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1、第二章连续时间系统的时域分析系统时域分析的二种方法 1 建立微分方程和求解 2 已知系统的单位冲击响应将输入激励信号与冲击响应进行卷积积分 求出系统的输出响应 2 1微分方程的建立与求解一 微分方程的建立1必须遵守的约束条件1 元件的特性方程电阻 电容 电感 2 基尔霍夫定律例 建立如图所示电路中iL t 和R1上电压u1 t 的微分方程解 由KCL和KVL得 对 2 式求导 若将的一阶 二阶导数代入 3 消去iL并整理得 注 都是常系数二阶线性微分方程 二 微分方程的求解一般而言 如果单输入 单输出线性非时变系统的激励为e t 系统的响应为r t 则描述此系统激励e t 与响应r t 之间关
2、系的是n阶常系数微分方程 1n阶常系数微分方程的一般形式该方程的完全解由齐次解和特解构成 设齐次解为rh t 特解为rp t 则2齐次方程和齐次解齐次方程 当e t 0时 特征方程 讨论 1 是n次代数方程 2 n个根3 特征根不同 解的形式不同 齐次解即 0的解1 n个单根 2 有重根 设 例 求微分方程的齐次解 解 3 有共轭复根 3非齐次方程和完全解1 特解rp t 齐次解rh t 的形式与输入 激励 信号无关 只与系统结构有关 而特解rp t 的形式与激励函数形式有关 激励函数形式决定了特解的形式 P46页 表2 1 表2 2特解 例 求解 1 齐次解2 特解代入原方程得 比较系数得解
3、得 2 2起始点的跳变 从1 无冲击电流 电压时的换路定理若系统的激励e t 在t 0时刻加入 在t 0之前有一组状态称为系统的起始状态 它包含了系统全部过去信息 例 给定如图2 1所示电路 t 0开关s处于1的位置而且已经达到稳态 当t 0时 s由1转向2 建立电流i t 的微分方程并求解i t 在时的变化 解 1 列写电路的微分方程 消去变量vC t iL t 整理得2 求系统的完全响应齐次解 特解 因为e t 4V 设特解iP t B 代入原方程得10B 16B 16 0 8 5系统得完全响应为 4 由初始条件确定A1 A2 2 激励中含有冲击函数及冲击函数的各阶导数的换路 例2 用冲击
4、函数匹配法求解p48页例2 5的完全响应 解 方程为 在t 0时刻 e t 由2v变到4v 即代入原方程 求得t 0时微分方程已知用冲击函数匹配法 求 代入原方程三 求解微分方程的步骤1 由电路结构写出方程2 根据元件VAR 代入电路方程 从而写出微分方程3 将联立方程化为一元高阶微分方程 4 解方程 齐次解rh t 系数待定 特解rp t 代入方程确定常数5 完全解r t rh t rp t 由初始条件确定rh t 中的待定常数6 需要时 求出系统对应的0 状态 初始状态 7 已定系数A的完全解 系统响应 四 微分方程的全解当微分方程的特征根为单根时 当特征根中为k重根 其余n k为单根时其
5、中 Ai Aj由初始条件确定 设激励信号e t 在t 0时接入 在0 t 区间 对于n阶线性微分方程 给定n个初始条件就可确定系数Ai Aj 以单根为例 写成矩阵形式 称为范德蒙矩阵 例 2 4零输入响应和零状态响应一 零输入响应1定义 激励信号为零时 仅由系统的初始状态所引起的响应 用rzi t 表示 它是满足方程2讨论 1 它是齐次解中的一部分 二 零状态响应1定义 系统的初始状态为零时 仅由输入信号e t 所引起的响应 用rzs t 表示 它满足方程2讨论 1 解的形式为其中B t 为特解 2 响应是自由响应的一部分和强迫响应B t 的线性叠加 三 系统的完全响应 例 p54页如图所示电
6、路 把t0时i t 的零输入响应和零状态响应已知 vC 0 6 5v iL 0 4 5A 系统的方程为解 1零输入响应 e t 0 系统在t 0 时刻等效电路如图 系统满足微分方程和0 状态的izi 0 及的解 由初始值等效电路得零状态响应 它满足微分方程 及起始状态由例2 5求得利用冲击函数匹配法确定初始条件 代入原方程求得系统的零状态响应 讨论 1 设系统是线性时不变的 且H e t 表示零状态响应 表示零输入响应 则系统的完全响应为 方框图 其中 2 对于外加激励e t 和它对应的响应的关系而言3 常系数线性微分方程描述的系统 只有在初始状态为零的条件下 系统才是线性时不变的 且是因果的
7、 4 如果将响应分解为零输入响应和零状态响应 则系统分别对于两种情况都是线性时不变和因果的 注 零输入响应 可将初始状态等效为uc 0 和iL 0 的电源 2 5阶跃函数和冲击函数阶跃函数和冲击函数属于奇异函数 严格讨论需要用到分配函数理论 为此 我们只给出其定义和函数性质 在数学上不加以严格证明 一 阶跃函数和冲击函数1单位阶跃函数2单位冲击函数 它的定义是该函数波形下的面积为1二 三 冲击函数的性质按分配函数理论 冲击函数 t 由式来定义 式中为检验函数 它是连续 具有任意阶导数并且在无穷远处急剧下降的函数 例 1抽样性质 筛选性质 1 检验函数与单位冲击函数 t 相乘并从 到 积分 可以
8、得到在t 0时刻的函数值 2 2与普通函数的乘积3位移 45的导数 四 初始状态等效为信号源引入阶跃和冲击函数后 系统内部初始状态的作用可等效为激励信号源 那么 从分析方法的角度来讲 求零输入响应和零状态响应没有原则区别 所以我们将主要讨论零状态响应 1电容的时域模型在任意时刻t 由上式得等效电路将上式两端求导乘以C得 讨论 1 电压源与电流源反映了电容上的初始初始储能 2 具有初始电压uC 0 的电容C 在t 0的时间范围内 可以用初始电压为零的电容与电压源uC 0 u t 串联等效 3 具有初始电压uC 0 的电容C 在t 0的时间范围内 可以用初始电压为零的电容与电流源CuC 0 t 并
9、联等效 2电感L的时域模型在系统分析时 如果将初始状态都等效为激励源 那么 这个等效系统是零状态的 而且系统内部激励源只与uC 0 和iL 0 有关 所以不需求0 时刻的值 今后分析时 初始状态都指0 时刻 2 5冲击响应与阶跃响应 一 定义1冲击响应 系统在单位冲击信号 t 的激励下产生的零状态响应 用h t 表示 即2阶跃响应 系统在单位阶跃信号u t 的激励下产生的零状态响应 用g t 表示 即二 冲击响应与阶跃响应的关系 三 冲击响应与阶跃响应解的形式1冲击响应 2阶跃响应由于u t 在t 0时不为零 所以 齐次响应包含齐次通解和特解两部分 注 确定待定常数Ak和B可利用方程等号两端各
10、奇异函数项的系数相等的方法求得 例 求描述系统的微分方程为 代入原方程得四 任意信号激励下的响应信号表示 任意信号可表示为与冲击函数的卷积 系统响应 响应可表示为激励信号与冲击响应的卷积 例 利用冲击函数匹配法求解上例解 2 6卷积积分一 卷积积分的定义设函数f1 t 和f2 t 有相同的自变量 则它们的卷积积分定义为二 卷积积分的物理意义将激励信号分解为冲击信号之和 借助系统的冲击响应h t 求对任意信号的零状态响应三 卷积积分的运算步骤四 卷积的图解表示 例 求如图所示信号的卷积积分 解 2 7卷积的性质一 卷积代数1 交换律 4 卷积的微分与积分 注 例1 p68页例2 2 8用算子符号
11、表示微分方程一 算子符号的基本规则1 微分和积分算子的表示 或表示为2 算子运算的基本规则 1 对算子多项式可以进行因式分解 但不能进行公因子相消 2 算子的乘除顺序不可随意颠倒 即注 先乘后除的算子不能相消 先除后乘的算子可以相消 二 用算子符号建立微分方程1 电容 电感的等效算子符号 电容 2 建立微分方程例1 如图所示RLC串联电路 输入为e t 输出为电流i t 用算子法列出算子方程与微分方程 解 两边同时作微分运算 前乘 p 得算子方程 p2 5p 6 i t pe t 由上面的算子方程写出微分方程为 例2 如图电路 f t 为激励信号 响应为i2 t 试用算子法求其算子方程与微分方程 解将图 a 中的电感用算子符号表示如图 b 所示 解 利用广义网孔法列出两个算子方程 3p 1 i1 t pi2 t f t pi1 t p 3 i2 t 0 利用克莱姆法则 解出 可写成 p2 5p 3 2 i2 t 0 5pe t 微分方程为 也可以写成y t 5y t 1 5y t 0 5f t 例3试证明方程所描述的系统为线性系统 式中 a为常数 证 由题设方程可得 y t 是满足方程的解设 那么
