《《精编》多元正态分布均值向量和协差阵的检验》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《精编》多元正态分布均值向量和协差阵的检验（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020 5 24 1 第三章多元正态分布均值向量和协差阵的检验 2020 5 24 2 第三章多元正态分布均值向量和协差阵的检验 第一节均值向量的检验第二节协差阵的检验 2020 5 24 3 补充 到底什么是假设检验 让我们先看一个例子 2020 5 24 4 生产流水线上罐装可乐不断地封装 然后装箱外运 怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢 把每一罐都打开倒入量杯 看看容量是否合于标准 罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间 2020 5 24 5 每隔一定时间 抽查若干罐 如每隔1小时 抽查35罐 得35个容量的值X1 X35 根据这些值来判断生产是否正常 这就产生两种可能
2、 假设 通常的办法是进行抽样检查 生产正常 生产不正常 2020 5 24 6 这就需要根据X1 X35的样本信息 检验上述的两个假设哪个正确 H0 称H0为原假设 或零假设 它的对立假设是 H1 称H1为备选假设 或对立假设 生产正常 生产不正常 2020 5 24 7 那么 如何判断原假设H0是否成立呢 由于是正态分布的期望值 它的估计量是样本均值 因此可以根据与的差距来判断H0是否成立 当时 可以认为H0是成立的 当时 应认为H0不成立 即生产已不正常 2020 5 24 8 怎么来确定 合理的界限在何处 应由什么原则来确定 小概率原则 小概率事件在一次试验中基本上不会发生 2020 5
3、 24 9 下面我们用一例说明这个原则 这里有两个盒子 各装有100个球 小概率事件在一次试验中基本上不会发生 1个 一盒中有99个红球和1个白球 另一盒中装有99个白球和1个红球 2020 5 24 10 现从两盒中随机取出一个盒子 问这个盒子里是白球99个还是红球99个 我们不妨先假设 这个盒子里有99个白球 现在我们从中随机摸出一个球 发现是此时应该如何判断这个假设是否成立呢 2020 5 24 11 假设其中真有99个白球 摸出红球的概率只有 这是小概率事件 小概率事件在一次试验中竟然发生了 不能不使人怀疑所作假设的正确性 因此可以认为这个盒子应该不是装有99个白球的那个盒子 这个例子
4、中所使用的推理方法 称为 带概率性质的反证法 或 概率反证法 1 100 2020 5 24 12 在假设检验中 称这个小概率为显著性水平 用 表示 的选择要根据实际情况而定 常取 假设检验所以可行 其理论背景即为 小概率原理 假设检验的理论依据 2020 5 24 13 现在回到我们前面罐装可乐的例中 在提出原假设H0后 如何作出接受和拒绝H0的结论呢 罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间 一批可乐出厂前进行抽样检查 现抽查了n罐 测得容量为X1 X2 Xn 问这一批可乐的容量是否合格 可乐的假设检验 2020 5 24 14 提出假设 假定 已知 构造检验统计量z 对给定的显
5、著性水平 可以在N 0 1 表中查到分位点的值 使 由原来观察大小 转变为观察的大小 2020 5 24 15 也就是说 是一个小概率事件 故我们可以取拒绝域为 如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域 则拒绝H0 否则 不能拒绝H0 拒绝域 如果H0是对的 那么衡量差异大小的某个统计量落入红色区域 拒绝域 是个小概率事件 也就是说 H0成立下的小概率事件发生了 那么就认为H0不可信而否定它 否则 我们就不能否定H0 只好接受它 接受域 拒绝域 从小概率的角度看 2020 5 24 16 其基本思想和步骤均可归纳为 第一 提出待检验的假设H0和H1 第二 给出检验的统计量及其服从的分布 第三
6、给定检验水平 查统计量的分布表 确定相应的临界值 从而得到否定域 第四 根据样本观测值计算出统计量的值 看是否落入否定域中 以便对待判假设做出决策 拒绝或接受 2020 5 24 17 第一节均值向量的检验 单一变量检验的回顾及HotellingT2分布一个正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验 2020 5 24 18 单一变量假设检验的内容 提出假设构造检验统计量 总体方差已知时 判断 根据显著水平确定临界值 当落在拒绝域 接受备择假设 否则接受原假设 一 单变量假设检验及HotellingT2分布 2020 5 24 19 当未知时 用 3 2 作为的
7、估计量 构造检验统计量 3 3 判断 根据显著水平 确定临界值 当 落入拒绝域 接受备择假设 否则接受原假设 2020 5 24 20 3 3 式可以表示为 3 4 定义3 1设 且与相互独立 则称统计量的分布为非中心HotellingT2分布 记为 当时 称服从 中心 HotellingT2分布 记为 威沙特分布 Wishart 2020 5 24 21 注意 F分布和t分布有如下关系 设X和Y是相互独立的服从卡方分布的随机变量 自由度分别为f1 f2 则称随机变量设X是标准正态变量 Y是自由度为v的卡方变量 且X和Y相互独立 则称随机变量 2020 5 24 22 若 且与相互独立 令 则
8、这表明 将HotellingT2统计量乘上一个适当的常数后 便成为F统计量 从而可利用F分布来进行推断 实践中 常用上式给出的F统计量来代替HotellingT2统计量进行推断 3 5 因此 HotellingT2与F分布的关系 2020 5 24 23 在一元正态总体的情况下 若一元统计中样本方差是的估计 有 注意 Wishart分布 一元分布的推广 2020 5 24 24 定义2 10设且相互独立 则由组成的随机矩阵 其中 若且相互独立 则样本离差阵 2020 5 24 25 二 一个正态总体均值向量的检验 设是来自p维正态总体的样本 且 2020 5 24 26 一 协差阵已知时均值向
9、量的检验假设成立 检验统计量为 3 6 给定检验水平 查分布表找出临界值 判断 若 则接受备择假设 否则接受原假设 2 c 0 2020 5 24 27 注意 其中 利用的是p维随机向量二次型的结论之一 设 则 其中 2020 5 24 28 二 协差阵未知时均值向量的检验假设成立 检验统计量为其中 给定检验水平 查F分布表 可确定出临界值 判断 若 则接受备择假设 否则接受原假设 3 7 x 0 2020 5 24 29 例题 2020 5 24 30 样本离差阵 2020 5 24 31 三 两个正态总体均值向量的检验 一 当协差阵相等时 两个正态总体均值向量的检验设 为来自p维正态总体的
10、容量为n的样本 为来自p维正态总体的容量为的样本 两组样本相互独立 且 2020 5 24 32 1 针对有共同已知协差阵的情形假设成立 检验统计量为 3 8 给定显著水平 查分布表确定临界值 判断 若 则接受备择假设 否则接受原假设 两组样本独立 2020 5 24 33 2 针对有共同的未知协差阵的情形提出假设 构造检验统计量 3 9 给定显著性水平 查F分布表确定临界值 判断 若 则接受备择假设 否则接受原假设 2020 5 24 34 例题 2020 5 24 35 2020 5 24 36 2020 5 24 37 二 协差阵不等时 两个正态总体均值向量的检验 两总体协差阵未知 设
11、为来自p维正态总体的容量为n的样本 为来自p维正态总体的容量为的样本 两组样本相互独立 且 2020 5 24 38 1 针对n m的情形令构造检验统计量为 3 10 2020 5 24 39 令构造检验统计量为 2 针对n m的情形 假设n m且两总体协差阵相差不大时 2020 5 24 40 第三节协差阵的检验 一个正态总体协差阵的检验多个协差阵相等检验 2020 5 24 41 一 一个正态总体协差阵的检验 设来自p维正态总体的样本 未知 且 提出假设用似然比方法可构造出检验统计量为 3 16 其中 2020 5 24 42 给定检验水平 因为直接由 分布计算临界值很困难 所以通常采用 的近似分布 在原假设成立时 当n较大时 其对数极限分布是分布 因此当 由样本值计算出 值 若即 则拒绝原假设 否则接受原假设 2020 5 24 43 注意 考虑检验假设因为 所以存在 使得令则因此 检验等价于检验此时构造检验统计量为其中 2020 5 24 44
