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1、统计学 天津财经大学统计系 第七章显著性检验的基本问题 第一节显著性检验的基本问题第二节总体均值为某定值的显著性检验第三节总体比例为某定值的显著性检验 第一节显著性检验的基本问题 一 什么是假设检验二 原假设与备择假设三 检验统计量四 显著性水平 P 值与临界值五 双侧检验和单侧检验六 假设检验的两类错误七 关于假设检验结论的理解 一 什么是假设检验 例7 1 假定咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态分布N 2 生产线按每袋净重150克的技术标准控制操作 现从生产线抽取简单随机样本n 100袋 测得其平均重量为 149 8克 样本标准差s 0 872克 问该生产线的装袋净重的期望值是否为15
2、0克 即问生产线是否处于控制状态 所谓假设检验 就是事先对总体的参数或总体分布形式做出一个假设 然后利用抽取的样本信息来判断这个假设 原假设 是否合理 即判断总体的真实情况与原假设是否存在显著的系统性差异 所以假设检验又被称为显著性检验 一个完整的假设检验过程 包括以下几个步骤 1 提出假设 2 构造适当的检验统计量 并根据样本计算统计量的具体数值 3 规定显著性水平 建立检验规则 4 做出判断 二 原假设与备择假设 原假设一般用H0表示 通常是设定总体参数等于某值 或服从某个分布函数等 备择假设是与原假设互相排斥的假设 原假设与备择假设不可能同时成立 所谓假设检验问题实质上就是要判断H0是否
3、正确 若拒绝原假设H0 则意味着接受备择假设H1 如在例7 1中 我们可以提出两个假设 假设平均袋装咖啡重量与所要控制的标准没有显著差异 记为 假设平均袋装咖啡重量与所要控制的标准有显著差异 记为 三 检验统计量 所谓检验统计量 就是根据所抽取的样本计算的用于检验原假设是否成立的随机变量 检验统计量中应当含有所要检验的总体参数 以便在 总体参数等于某数值 的假定下研究样本统计量的观测结果 检验统计量还应该在 H0成立 的前体下有已知的分布 从而便于计算出现某种特定的观测结果的概率 四 显著性水平 P 值与临界值 小概率事件在单独一次的试验中基本上不会发生 可以不予考虑 在假设检验中 我们做出判
4、断时所依据的逻辑是 如果在原假设正确的前提下 检验统计量的样本观测值的出现属于小概率事件 那么可以认为原假设不可信 从而否定它 转而接受备择假设 至于小概率的标准是多大 这要根据实际问题而定 假设检验中 称这一标准为显著性水平 用来表示 在应用中 通常取 0 01 0 05 一般来说 犯第一类错误可能造成的损失越大 的取值应当越小 对假设检验问题做出判断可依据两种规则 一是P 值规则 二是临界值规则 一 P 值规则所谓P 值 实际上是检验统计量超过 大于或小于 具体样本观测值的概率 如果P 值小于所给定的显著性水平 则认为原假设不太可能成立 如果P 值大于所给定的标准 则认为没有充分的证据否定
5、原假设 例7 3 假定 根据例7 2的结果 计算该问题的P 值 并做出判断 解 查标准正态概率表 当z 2 29时 阴影面积为0 9890 尾部面积为1 0 9890 0 011 由对称性可知 当z 2 29时 左侧面积为0 011 0 011 2 0 0250 011这个数字意味着 假若我们反复抽取n 100的样本 在100个样本中仅有可能出现一个使检验统计量等于或小于 2 29的样本 该事件发生的概率小于给定的显著性水平 所以 可以判断 150的假定是错误的 也就是说 根据观测的样本 有理由表明总体的与150克的差异是显著存在的 二 临界值规则假设检验中 还有另外一种做出结论的方法 根据所
6、提出的显著性水平标准 它是概率密度曲线的尾部面积 查表得到相应的检验统计量的数值 称作临界值 直接用检验统计量的观测值与临界值作比较 观测值落在临界值所划定的尾部 称之为拒绝域 内 便拒绝原假设 观测值落在临界值所划定的尾部之外 称之为不能拒绝域 的范围内 则认为拒绝原假设的证据不足 这种做出检验结论的方法 我们称之为临界值规则 显然 P 值规则和临界值规则是等价的 在做检验的时候 只用其中一个规则即可 P 值规则较之临界值规则具有更明显的优点 这主要是 第一 它更加简捷 第二 在值规则的检验结论中 对于犯第一类错误的概率的表述更加精确 推荐使用P 值规则 例7 4 假定 根据例7 2的结果
7、用临界值规则做出判断解 查表得到 临界值z0 025 1 96 由于z 2 29 1 96 即 检验统计量的观测值落在临界值所划定的左侧 即落在拒绝域 因而拒绝 150克的原假设 上面的检验结果意味着 由样本数据得到的观测值的差异提醒我们 装袋生产线的生产过程已经偏离了控制状态 正在向装袋重量低于技术标准的状态倾斜 五 双侧检验和单侧检验 图7 1双侧 单侧检验的拒绝域分配 表7 1拒绝域的单 双侧与备择假设之间的对应关系 六 假设检验的两类错误 七 关于假设检验结论的理解 这就是说 在假设检验中 相对而言 当原假设被拒绝时 我们能够以较大的把握肯定备择假设的成立 而当原假设未被拒绝时 我们并不能认为原假设确实成立 第二节总体均值的假设检验 一 单个总体均值的检验二 双总体均值是否相等的检验 一 单个总体均值的检验 第三节总体比例为某定值的显著性检验 例7 7 一项调查结果声称 某市小学生每月零花钱达到200元的比例为40 某科研机构为了检验这个调查是否可靠 随机抽选了100名小学生 发现有47人每月零花钱达到200元 调查结果能否证实早先调查40 的看法
