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1、最新资料推荐一、基本概念1空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示2向量的模：向量的大小叫向量的长度或模记为|,特别地：规定长度为0的向量为零向量，记作；模为1的向量叫做单位向量；3相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量4负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量如的相反向量记为-.5.共线与共面向量（1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作.（2）共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量（3）定理共线向量定理：对于空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使得共面向量定
2、理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序史书对(x，y),使得6 注意：零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；一般来说，向量不能比较大小二、空间向量的运算1、加减法（1）空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则（2） 加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律交换律： 结合律： （3）推广*首尾相
3、接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：*首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量2.空间向量的数乘运算 （1）实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，与的方向相同；当0时，与的方向相反； 当=0时，= |=|，的长度是的长度的|倍（2） 运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律分配律： 结合律：3 空间向量的数量积和坐标运算坐标运算3 直线的方向向量1、 直线的方向向量： 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量注意：一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向
4、量之间互相平行直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量注意：法向量一定是非零向量；一个平面有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有.一个平面的法向量也是所有与平面平行的平面的法向量4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为=；（2）列：根
5、据列出方程组；（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量；（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标4、 用向量证明平行5、 用向量证明垂直一选择题（共11小题）1已知直线l的一般方程式为x+y+1=0，则l的一个方向向量为（）A（1，1）B（1，1）C（1，2）D（1，2）2已知等差数列an的前n项和为Sn，且S2=11，S5=50，则过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（nN*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A（1，3）B（1，3）C（1，1）D（1，1）3若直线l1，l2的方向向量分别为=（2，4，4），=（6，9，6），
6、则（）Al1l2Bl1l2Cl1与l2相交但不垂直D以上均不正确4直线a，b的方向向量分别为=（1，2，2），=（2，3，2），则a与b的位置关系是（）A平行B重合C垂直D夹角等于5若A（0，2，），B（1，1，），C（2，1，）是平面内的三点，设平面的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A2：3：（4）B1：1：1C：1：1D3：2：46已知=（1，5，2），=（3，1，z），若，=（x1，y，3），且BP平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A，4B，4C，2，4D4，157若直线l的方向向量为，平面的法向量为，能使l的是（）A=（1，0，0），=（2，0，0）B=（1，3，5），=
7、（1，0，1）C=（0，2，1），=（1，0，1）D=（1，1，3），=（0，3，1）8设，在上的投影为，在x轴上的投影为2，且，则为（）A（2，14）BCD（2，8）9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A3个B4个C5个D6个10已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）ABCD111在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（）A若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为
8、（0，1）B若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为二填空题（共12小题）15如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 16若，则= 17已知A（1，2，1）关于面 xOz 的对称点为B，则= 18如图，在三棱锥DABC中，已知AB=AD=2，BC=1，则CD= 19如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，ABM=60若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立
9、如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则M的坐标为 20如图，为一个正方体截下的一角PABC，|PA|=a，|PB|=b，|PC|=c，建立如图坐标系，求ABC的重心G的坐标 21下列关于空间向量的命题中，正确的有 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；若非零向量，满足，则有；若，是空间的一组基底，且=+，则A，B，C，D四点共面；若向量+，+，+，是空间一组基底，则，也是空间的一组基底22由空间向量=（1，2，3），=（1，1，1）构成的向量集合A=|=+k，kZ，则向量的模的最小值为 23已知点A（1，2，1），B（2，4），D（1，1，1），若=2，则|的值是 24已知空间四点A（0，1
10、，0），B（1，0，），C（0，0，1），D（1，1，），则异面直线AB，CD所成的角的余弦值为 25如图ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是 26已知向量，满足|=2，与的夹角为60，则在上的投影是 三解答题（共9小题）27如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3（1）证明：BC平面PDA；（2）证明：BCPD；（3）求点C 到平面PDA的距离28如图，已知四棱锥PABCD，PBAD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120（I）求
11、点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小29如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90（1）求证：PCBC；（2）求点A到平面PBC的距离30如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE，设PA=1，AD=2（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角BPCA的正切值31如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点（）证明：BEDC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）若
12、F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值32如题图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC=3，ACB=D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2（）证明：DE平面PCD（）求二面角APDC的余弦值33如图，在三棱台ABCDEF中，已知平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（）求证：BF平面ACFD；（）求二面角BADF的余弦值34如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABAC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点（）求证：MN平面ABCD（）
13、求二面角D1ACB1的正弦值；（）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长35如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求A到平面PBC的距离2017年12月02日空间立体几何参考答案一选择题（共14小题）1C；2B；3A；4B；5A；6B；7C；8A；9B；10D；11B；12B；13C；14C；二填空题（共12小题）15；163；17（0，4，0）；18；19（0，1，1）；20（）；21；22；232；24；25；261；三解答题（共9小题）27；28；29；30；31；32；33；34；35；13
