《《鲁棒控制》-8-参数摄动系统鲁棒性分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《鲁棒控制》-8-参数摄动系统鲁棒性分析（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 第八章 参数摄动系统鲁棒性分析第八章 参数摄动系统鲁棒性分析 8 1 准备准备 Mikhainov 引理 1938 假设 P s是一n次稳定实系数多项式 则 P j 的 相角是R 的严格增函数 且当 0 时 P j 的相角增量是 2 n 证 设 1 n i i P sKsz Re0 i KRz i 记 P 1 1100 nn nnnn sq qsqqsq q Q 0 iiinn p s q qqq qq Kharitonov 定理 1978 区间多项式族P s Q是鲁棒稳定的 iff 如下 4 个 Kharitonov 多项式为稳定的 2345
2、1012345 Ksqq sq sq sq sq s 2345 2012345 Ksqq sq sq sq sq s 2345 3012345 Ksqq sq sq sq sq s 2345 4012345 Ksqq sq sq sq sq s 证 1 必要性显然 因 i Ks P s Q 1 2 3 4i 2 充分性 设0 则 246 0246 maxRe q P jqqqqq Q 34 ReReKjKj 357 1357 maxIm q Q P jqqqqq 23 ImImKjKj 246 0246 minRe q Q P jqqqqq 12 ReReKjKj 357 1357 minIm
3、 q Q P jqqqqq 14 ImImKjKj P 1234 conv jKjKjKjKj Q Rectangle 1 2 4 i Kji 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 注意 此平行四边形的边永远平行于实轴或j 轴 因已假设 i Ks 1 2 3 4i 稳定 由排零原理知 如果 0 P j Q 则P s Q鲁棒稳定 现反设 存在某 0 R 0 P 0 j Q 因 i Ks 1 2 3 4i 均是稳定的 由 Mikhainov 引理知 随着 0 Rectangle 1 2 4 i Kji 会严格单调地绕原点旋转 又因 p jq 是 和 i q的连续函数 而当 0 时 0 P
4、jQ 所以 一定存在 10 0 使 得 原 点 在 1 Rectangle 1 2 4 i Kji 的 边 界 上 假 设 在 1141 KjKj 边上 但因 1 Ks和 4 Ks均为稳定的 由 Mikhainov 引理知 当 从 1 增加时 1 Kj 应进入第三象限 而 4 Kj 应进入第一象限 这使得 14 KjKj 边不平行于实轴了 这与 1 ImKj 4 ImKj 相矛盾 故 0 P j Q R P j Q 3 Kj 1 Kj 4 Kj 2 Kj Re Im 31 Kj 11 Kj 41 Kj 21 Kj Re Im 0 P 1 j Q 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 P
5、 s Q为鲁棒稳定 例 对于区间多项式 P 5432 1 23 45 67 89 1011 12ssssss Q 相应的 Kharitonov 多项式为 2345 1 11 9863Kssssss 2345 2 11 108532Kssssss 2345 3 12 107542Kssssss 2345 4 129764Kssssss 8 3 Edge 定理定理 考虑上图所示系统 其中 c c Ns C s Ds 给定 f s h sh g s h GHH 1 1 T Liii h hhhhhh iL H f g的系数关于h是线性或仿射函数 闭环系统特征多项式族为 cc sDs g sNs f
6、s HHH 因此 闭环系统鲁棒稳定 iff 多项式族 s H鲁棒稳定 注 1 s H不是区间多项式族 2 s h 的系数关于h是仿射的 C s sGH 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 例 考虑 2 s 1 c c Ns C s Ds 1 2 23 f s hsh shh g s hsh sh GHHH 则闭环系统特征多项式为 2 231 32 22313 1 2 1 2 2 cc s hDs g s hNs f s h ssh shsh sh shh shh 例 考虑 2 s 1 c c Ns C s Ds 12 2 122 35 242 f s hshh shh g s hsh
7、hsh GHHH 则闭环系统特征多项式为 2 12212 32 121212 1 24 2235 34 46 612 cc s hDs g s hNs f s h sshh shshh shh shh shh 令 1 10 nn nn s hah sah sah 则 0T iii a hp ha 0 000 0 0 T T nnn ahpa a hhPha ahpa a ha h a HH 立方体 凸多面体 box convexpolytope 凸组合 11 conv 1 1 10 kk ii iii ii t ikt 设 的顶点为 1 2 2L i Hi 则 conv 1 2 2L i H
8、i 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 conv 1 2 2L i aa Hi H conv 1 2 2 L i ss Hi H 称 i s H 为顶点多项式 问题 如何检验 s H的鲁棒稳定性 猜测 1 扩展为区间多项式族 应用 Kharitonov 定理 2 判断所有顶点多项式的稳定性 例 考虑下图所示系统的鲁棒稳定性 其中 2 1 c Nsss 23 124 c Dssss 1 3k K 则 23 124ssss KKKK扩展为区间多项式族 23 2 43 51 3ssss Q 其中 23 43sss 不稳定 但对应于 s K的 Routh 表为 2 112 1 341 0 1
9、 770 2 41 K KK KK K s K鲁棒稳定 扩展为区间多项式族 Kharitonov 定理 保守 仅能作为充分条件 conv 1 3sss K 2323 conv 233 45ssssss c c Ns Ds K 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 例 2 21 c Nsss 32 100 95 80 47 c Dssss 0 1 1k K cc sDsNs KK conv 0 1 1ss 32 32 0 11060 57 1101 97 81 47 ssss ssss 0 1s 稳定 1s 稳定 0 5s 不稳定 顶点多项式稳定不能保证全体稳定 Edge 定理 1988
10、 年 多项式族 10 n n sasasa HHHH conv 1 2 2L i s Hi 当 0 n a H时 鲁棒稳定的充要条件是H的 外露 棱边所对应的多项式区段 1 k jkj Pss qs q 1 2L kji q qH i 0 1 均是鲁棒稳定的 在例 1 中 应考虑 2323 233145ssssss 对所有 0 1 的稳定性 在例 2 中 则应考虑 2323 0 5761011 477 81 910ssssss j Q Re Im 0 j K 23 43jjj 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 对所有 0 1 的稳定性 多项式区段的稳定性 设 10 0 n nn P
11、 sa sa sa a 与之对应的 Hurwitz 矩阵定义为 135 24 13 2 1 0 0 0 00 0 000 nnn nnn nn nn n aaa aaa aa H Paa a a 定理 假设 a g s为稳定多项式 b g s的系数为正 c degdegg sf sg s 则多项式区段 1 0 1g sf s 鲁棒稳定 iff 1 max 1Hg Hfg 其中 max i表示最大正实根 当无正实根时 取 max 0 8 4 Box 定理定理 继续考虑 cc sDs g sNs f s HHH conv 1 2 2L i s Hi 1 L iii h hhhh iL HR con
12、v 1 2 2L i H i 由 Edge 定理检验 s H的鲁棒稳定性 需检查 1 2LL 条多项式区段的稳定性 设7L 则 1 2448 L L 组合爆炸 当s和f的系数分别独立摄动时 则可得到复杂性与摄动参数个数无关的检 验方法 设 0 m i ii i f sq qs Q 0 n i ii i g sp ps P 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 Kharitonov 多项式 1 4 fi fsi K 1 4 gi gsi K Kharitonov 对象 i pifjg j f fsg g KKK Kharitonov 区段 1 1 2 2 3 3 4 1 4 fii fs
13、fsi j S 1 1 2 2 3 3 4 1 4 gii gsgsi j S Kharitonov 区段对象 if spifg fs fsg s g s KKS g spfig i f s f sgs gs KSK fg spspsp KKK 16 16 32 个 Box 定理 1988 年 假设由控制器 c c Ns C s Ds 与受控对象族 00 00 m mm n nn qqsq q f s G s g sppspp Q Q P P 中任意受控对象 f s q g s p 所构成的闭环系统的特征多项式有不变阶次 则该闭环 系统鲁棒稳定 iff C s镇定 sp K 即 iccifg
14、fs Nsg sDsfsg s KS 和 cicfig f sNsgs Dsf sgs SK 为鲁棒稳定 Box 定理说 C s鲁棒镇定 f s g s Q P iff 其鲁棒镇定 32 个 Kharitonov 区段 对象 当 c Ns和 c Ds均为偶数或奇数阶时 C s鲁棒镇定 f s g s Q P iff C s鲁 棒镇定 p K 即同时镇定 16 个 Kharitonov 对象 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 8 5 Mapping 定理定理 当多项式的系数与摄动参数的关系不是线性或仿射的 而是非线性的 1 顶点多项式的稳定 多项式族稳定 2 棱边多项式的稳定 多项式
15、族稳定 例 3 考虑图示反馈控制系统 其中 22 32 12121212 12 31 662 0 3 2 5 0 1 7 0 5 ssr G s sqqsqqsqqq q qqr 闭环系统鲁棒稳定 该系统的闭环系统特征多项式为 322 1212121212 136621s q qsqqsqqsqqq q 其中 12 0 3 2 5 0 1 7 0 5qq Routh 表 12 2 121212 22 2 12 2 1212 11 36621 110 6621 qq qqqqq q qq qqq q 可见Q的顶点或棱边对应的顶点多项式或棱边多项式族的稳定性均不能保 证多项式族的鲁棒稳定 当0 时
16、 Q内不稳定域趋于一点 1 1 对Q进行分割或大量随机抽样 都可能漏掉这一孤立点 而得到错误的结论 2 q 1 q 2 50 3 1 7 不稳定区域 G r y 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 例 4 区间矩阵 ijijijij Aaaaa 或更一般 ij Aaq ij aq是q的仿射函数 iii qq qqq Q 因为一矩阵的特征多项式的系数是其元的多线性函数 由例 3 知 Q的顶 点或边界所对应的顶点 特征 多项式或棱边 特征 多项式都不能保证区间 矩阵的鲁棒稳定性 考虑多项式族 10 n n s qaq saq saq 1 iii qq qqq iL Q 1 L q q q 0 n aq a q aq 设 i a q关于 j q是多线性的 0 1in jL Mapping 定理 convconv 1 2L i aaa Qi QQ 其中 i Q为立方体Q的顶点 其元取值 1 ii q q iL 定理 设 s Q有不变阶数 则其为鲁棒稳定的 if qst Q s q 稳 定且 0conv 1 2 L i jQi R 算法 0 Mapping 定理 排零原理 减少保守性
