拓扑习题解答精编版

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1、最新资料推荐第一章 朴素集合论1.1集合的基本概念1.解：，是的真子集，是的真子集2.解：（2），（3）为正确3.解：因为，,有传递性，所以结论成立4.解：5.解： 1.2集合的基本运算1.证：（1）显然，（2）因为所以所以从而 (3)因为，则当且仅当且当且仅当，故。2.证：（1）当且仅当当且仅当当且仅当，所以（2）所以，（3）因为所以因此从而（4）3.证明：（1）且存在，使得且存在，使得，所以结论成立。（2）且且对任何且对任何。 且且存在存在，使得且存在使得所以结论成立。4.证：考虑为基础集。令另方面，易见事实上，若则当时，当时，故从而所以5.证：（1）（2）显然成立。（3）取则 （4） 6

2、. 1.3关系 1.解 2. 3.解： 4.充分性：设，即存在使若则但矛盾。故从而，即据定理1.3.2（2）有因此有 必要性：设有1.4等价关系1. 2.证:若为等价关系，则任意所以反之，若，则任意，有，使，又具有对称性及传递性，所以，从而，即具有反身性，故是中的等价关系。3.解：令，则中的等价关系为4.解：显然关系满足反身性，对称性，设即所以即满足传递性，故为的等价关系。1.5映射1.（1），（2）容易。 （3）设为在上的映射，对任意，存在，使，所以，即，由（2）知，故。反之设对每一，特别地，取有而故为在上的映射。2.证明： （1）（3）：令使得任意是在上的一一映射，对任意，有习题5.1（3

3、）知： （3）（2）：定义同上，则是在上的，对任意，由习题5.1（3）有 （2）（4）：因 （4）（1）：若不是一一的，则存在使则矛盾，故是一一映射。3.证：（1）（2）由定理1.5.3立得。 （2）（3）利用5.1（3）来证明 （3）（1）因为，所以是一一的映射，又，所以是漫射，因此是 满的一一映射。4.解：（1）当，则是在上的，当为单点集，则是一一的。 （2）5.解：（1）当时，有。所以是一一映射。（2）任意，所以（3）因为，所以是定义1.4.1中的对角线.8.证：（1）因所以为的扩张（限制） （2）若为的扩张，为的扩张，不妨设其中则所以 （3）若为的扩张，并且为的扩张，不妨设则，故，从而

4、即同理可证，若为的限制，并且为的限制，则 第二章 拓扑空间与连续映射1.证：取，其中，则，故不是的度量。当时，故它不是度量。2.证：设为度量空间，并且为有限集，只需证明的每一个子集都是开集，因为是有限集，记，则对中任意一点，,即中所有单点集均为开集。所以的每一个子集都是开集。3.证：（1）设为的任意一个子集，任意取，则，所以为开集。（2）设为任一映射，为中任一开集，由（1）知，为的开集，所以为连续映射。4.证：设是的任一开集，由相对于度量而言的连续性的是度量空间 中的开集，因等价得是中的开集，即相对度量而言连续。 必要性类似证明。5.证：（1）满足度量的条件1）2）是显然的，设， （2）因为设

5、为中的开集，即任意，存在，使，由右边不等式，即是的开集。反之，设是中的开集，即任意，存在，使得，由左边不等式即是的开集，因此与有相同的开集。同理可证与有相同的开集。（3）用连续映射的定义来证明。6.先证是连续映射，设 是任意一点，任意，对 ，因为故 。即 在 对于 度量 而言是连续的，由于 是任意的，从而 对于 的度量 而言连续，由习题1.5（3）知， 对于 的度量 而言连续。同理可证的连续性。 2 .2拓扑空间与连续映射1.证：（1）因为，显然是 的一个可数子集，另外，根据定义有（2）设如果 和 之中有一个是空集，则 。假定和都不是空集，这时是的一个可数子集，所以 (3). 设令,显然，如果

6、，则，设，任意选取，这时是的一个可数子集，所以2.证：显然又，任意因此为的拓扑。 （2）的唯一的唯一的开邻域为3.解：当时，有4个拓扑，三个同胚等价类。 当时，有个拓扑，个同胚等价类。设，则具体如下：第一类一个：平庸拓扑。第二类一个：离散拓扑。第三类三个：,第四类六个：，等。第五类三个：等，第六类三个：等。第七类三个：等。第八类六个：等。第九类三个：等。4.解：有限补空间当是有限集时时，故可定义使为离散的度量空间。可数补空间当是可数集时时，故可定义使为离散的度量空间。5.证：若是离散空间，即，对于上离散度量，由习题得的每一子集都是度量空间的开集，因此的拓扑是由度量诱导出来的，即是可度量化得空间

7、。6.证：（充分性）是离散的度量空间，的每一个子集均为开集，于是 ，即是一个离散空间。 （必要性） 是离散空间，则。所以 是开集，有中开集的定义，存在，使，对任何有 ，显然 。有 ，取 ，对任何 有 ，显然 。有 ，取 ，对任何 成立。由离散度量定义得是一个离散度量。7.证：若都是的拓扑，由于，所以；任意，即,所以，任意即，则所以，因此是的拓扑。8.仿习题7可证。9.证：显然；任意，若中有一个为，显然；若,则 ，故总有；任意，若则若，即，也有，故总有，所以为拓扑空间。10.证：（1）设为从拓扑破空间到平庸空间的映射，因为，而为平庸空间，所以中任一开集的原象都是的开集，即为连续映射。(2)设为从

8、离散空间到任一拓扑空间的映射，对中每开集，因为是离散空间，所以是的开集，即连续。12.证：设分别是的两个拓扑，是的一个度量，则，由设是到的一同胚映射，对一切，令可以证明是到同胚映射。由于，由于是拓扑空间到拓扑空间的一同胚映射，可以证明2.4导集，闭集，闭包1.（1）对任意的 ，都有 ，否则当 时，所以 为有限集，矛盾。故。 （2）对任意的 ，都有 ，否则当 时，所以 为可数集，矛盾。故。 （3） （4）对任意的，都有。对，都有。所以2.证：（1）必要性：若的聚点，任意，有，从而，即为的聚点。 充分性显然。3.证若闭包公理成立，则对任意。反之，任意，若成立，则令，有，即 令有，即,并且,由前者，

9、所以，由以上结果有，故闭包公理成立.4.证：（1）因为任意，从而因此， （2）因为，从而，因此，（3）因为，所以=故5.因为，所以任意即则，所以任意8.设是度量空间。是的单点集，对任意。记，则，即是开集，从而是闭集。下证的每一子集的导集都是闭集，设是由的度量诱导出来的拓扑，由前一结论可知，作为拓扑空间的每一单点集都是闭集，即，又所以，因此的每一单点集的导集都是闭集。由杨道忠定理中每一子集的导集都是闭集，所以中每一子集的导集都是闭集。 2.5内部，边界1.解：（1）（i）为有限， （ii）为无限，。 （2） （3）（4）2.解：（1）（2）解：（3）解:(4)解：，所以，是既开又闭的集合。反之，

10、若是既开又闭的集合，即，所以。（5）解：因为为闭集，所以，则（6）解：5.证（1）当且仅当当且仅当（2）当且仅当且当且仅当且6.证：对于任意，由定理2.4.10的结论（4）和定理2.5.6结论（2），有连续当且仅当当且仅当 2.6基与子集1.证：必要性：设是的同一拓扑的两个基，任意即，因为是的基，由定理2.6.2存在使条件（1）成立。同理可证（2）成立。 充分性：设分别是的拓扑的基，并且条件（1）（2）成立。设由条件（1）存在从而即 任意存在使得所以由条件（2）类似可证 故为同一拓扑的基.2.证：记， 则是的一个开集族。任意任意存在使取则 且，由定理2.6.2知 构成的基。3.证：因为所以 由

11、定理2.6.4知，存在的唯一拓扑以为子基。任意因为所以即的每一单点集皆为开集，因此是的离散拓扑。7.证为的基，假定无限取互异的个点 令 则 且 因为是的基，故存在使 从而 因此至少有个成员，矛盾.2.7拓扑空间中的序列1.证：充分性是显然的，下证必要性。设离散的拓扑空间中的序列收敛于因为的开邻域，所以存在，使得当时时，因此当时3.证（1）设为的度量，因为是有限集，令 由于所以存在，使得时， （2）设为中收敛序列，为其极限，若，则，取存在当时 所以时， 从而 矛盾。因此。（3）先证定理2.7.2的逆命题设为的聚点，则对每一，取 则是中的序列，对任意存在，当时，所以 因此中有收敛于的序列。再证定理

12、2.7.3的逆命题设映射对满足条件： “中序列收敛于蕴含着中序列收敛于”若在点不连续，则存在，使得対任一因而存在，使，但显然收敛于，有知收敛于，这与矛盾。.第三章 子空间，积空间，商空间1.证：（1）作，使，显见是同胚，因此同胚于（2）作，使得 则为同胚，因此同胚于。 任意，则可唯一地表成， 令即，作，使得 时，则为到的同胚映射，因此与同胚，又与同胚，所以与同胚2.证(1)设为的开子空间，若为的开集，则为的开集；反之，若为的开集，则存在的开集使，而为的开集，所以为的开集。 （2）同（1）可类似证明。3.证：（1）(2)4.证：（1）设为的子基，则 为的基。根据定理3.1.7为的基，所以为的子基。（2）设 为点在中的一个邻域子基，则为点在中的一个邻域基，所以 为点在中的一个邻域基。5.（1）设，则，故为连续映射。 （2）对任意存在，使，因为为连续映射，对，因此6.设为连续映射，因为为的子空间。设为的开集。则存在的开集，使。 是中的开集。