之差刚好为4，的取值范围是或（4）等式左边式子的几何意义是，实数到和2的距离之差，由于和1的距离刚好是5，所以一定位于到2之间，可知当位于和时，满足条件【例6】解不等式：方法1：利用零点分区间法（推荐） 分析:由，得和和把实数集合分成三个区间，即，按这三个区间可去绝对值，故可按这
9、三个区间讨论解：当时，得，解得：； 当时，得，解得：；当时，得，解得：综上，原不等式的解集为说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集；(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值方法2：利用绝对值的几何意义解：的几何意义是数轴上的点到1和的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，易知当或时，所以位于和之间（不含端点），所以，所以原不等式的解集为说明：选择题和填空题中，利用绝对值的几何意义解含有两个绝对值不等式优势明显练习1 解：练习2解不等式： 解：练习3解：【例7】解不等式： 解：当时，原不等式变为：，解得：； 当时，得，无解当时，得，解得：综上，原不等式的解集为【例8】解关于的不等式解：原不等式变为（1）当时，原不等式无解；（2）当时，解得综上所述，当时，原不等式无解；当时，原不等式的解集为1.已知，化简得( )A. B. C. D. 2.不等式的解是 ，不等式的解是_.3.不等式的解是_.4.根据数轴表示三数的点的位置，化简 _ .5.解不等式 6.解不等式7.解下列关于的不等式：8.解不等式9解不等式： 答案1.B 2. ； 3. 4.0 5. 6. 7. 8. 910
