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1、1 北京航空航天大学 工程系统工程系 北京航空航天大学 工程系统工程系 机械可靠性设计分析 机械可靠性设计分析 第七部分 第七部分 张建国张建国 2 主要内容 简介和基本概念 为什么要 一次二阶矩法 结构安全性 可靠性相关标准 安全余量和功能函数 极限状态方程和基本随机变量 极限状态方程 可靠度 设计验算点 可靠度系数 一次二阶矩 均值点法 验算点法 算例 3 为什么要 一次二阶矩法 可靠性计算中的难点 计算可靠度首先要知道应力和强度的分布 但在工程上要得到应力 和强度的分布很困难 可靠性与很多的随机变量有关 变量之间不仅是和或差的关系 此 时计算可靠度就更为复杂 对于函数的一般式 泰勒线性展
2、开 简化函数关系 针对以上情况 工程上广泛应用近似概率仿真方法计算可靠 度 其中一次二阶矩方法在机械 结构可靠性领域得到了广 泛应用 经过几十年研究发展已经成为世界各国结构安全标 准 规范的基础 0 21 n xxxgXgZL 4 结构安全性 可靠性相关标准 从安全系数法改造为以可靠性理论为基础的设计规范 现正在从构件级向结构体系可靠性规范发展 目前世界各国的工程部门正在致力于这种新规范的建立 并上 升为标准 1973 结构安全性验证总原则 1986 结构可靠性总原则 1998 进一步修订为 结构可靠度总则 以我国为例 1984 中国建设部 建筑结构设计统一标准 GBJ68 84 1992 中
3、国工程建设标准化协会 工程结构可靠度设计统一标准 GB501 53 92 1992 港口工程结构可靠度设计统一标准 GB501 58 92 1994 水利水电工程结构可靠度设计统一标准 GB50199 94 1994 铁路工程结构可靠度设计统一标准 GB50216 94 1999 公路工程结构可靠度设计统一标准 GB J50283 1999 5 安全余量和功能函数 安全余量和功能函数 强度大于应力的量称为安全 余量 其可表示为抗力与载 荷的差 Z r l 式中 l 抗力 r 载荷 功能函数 Z r l又称为功能函数 是 基本随机变量的函数 每个功能函数与故障模式 对应 Z 0 可靠 安全 Z
4、失效lr 0 一侧 处于安 全状态 g X 0 一侧 处于失 效状态 g X 0的n维超曲面为 失效面 1 X 2 X g0 X极限状态 g0X可靠域 O 0 0 0 g X 失效状态 极限状态 可靠状态 9 可靠度 根据概率论 可靠度为计算在 0g X可靠域上的多重积分 1212 0 nn g RI gf x xxdx dxdx X XLLL 当 0g X时 01I g X 当 0g X时 00I g X 12 n f x xxL 尺寸 质量 主动力 矩 阻抗力 矩 环境 因素等全部相关随机变量的联合分布密度函数 各随机变量的分布类 型可以是多种多样的 且随机变量以不同程度相关 10 设计验
5、算点 设计验算点定义 独立的 标准正态坐标系中 的一个分布矢量u 在u空间 中 联合概率分布密度函数 PDF 是以绕原点轴对称 的 并且随到原点的距离的 平方的增加而指数递减 对 于二参数的情形 概率分布 密度函数PDF为钟形曲面 可以用当量正态法将g X 变 换g u 到 此时 设计验算点 u 到坐标原点 u 0 的距 离为坐标原点到极限状态曲 面 g u 0 的最短距离 因为在u空间内 任意点处联 合概率分布密度函数与 平方 之和确定距离 成正比 因 此 当距离取最小时 密度 为最大 22 2 2 1 5 0exp n uuu L 11 可靠度系数 Transformation to st
6、andard normal Linear approximation to g u 1 1 X X uFx xFu 0 1 n iii i f g uaa uu p 12 一次二阶矩法 一次二阶矩法 把极限状态方程泰勒 展开 取一次线性项 利用矩法和基本随机 变量的均值 一阶 矩 和标准差 二阶 矩 计算功能函数 Z Z 大于零的概率 可靠度 1 2 n Z 1 2 n Z 1 x 2 x n x Z Z Z R 13 线性方程的均值点法 线性方程的一般形式 0 1 0 i n i ix aaXgZ 式中 niaa i 2 1 0 L 和为常数 nixi 2 1L 为服从 正态分布的随机变量
7、且变量之间无关 根据正态随机 变量的性质 i x n i iZ aa 1 0 n i xiZ i a 1 2 2 Z Z R 14 非线性方程的均值点法 均值点法均值点法 将极限状态方程在均值点线性展开 ii n i iii x n i i n xaax x g gZ ii 1 0 1 21 L 这里 n ga 210 L ii x i i x g a ni 2 1L 0 a Z n i iiZ a 1 2 Z Z 15 均值点法 均值点法的最大特点是计算简便 不需进行过多的 数值计算 缺陷 不能考虑随机变量的分布概型 只是直接取用随机变量 的一阶矩和二阶矩 将非线性功能函数在随机变量的平均值
8、处展开不合理 由于随机变量的平均值不在极限状态曲面上 展开后的 线性极限状态平面可能会较大程度地偏离原来的极限状 态曲面 由均值点法计算的结果比较粗糙 一般常用于结构 可靠度要求不高的情况 16 均值点法 例 某结构构件正截面强度的功能函数为 其中抗力R服从对数正态分 布 平均值 变异系数 载荷 效益S服从极值 型 平均值 变异系 数 试用均值点法求结构构件的失效概率 和可靠指标 解 抗力R和载荷效应S的标准差分别为 SRSRgZ mkN R 100 12 0 R mkN S 50 15 0 S 5 715 0 50 1212 0 100 SSS RRR 17 均值点法 结构可靠指标 结构失效
9、概率 533 3 5 712 50100 2222 SR SR 4 10078 2533 3 f P 18 均值点法 例 承受轴向拉力 F 105N 考虑为常量 的圆形杆件 圆杆直径d 屈服极限r mm d 30 mm d 3 MPa r 290 MPa r 25 求杆件的可靠度 解 极限方程为 0 4 2 FrddrfY 35 2 44644 104989 Y Y 9906 035 2 tR N N d Y r Y YD N NF fYE rdddr drY rd drY rdr 44644 29030 2 330 4 25 24 104989 1029030 44 2 1 22 2 2 1
10、 2 2 2 22 2 1 2 2 2 2 522 19 验算点法验算点法 验算点法验算点法 1 正态变量线性极限状态方程 正态变量线性极限状态方程 假设功能函数式 10 15 中的r与l为相互独立的正态分布变量 现对其进行标准化变换如下 r lr l l r r l l 10 18 将上式带入极限状态方程 10 15 得 0 lrlr lr 10 19 20 验算点法验算点法 在座标系l or 中 上式代表一条直线 见 从解析几 何知 在座标系l or 中原点 o 到该直线的距离为 22 lr lr po 10 20 p o 10 21 根据解析几何知 直线 op 对座标轴的方向余弦为 22
11、 22 cos cos lr l l lr r r 10 22 图10 4 21 验算点法验算点法 r r l l o P r r r l l l l r 0 lrlr lr r r l l 22 验算点法验算点法 p 的座标为 rr ll por pol coscos coscos 10 23 p 在极限状态方程代表的直线上 满足极限状态方程 称其为 设计验算点 根据上式计算 设计验算点 座标如下 22 22 lr rll lr rlr l r 10 24 23 验算点法验算点法 当极限状态方程为线性方程的一般形式时 有 i n i ix aaXgZ 1 0 10 25 式中 niaa i
12、2 1 0 L 和 为常数 nixi 2 1L 为服从正态分 布的随机变量 且变量之间无关 相应的极限状态方程为 0 1 0 i n i ix aaXgZ 10 26 将变量 i x进行标准化变换 有 i i x xi i x x ni 2 1L 10 27 24 验算点法验算点法 将上式带入极限状态方程 有 0 1 0 n i xixi ii xaa 10 28 则可靠性指标 为标准化变换后的座标原点到 10 28 式表示 的n维超平面的距离 根据解析几何有 2 1 1 2 1 0 n i xi n i xi i i a aa d 10 29 所以 根据式 10 13 可靠度为 25 验算点
13、法验算点法 2 1 1 2 1 0 n i xi n i xi i i a aa R 10 30 根据正态随机变量的性质 由 10 25 式得 i x n i iZ aa 1 0 10 31 n i xiZ i a 1 2 2 10 32 结合以上三式 有 Z Z R 10 33 26 验算点法验算点法 2 非线性极限状态方程 非线性极限状态方程 当极限状态方程为非线性时 失效面为 n 维超曲面 可靠性 指标 为标准化正态空间的座标原点到失效面的最短距离 的计算可由标准化正态空间的座标原点到过失效面上的 p 点的切平面的距离来近似 但点 p 未知 所以利用迭代法计算标准化正态空间的座标原点到过
14、失效面 上的 p 点的切平面的距离中的最小值 即是所求的解 27 验算点法验算点法 设 n xxxp 21 L 为失效面上的设计验算点 将相应极限状态 方程在p 点按级数线性展开 得 ii n i i ii xx n i i n xxaa xx x g xxxgZ ii 1 0 1 21 L 10 34 这里 n xxxga 210 L ii xx i i x g a ni 2 1L 上式在几何 上代表 n 维超曲面过 p 点的切平面 28 验算点法验算点法 根据正态随机变量的和 差 性质 Z的均值与方差可表示为 1 ii n i iZ xa 10 35 n i n i n j jiji ji
15、 ijiiZ aaa 111 2 10 36 这里 i为变量xi的均值 i为方差 ij为变量xi与xj的相关系数 可靠性指标 为 n i n i n j jiji ji ijii iii n i Z Z aaa xa 111 2 1 10 37 29 验算点法验算点法 第i个随机变量 i x 的灵敏度系数 i n i n i n j jiji ji ijii ii i aaa a 111 2 10 38a 当0 ij 时 n i ii ii i a a 1 2 10 38b 把 i 代入 得 iiii x ni 2 1L 10 39 当随机变量不一定是正态分布 进行 当量正态化 方法如下 30
16、 验算点法 例 受永久载荷作用的薄壁型钢梁 极限状态方程为 已知弯矩M服从正态分布 截面抵抗矩W服从正态分布 钢材强度f服从正态分布 求钢梁的失效概率 解 根据已知基本随机变量的统计参数 求得 0 MWfMfWgZ 07 0 130000 MM 05 0 72 54 WW 08 0 3800 ff f P 304 74 2 910007 0130000 f W MMM 31 验算点法 先求 代入 10 38a 式 得 9100 304 74 2 M P f P W P M g W f g f W g 910030474 2 9100 910030474 2 304 910030474 2 74 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a Wf Wf W Wf f M f W 32 验算点法 由 10 39 式 有 将 b 式的 值代入极限状态方程 得 c 假定 的初值 代入 a b c 式 经三 次迭代后 解得验算点坐标及可靠指标分别为 相应的失效概率为 9100130000 3043800 74 272 54 b M f W W f WWWW MfW 0 MfW f W3800 72
