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1、参数估计和假设检验 徐小燕四川师范大学教育科学学院 总体参数估计 从样本所提供的信息推论总体的情况总体参数估计分为 点估计与区间估计两种不同的估计 参数估计与非参数估计 以后再讨论这个问题 一 点估计 区间估计与标准误 点估计 用样本统计量估计总体参数因为样本统计量为某一确定值 估计的结果也是用该值表示 所以称为点估计用样本平均数X估计总体平均数 用样本方差估计总体方差 区间估计 区间估计 就是根据估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围就是用一段距离表示参数可能落入的范围区间估计在点估计的基础上给出一个估计的范围 置信区间 也称置信间距 CI 指在某一置信度时 总体参数所在的区域长度置
2、信区间上下端点称为置信界限 显著性水平 指估计总体参数落在某一区间时 可能犯错误的概率 用符号 表示 为置信度或置信水平0 95置信区间是指总体参数落在该区间之内正确的概率是95 而出现错误的概率是5 0 05 0 95置信区间 0 05显著性水平的置信区间0 99置信区间 0 01显著性水平的置信区间0 999置信区间 0 001显著性水平的置信区间 总体平均数的估计 估计总体平均数的步骤 根据实得样本的数据 计算样本的平均数与标准差 计算标准误定义 样本均数的标准差公式 总体方差已知总体方差未知 根据公式计算出总体平均数可能所在的区间 二 取样分布 正态分布 也叫Z分布标准正态分布指平均数
3、 0 标准差 1的正态分布 t分布 当N足够大时 t分布接近正态分布 F分布 自由度 df 自由度指的是当限定一个值后 可以自由变化的量的个数例如 如果4个数的和为50 那么这4个中的3个是可以自由变化的数 但是第4个数却是绝对受限的 比如 假如前三个数为10 5 30 则它们的和为45 那么第4个数必须为5才能保证这4个数的和为50 于是这一组数的自由度为3 自由度定为N 1 样本的个数减去1 所以前面那个例子的自由度为49 1 48 三 假设检验 某校进行数学统考 成绩服从正态分布 全校平均分 0 55 标准差 0 10 随机抽取该校的一个班 n 49 其平均成绩X 58 问该班成绩与全校
4、平均成绩的差异是否显著 解 该班平均成绩58分高于全校平均分 这并不能说明该班的真实水平比全校平均水平高 因为假如再进行等值试卷的考试 也许该班的平均成绩又比全校的平均分低了 所以从理论上来讲 一个班数学成绩的真实水平应该是进行无数次等值试卷的考试后 无数次平均成绩的总平均分 x x与 0哪个高哪个低 需要进行假设检验 首先 建立虚无假设H0 x 0因此 研究假设H1 x 0根据虚无假设 该班真实水平与全校平均成绩没有差异 58分与55分之差是由于抽样误差或测量的随机误差造成的 该班成绩的标准分数 Z X x SEx X 0 0 n 58 55 10 7 2 102 10 Z 05 1 96
5、所以否定虚无假设 接受研究假设 即该班平均成绩高于全校平均成绩 单侧检验和双侧检验 双侧检验指否定域设置在抽样分布曲线数轴的两个尾部 此时虚无假设H0 x 0 研究假设H1 x 0由于我们在做检验之前没有任何信息预示 x与 0之间可能有什么关系关系所以前者可能大于也可能小于后者 否定域在抽样分布曲线的两端如图示 当自由度为10时 t在a 05时的临界值为 2 228 单侧检验 如果我们知道这个班是一个重点班 我们有充分的理由相信 这个班的真实水平可能高于全校平均水平 这样我们就需要检验该班平均分是否真正高于全校平均分 于是 虚无假设H0 x 0 研究假设H1 x 0这时 我们考察样本平均数出现的小概率区域就只在抽样分布曲线数轴的右侧尾部端 如图示 当 05 自由度为10 t的临界值为 1 812
