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1、最新资料推荐点差法习题【学习目标】 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型,在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”,它的一般结论叫做点差法公式。使用说明及学法指导】1、通过证明定理,熟悉“点差法”的运用;2、记住点差法推导出的公式,并熟练应用;若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为、,将这两点代
2、入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一、自主证明1、定理 在椭圆(0)中,若直线与椭圆相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.同理可证,在椭圆(0)中,若直线与椭圆相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则. 2、定理 在双曲线(0,0)中,若直线与双曲线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.同理可证,在双曲线(0,0)中,若直线与双曲线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.3、定理 在抛物线中,若直
3、线与抛物线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.例1 设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点A、B,O为坐标原点,点P满足,点N的坐标为.当绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方程;(2)的最大值和最小值.例2 已知双曲线,过点作直线交双曲线C于A、B两点.(1)求弦AB的中点M的轨迹;(2)若P恰为弦AB的中点,求直线的方程.例3 抛物线的过焦点的弦的中点的轨迹方程是( )A. B. C. D. 1. 已知椭圆,则以为中点的弦的长度为( ) A. B. C. D. 2. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为,直线与其相交于M、N两点,MN的中点的横坐标为,则此双曲线的方程
4、为( )A. B. C. D. 3. 已知直线与抛物线交于A、B两点,那么线段AB的中点坐标是_.【规律总结】同理可证,在抛物线中,若直线与抛物线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.一、 以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程。例2、已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于、,且点是线段的中点。若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在,说明理由。二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3,它与直线的交点恰为这条弦的中点,求点的坐标。例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中
5、点的轨迹方程。三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点,一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为,求椭圆的方程。四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆,试确定的取值范围,使得对于直线,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。答 案例1. 解:设直线与椭圆的交点为、为的中点 又、两点在椭圆上,则,两式相减得于是即,故所求直线的方程为,即。例2. 解:设存在被点平分的弦,且、则,两式相减,得故直线由消去,得这说明直线与双曲线不相交,故被点平分的弦不存在,即不存在这样的直线。评述:本题如果忽视对判别式的考察,将得出错误的结果,请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。(1)若中点在圆锥曲线内,则被点平分的弦一般存在;(2)若中点在圆锥曲线外,则被点平分的弦可能不存在。例3. 解:设弦端点、,弦的中点,则 , 又 ,两式相减得即 ,即点的坐标为。例4. 解:设弦端点、,弦的中点,则, 又 ,两式相减得即,即 ,即由,得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为例5.解:设椭圆的方程为,则设弦端点、,弦的中点,则, ,又,两式相减得即 联立解得,所求椭圆的方程是例6.解:设,为椭圆上关于直线的对称两点,为弦的中点,则,两式相减得,即,这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立,得则必须满足,即,解得4