《《电动力学》讲义第06章狭义相对论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《电动力学》讲义第06章狭义相对论（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章狭义相对论不同参考系下，物理规律及物理量的变化如何？相相相对对对论论论本本本身身身及其对对对物物物理理理学学学的的的影影影响响响相对论的两个基本原理间隔不变性到洛伦兹变换高速运动引发相对论时空观；间隔、因果律、相对同时性、钟慢尺缩、速度变换相对性原理与重要性：物理规律必须在洛伦兹变换下协变四维时空的张量、协变性电流密度矢量、势矢量、电磁场张量、电磁场不变量能量?动量矢量、质能关系、相对论力学方程、洛伦兹力内 容 提 要?狭义相对论的基本原理?伽利略相对性原理 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?伽利略变换? ? ?
2、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?牛顿定律在伽利略变换下的协变性 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?方程伽利略变换下不协变 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?狭义相对论的基本原理 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?相对论的实验检验 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?小结 ? ? ? ? ?
3、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?洛伦兹变换?方向的相对性原理与空间间隔不变性 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?参考空间的线性变换 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?空间间隔不变性的讨论 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?间隔不变性? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4、? ? ? ? ? ?不同惯性系下时空坐标的线性变换 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由运动的相对性确定变换关系? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由光速不变原理确定变换关系? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?洛伦兹变换? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?小结 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5、 ? ? ? ? ? ? ? ?相对论的时空理论?相对论时空结构? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?时空锥 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?时空关系的绝对分类 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因果律 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?相互作用的最
6、大传播速度 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?类空间隔不存在因果关系 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?同时相对性? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?运动时钟的延缓? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?时钟延缓的相对性 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
7、 ? ? ? ? ? 时钟延缓的绝对性 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 运动尺度的缩短? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 速度变换公式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例一 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例二 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 小结 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?相对论理论的四维形式?洛伦兹变换的四维形式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?四维协变量? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?相对论的多普勒效应和光行差公式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
9、? ? ? ? ? ? ? ? ? ?物理规律的协变性 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?小结 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?电动力学的相对论不变性?四维电流密度矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?电荷守恒定律的四维形式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?四维势矢量? ?
10、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?电磁场张量? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?麦克斯韦方程的协变形式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?电磁场的变换关系 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?四维电磁力密度矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
11、 ? ? ? ? ? ?电磁场的不变量? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?例一：真空中平面波的洛伦兹不变量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例二：匀速运动带电粒子的电磁场 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例三 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 小结 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?相对论力学?能量?动量四维矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?质能公式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?相对论力学方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量?第第第一一一节节节狭狭狭义义义相相相对对对论论论的的的基基基本本本原原原理理理 ?伽利略相
13、对性原理I 亚里士多德：地球是宇宙的中心；它是绝对静止的；I 哥白尼：太阳是宇宙的中心，地球围着太阳转；绝对空间、绝对静止；地球绕太阳转，绝对速度很大，为什么感觉不到？I 伽利略相对性原理：匀速运动的参考系（船）与静止的参考系（船）物理规律完全相同；不存在绝对空间I 牛顿：力学三定律不会对一切参考系都成立，如何选择适合的参考系？ ?绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关，始终保持着相似和不变。? ?绝对的、纯粹的、数学的时间，就其本性来说，均匀地流逝，而与任何外在的情况无关。? 绝对空间与绝对时间是最基本的惯性系，相对绝对空间做匀速平动的参考系通称为惯性系；【定义】 参考系中，所有不受外
14、力作用的物体，都呈匀速直线运动或静止状态，则称为惯性系。? ?伽利略变换I 时间是绝对的：一个事件相对0的时间t0与它相对于的时间t是相同的；I 长度是绝对的：如果相对于静止的间隔具有长度|r2 r1|，那么在相对于运功的0系中，它具有相同的长度|r02 r01|；空间间隔不变设惯性系0相对于以速度v运动，并选x和x0轴沿运动方向x0=x vty0=yz0=zt0=t【推论】 伽利略变换下速度相加，加速度不变。 r0= r v r0= r ?牛顿定律在伽利略变换下的协变性I 牛顿定律 惯性定律：一切物体在不受外力作用时总保持运动状态不变；惯性定律断定了惯性系一定存在； 物体的加速度跟作用力成正
15、比，跟物体的惯性质量成反比；F = m r 两个物体之间的作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上；FAB= FBAI 伽利略相对性原理、伽利略变换以及牛顿定律，三个原理是协调的。从参考系的方程可以导出参考系0中的方程： :F = m r0:F0= m r0I 牛顿定律在伽利略变换下是协变的。 ?方程伽利略变换下不协变不同参考系：电还是磁？光速不变I 电磁相互作用规律（麦克斯韦方程）、相对性原理、伽利略变换，三者不协调 电磁作用规律、相对性原理动系和静系中的光速均为c = (00)1/2 麦克斯韦方程、伽利略变换不同参考系的光速不同c + v 6= cI 三种原理不能同时满足
16、。 相对性原理错了？找到了绝对空间？ 另：波动现象?弹性介质（机械论）?以太学说?I 由大量实验否定了特殊参考系以及以太介质： 迈克尔孙?莫来?实验、微波激射、穆斯堡尔效应I 光速不依赖于观察者所在参考系，也与光源的运动速度无关宋史至和元年五月己丑出天关东南可数寸岁余稍没（公元?） 双星运动实验、超新星爆发、高速运动粒子0作为光源的实验I 伽利略变换有问题?事实上它是洛伦兹变换的低速近似。 ?狭义相对论的基本原理【定义】 如果是惯惯惯性性性系系系，那么任何一个相对于做均匀无转动运动的参考系0也是惯性系；自自自然然然定定定律律律对所有的惯性系都是一致的。我们将这个陈述称为狭狭狭义义义相相相对对对
17、性性性原原原理理理。?爱因斯坦相对论的意义不存在绝对空间包括电磁作用盲人摸球：时空均匀性，?各向同性?【定义】 光速既不依赖于观察者所在的参考系，也与光源的运动速度无关，真空中任意惯性参考系的电磁波传播速度均为c：光速不变原理。时空联系不可分割【推广】 由上述两条原理导出的时空关系称为洛伦兹变换。 ?相对论的实验检验I 横向多普勒?效应实验，证实相对论的运动时钟延缓效应；I 高速运动粒子寿命的测定，证实时钟延缓效应；I 携带原子钟的环球飞行实验，证实狭义相对论和广义相对论的时钟延缓总效应；I 相对论质能关系和运动学的实验检验。原子核能的利用完全证实相对论质能关系。 ?小结I 牛顿定律在伽利略变
18、换下是协变的；I ?方程在伽利略变换下不协变；I 由大量实验否定了特殊参考系以及以太介质；I 狭义相对论的两条基本原理： 狭义相对性原理：自然定律对所有的惯性系都是一致的； 光速不变原理：真空中任意惯性参考系的电磁波传播速度均为c。【习题】 ? ? ?第第第二二二节节节洛洛洛伦伦伦兹兹兹变变变换换换 ?方向的相对性原理与空间间隔不变性I 任意旋转、平移刚体，标记在刚体上的两点所构成间隔不变；相对论前的空间间隔不变性I 选择不同的参考空间，标记在刚体上的两点所构成间隔不变：间隔与坐标选取无关；间隔的投影不是不变量；投影存在最大长度I 在参考空间中以任一点为中心取相等的间隔，所有的等间隔端点构成的
19、轨迹为一球面，该球面同样与坐标选取无关；(x1 x10)2+ (x2 x20)2+ (x3 x30)2= const(x01 x010)2+ (x02 x020)2+ (x03 x030)2= const? ?参考空间的线性变换当间隔很小x也很小时，对x0= (x0 x00)做泰勒展开：x0=Xx0xx+12X,2x0xxxx+ ?将?式代入?式：XXx0xx+12X,2x0xxxx+ 2= Xx2?由于?式对任意(x1,x2,x3)都满足，故此高阶项为零，也即x0必须是x的线性函数：x0= a+Xbxax0=Xbxa? ?空间间隔不变性的讨论I 由于空间间隔不变性，可以设某一间隔为单位长度，
20、才使得量杆有意义；I 当x参考系与x参考系选取相同的量杆时，变换?为线性正交变换；I 与间隔相类似的，所有这些变换无关量，也只有这些量，在欧几里得几何学中才具有客观意义；I 标量、矢量、张量在空间变换中保持不变；I 方向的相对性原理? ? ?蕴含了空间是均匀?的且各向同性?的；I 变换?描述了空间的各向同性与均匀性。? ?间隔不变性某时刻从?点发出的光在另一时刻在点?被接收到，由光速不变原理可知：时空不可分两个惯性系与0中，不失一般性设事件一在与0中均用?0,0,0,0?表示；坐标平移即可办到在与0中测出的光速都为c，即：x2+ y2+ z2= c2t2x02+ y02+ z02= c2t02
21、取s02= c2t02 x02 y02 z02= 0s2= c2t2 x2 y2 z2= 0s2在选取不同参考系下保持不变；间隔不变性（续）【推广】 如果s2= c2t2 x2 y2 z26= 0在时空变换下是不变量?这是一个更宽的条件?，那么s2= 0这个条件就总是可以满足。事实上经由洛伦兹变换可知的确如此。【定义】 两事件?x1,y1,z1,t1?与?x2,y2,z2,t2?的间隔为s2= c2(t2 t1)2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2【间隔不变性】 不同参考系下两事件的时空间隔保持不变：注意负号的意思因子只与速度的绝对值有关，与方向无关，故正反变换相同，A2=
22、 1s2= s02?间隔是把时间与空间距离统一起来的一个概念。原来的不变量变成了投影 ?不同惯性系下时空坐标的线性变换I 如前空间间隔不变性所述，经类比可知：惯性系间的时空变换是线性的；I 惯性系的概念本身要求从一惯性系到另一惯性系的时空坐标变换必须是线性的： 系中匀速运动的物体在0系也是匀速运动：x = x(t)以及x0= x0(t0)的线性关系要求从?x,t?到?x0,t0?的变换式必须是线性的。I 狭义相对性原理假定了空间是均匀且各向同性的，时间是均匀的： 由此可知惯性系间的时空变换只能是线性变换。两坐标架原点重合（平移）x0=a00x + a01y + a02z + a03ty0=a1
23、0x + a11y + a12z + a13tz0=a20x + a21y + a22z + a23tt0=a30x + a31y + a32z + a33t?不同惯性系下时空坐标的线性变换（续）为简单计，选两坐标系的x轴和x0轴都沿相对运动方向，两个y轴与z轴互相平行：x0=x + ty0=yz0=zt0=x + t其中,为常数与坐标系间相对运动速度v有关。 ?由运动的相对性确定变换关系设0系对系的速度为v，在0系中静止的点，即：dx0= dy0= dz0= 0它们对系的速度都为vdxdt= = v考虑到运动的相对性，在系中静止的点dx = dy = dz = 0在0系的速度都为vdx0dt
24、0= v = 由运动的相对性确定变换关系（续）设： = ，故变换式可写为：x0=(x vt)y0=yz0=zt0=(x + t)?【讨论】I 如果先验地认为时间是与参考系无关的，即它是绝对的，这意味着取 = 1及 = 0，相应导出的就是伽里略变换；I 要否定伽里略时空变换，就是要抛弃绝对时间的概念。 ?由光速不变原理确定变换关系将变换式?带入间隔不变性?式，可得：c22(t x)2 2(x vt)2= c2t2 x2比较系数可得：?c22 v22= c2c222 2= 12c22 2v2 =vc2 =1q1 v2c2加入光速不变性的要求后，新的时空变换式完全确定了。 ?洛伦兹变换x0=x vt
25、q1 v2c2y0= yz0= zt0=t vc2xq1 v2c2?由相对性原理，v v可得到反变换名字的由来x =x0+ vt0q1 v2c2y = y0z = z0t =t0+vc2x0q1 v2c2? ?小结I 在相对论前物理学中，有方向的相对性原理与空间间隔不变性； 方向的相对性原理蕴含了空间是均匀的且各向同性的； 空间间隔不变性使得不同参考空间的变换为线性变换关系；I 不同参考系下两事件的时空间隔保持不变：间隔不变性； 间隔是把时间与空间距离统一起来的一个概念；I 不同惯性系下时空坐标变换是线性变换； 狭义相对性原理假定了空间是均匀且各向同性的，时间是均匀的； 光速不变性原理说明时空
26、不可分割；I 给出了不同惯性系间的洛伦兹变换关系；【习题】 ? ? ?摘录【自然科学的目的】 一切科学，不论是自然科学抑或心理学，其目的都在于使我们的经经经验验验互相协调并将它们纳入?个逻辑体系。?爱因斯坦相对论的意义【关于时间】 个体的经验是以事件序列的形式呈现在我们面前的。在这个序列里我们记忆中的各个事件看来是依照?早?和?迟?的标准排列的，而对于这个标准则不能再做进一步的分析了。因此，对于个体来说，就存在着一个?我?的时间?，或曰?主观时间? ?，这个时间本身是不可测度的将一个时钟所指出的事件顺序和既定事件序列的顺序相比较，我就能用这个时钟来定义这种联系。我们将时钟理解成提供了一连串可以
27、计数的事件的东西?爱因斯坦相对论的意义【关于空间】 将物体?，?，附加到物体?上去可以形成新的物体，我们说我们延延延伸伸伸了物体?。我们可以这样延伸物体?，使其与任意其他物体?相接触。物体?的所有延伸的集合，我们可以定义为?物体?的空间?。在日常生活中，当我们要判定物体的相对位置时，地壳扮演了一个如此重要的角色，它导致了一个抽象的空间概念空间的概念是从刚体中抽象出来的?爱因斯坦相对论的意义【刚体与几何学】 在相对论前物理学? ?里，假设理想刚体位形的定律是符合于欧几里得几何学? ?的。它的意义可以表述如下：标记在刚体上的两点构成一个间隔。?爱因斯坦相对论的意义【几何学与物理】 几何学是与实物（
28、刚体）相联系的，它的定理就是对这些实物的行为所作的陈述通常人们习惯于离开那些概念与经验之间的任何联系来研究几何学。把那些纯逻辑的并且与在原则上不完备的经验论无关的东西分离出来，是有益的。这样能使纯数学家满意。如果能从公理中正确地（即无逻辑错误地）推导出定理来，他就心满意足了。至于欧几里得几何学究竟是否真确之类的问题，他并不关心。但是，对于我们的目的来说，必须将几何学的基本概念与自然对象联系起来；没有这样的联系，几何学对于物理学家毫无用处可言。物理学家所关心的是几何学定理究竟是否真确之类的问题。?爱因斯坦相对论的意义【时间与光速不变】 由于未加论证就把时间概念建立在光传播定律基础之上，从而使光传
29、播在理论中处于中心地位，狭义相对论遭到了许多批评。然而，情况实际上大致是这样的：为了赋予时间概念以物理意义，我们需要某种能够在不同地点之间建立起联系的过程。至于为这样一种时间定义具体选择什么样的过程则并不重要。然而，选择那些我们已有所了解的过程显然对理论会更有益一些：由于麦克斯韦和洛伦兹的工作，我们对光在真空中传播过程的了解，比其他任何可以想到的过程都要清楚。?爱因斯坦相对论的意义?第第第三三三节节节相相相对对对论论论的的的时时时空空空理理理论论论从今以后，空间本身和时间本身都已成为阴影，只有两者的结合才能独立存在。?闵可夫斯基 ?相对论时空结构设第一事件为空时原点O(0,0,0,0)，第二事
30、件空时坐标为P(x,y,z,t)，这两事件的间隔为与三维空间不同之处在于负号！s2= c2t2x2y2z2= c2t2r2依s2的大小分类I 【类时间隔】 s2 0也即ct r，两事件可用低于光速的作用来联系；一般生活经验中都是类时间隔I 【类空间隔】 s2 ct，两事件的空间距离超过光波在时间t所能传播的距离；类空间隔需要很大的r或者很小的t，最为典型t = 0I 【类光间隔】 s2= 0也即r = ct，两事件可以用光波联系；由间隔不变性可知，上述三种间隔的划分是绝对的，不因参考系变换而改变。 ?时空锥暂取二维空间和一维时间一起构成三维时空：考虑几何特性，直观图象表示事件用这三维时空的一个
31、点P表示。P点在xy面上的投影表示事件发生的地点，P点的垂直坐标表示事件ct。所有与O点以光波联系的点构成以O为顶点的锥面：光锥；I 【类光间隔】 s2= 0 P点在光锥之上；I 【类时间隔】 s2 0 P点在光锥之内；I 【类空间隔】 s2 0 P点在光锥之内； 可以通过洛伦兹变换使得O、P两点同地不同时； 【定义】 和物体一起运动的钟所给出的时间为原时或固有时，记为d。 类时区域包括两部分，由洛伦兹变换保持时间正向不变，因此这两部分不能互相变换；? 绝对未来，即P在O的上半光锥内；? 绝对过去，即P在O的下半光锥内；I 【类空间隔】 s2 t1；用洛伦兹变换到另一参考系0上，这两事件用?x
32、01,t01?和?x02,t02?表示；【求证】 t02 t01【证明】 由洛伦兹变换t0=t vc2xq1 v2c2因果律（续）t02 t01=t2 t1vc2(x2 x1)q1 v2c2=(t2 t1)q1 v2c2?1 vc2x2 x1t2 t1=(t2 t1)q1 v2c2c2 vuc2由于实验证明：物质运动的最大速度不能超过光速c；一切相互作用传播的极限速度为真空中的光速c：u c；在0系中静止的物体，相当于在系以速度v匀速运动，故v c；u c,v uvt02 t01 0 ?相互作用的最大传播速度I 关联事件的四维间隔一定是类时间隔，也只有类时间隔的两事件才存在因果律；I 物质运动
33、、相互作用的最大极限速度为光速c 因果关系的绝对不变性；I 因果律的存在物质运动、相互作用的最大极限速度为光速c；I 相对论与因果律不矛盾；? ?类空间隔不存在因果关系【已知】 在参考系上的两事件?x1,t1?和?x2,t2?有类空间隔|x2 x1| c|t2 t1|；【求证】 该两事件不存在绝对的先后次序；【证明】 类时间隔存在因果关系，但类空间隔r ct，故两事件不存在任何联系方式；不失一般性，假设在系中，t2 t1由洛伦兹变换可得在0系中：t02 t01=t2 t1vc2(x2 x1)q1 v2c2= (t2 t1)q1 v2c2uc2?v c2u类空间隔不存在因果关系（续）当v c2u
34、 0时，t02 运动时钟的延缓（续）【回顾】 和物体一起运动的钟所给出的时间为原时或固有时，记为d。【定义】 运动物体上发生的自然过程比起静止物体的同样过程延缓了?时间延缓效应。I 时间延缓效应是时空的基本属性引起的，与钟的具体结构无关。I 时间延缓效应的本质在于时间只是不变间隔的投影而已。I 物体运动速度愈大，延缓效应越显著。I 时间延缓效应只依赖于速度，而不依赖于加速度； ?时钟延缓的相对性【已知】 在系上相距为l的两点上有对准了的时钟C1和C2，在系上观察以速度v运动的时钟C0。设当C0经过C1时，C0、C1、C2都指着时刻0；当C0经过C2时，系上的钟都指着时刻lv；【求解】 ? 当C
35、0经过C2时C0指向什么时刻？? 从0系观察，C2所示的经过时间为多少？【解】 当C0经过C2时，C0上的时钟与0系相对静止，应该指向固有时：t =q1 v2c2lv=q1 v2c2 =lvr1 v2c2lv由此说明系上看到运动时钟C0变慢。?时钟延缓的相对性（续一）【另解】 设C0经过C1为事件一P，C0经过C2为事件二Q；在系中，两事件的坐标为：P(0,0)，Q(l,lv)在0系中，两事件的坐标为：P(0,0)，Q(0,)由洛伦兹变换可知： =lvvc2lq1 v2c2=lvr1 v2c2lv两事件的间隔为：s2= c22= c2l2v2 l2= c2l2v2?1 v2c2时钟延缓的相对性
36、（续二）【解】 0上看到C2所指的读数lv大于自己参考系上C0的读数。这是否意味着从0系角度上看，系上的时钟变快了呢？开始时C0与C1同时指着时刻0，但由于同时的相对性，原来在系上对准了的时钟C1和C2在0系上看来不是对准的。在0系中当C0经过C1时，C2所处状态为事件三R；要说某一时刻，必须指出那个参考系！FFF在系中，事件三的坐标为：R(l,)在0系中，事件三的坐标为：R(l0,0)由洛伦兹变换可知：0 = vc2lq1 v2c2 =vc2l时钟延缓的相对性（续三）l0=l vq1 v2c2=l v2c2lq1 v2c2= lr1 v2c2故在0上看到C2所示的经过时间为R(l,)到Q(l
37、,lv)：lv =lv?1 v2c2= r1 v2c2Idt0= t0其中t为C所示的时间，t0为C0所示的时间。【结论】 当时钟C0回到原地直接与C比较时，C0绝对地变慢了。 ?运动尺度的缩短【已知】 物体沿x轴方向运动，以固定于物体上的参考系为0。若物体后端经过P1点（第一事件）与前端经过P2点（第二事件）相对于同时，则P1P2定义为上测得的物体长度；【求解】 运动物体长度与该物体静止长度的关系。投影【解】 在系中，事件一、二的坐标为：(x1,t1)、(x2,t2)在0系中，事件一、二的坐标为：(x01,t01)、(x02,t02)x01=x1 vt1q1 v2c2,x02=x2 vt2q
38、1 v2c2t01=t1vc2x1q1 v2c2,t02=t2vc2x2q1 v2c2由于t1= t2x02 x01=x2 x1q1 v2c2运动尺度的缩短（续）l = l0r1 v2c2【结论】 运动物体的长度比起静止物体的长度缩短了。I 运动尺度的缩短是时空的基本属性引起的，与物质的内部结构无关；I 运动尺度缩短的本质在于空间只是不变间隔的投影而已；?I 物体运动速度愈大，运动尺度缩短效应越显著；I 运动尺度缩短效应是相对的：x2 x1= (x02 x02)1 v2c212t02= t01I 时间延缓与长度缩短是相关的：在不同参考系中可以有不同的描述方法，但最后的物理结论应该是一致的。 ?
39、速度变换公式【已知】 物体相对于系的速度为：ux=dxdt,uy=dydt,uz=dzdt设0系相对于系沿x轴方向以速度v运动，试用洛伦兹变换式，【求解】 物体相对于0系的速度u0=dx0dt0。【解】 洛伦兹变换式x0=x vtq1 v2c2,t0=t vc2xq1 v2c2取两式微分：dx0=dx vdtq1 v2c2=ux vq1 v2c2dtdy0= dy,dz0= dz速度变换公式（续）dt0=dt vc2dxq1 v2c2=1 vc2uxq1 v2c2dtu0x=dx0dt0=ux v1 vuxc2u0y=dy0dt0=q1 v2c21 vuxc2uy,u0z=dz0dt0=q1
40、v2c21 vuxc2uz若物体相对于0系的速度为u0，则其在系的速度为：ux=u0x+ v1 +vu0xc2uxc=u0xc+vc1 +vu0xc2uy=q1 v2c21 +vu0xc2u0y,uz=q1 v2c21 +vu0xc2u0z非相对论极限下?v c,|u| c?即可过渡到经典速度变换：ux u0x+ v,uy u0y,uz u0z? ?例一【证明】 若物体相对于一个参考系的运动速度|u| c，则对任一参考系亦有|u0| c。【证】 设物体在时间dt内的位移为dx，由间隔不变性有：c2dt2 (dx2+ dy2+ dz2) = c2dt02 (dx02+ dy02+ dz02)dx
41、dt= udx0dt0= u0(c2 u2)dt2= (c2 u02)dt02u 0c2 u02 0u0 c ?例二【已知】 固定在介质上的参考系为0。在0上观察，介质中的光速沿各方向都等于cn，其中n为折射率。设0系相对于系沿x轴方向以速度v运动，【求解】 匀速运动介质中的光速。【解】 由前所得相对论速度变换公式为：ux=u0x+ v1 +vu0xc2得沿介质运动方向的光速为：ux=cn+ v1 +vnc当v c时uxcn+?1 1n2v逆介质运动方向传播的光速为：ux=cn+ v1 vnc cn+?1 1n2v ?小结I 空间本身和时间本身都已成为阴影，只有两者的结合才能独立存在；I 由间
42、隔不变性可知，时空间隔可分为绝对的三种：类时、类空、类光间隔；不因参考系变换而改变I 关联事件的先后关系是绝对的，满足因果律； 关联事件的四维间隔是类时间隔，也只有类时间隔的两事件才有因果律； 物质运动、相互作用的最大极限速度为光速c 因果关系的绝对不变性；I 类空间隔的两事件，没有因果关系，存在同时相对性；I 运动物体上发生的自然过程比起静止物体的同样过程延缓了?时间延缓效应；? 和物体一起运动的钟所给出的时间为原时或固有时，记为d； 钟慢效应具有相对性；I 运动物体的长度比起静止物体的长度缩短了；I 给出相对论情况下不同参考系间的速度变换关系；【习题】 ? ? ?第第第四四四节节节相相相对
43、对对论论论理理理论论论的的的四四四维维维形形形式式式 ?洛伦兹变换的四维形式引入复四维空间（闵可夫斯基空间、赝欧几里得空间）：x = x1,y = x2,z = x3,ict = x4洛伦兹变换形式上即为该空间的转动：x01=x1 vtq1 v2c2= x1+ ix4,x04=t vc2x1q1 v2c2= ix1+ x4 =vc, =1q1 v2c2a =00i01000010i00=cos00sin01000010sin00cos?洛伦兹变换的四维形式（续）sin = i,cos = ,tan = i在0系中处于静止状态的物体，在系中以速度v匀速运动；在0系中其世界线为垂直于轴的直线x01
44、= const，在系中其世界线斜角为(2+ )；dx4dx1= tan(2+ )dx1dx4=1icdx1dt=vic= tan洛伦兹逆变换矩阵a1= a =00i01000010i00=cos00sin01000010sin00cos洛伦兹变换满足正交条件 aa = I? ?四维协变量时间与空间统一在复四维空间内，惯性参考系的变换?洛伦兹变换相当于四维空间的转动；零阶张量：在洛伦兹变换下不变，洛伦兹标量、不变量，如间隔、固有时d =dsc等；T0= T一阶张量：四维矢量，如位移dx、四维速度矢量U=dxd、四维波矢量等；速度不是矢量V0= aVU=dxd=dxdtdtd= dxdt= (u1
45、,u2,u3,ic)当v c时前三个分量为速度，其四维长度为c2二阶张量：四维张量，如电磁场张量T0= aaT【定义】 在洛伦兹变换下具有确定的变换性质的物理量（标量、矢量和各阶张量），称为协变量。 ?相对论的多普勒效应和光行差公式相位只是计数问题，不随参考系而变相位是标量 = k x t = k0 x0 0t0= 0= constk0x0= kx= constk=k,ick01=k1vc2k02=k2k03=k30= ( vk1)设波矢量k与x轴方向的夹角为，k0与x轴夹角为0，有k1=ccos,k01=0ccos0k01= ccos vc2= ccos vc相对论的多普勒效应和光行差公式（
46、续一）相对论的多普勒效应0= 1 vccos光行差公式?tan0=1 cos20cos0=s02c2k021 1 =q02 c2k021ck01=q022c2k0212cos vc =q21 vccos2 2cos vc2cos vc=sincos vc若0为光源的静止参考系，0= 0为静止光源辐射角频率，运动光源辐射角频率： =01 vccos?相对论的多普勒效应和光行差公式（续二）当v c时 1，式变为运动光源的经典多普勒效应公式： 01 vccos在垂直于光源运动方向观察辐射时，相对论多普勒效应公式?横向多普勒效应： = 0r1 v2c2经典多普勒效应公式： = 0 ?物理规律的协变性I
47、 【要点】 相对论的要点是断言：一切惯性系在物理上等价。I 【推论】 在不同惯性系中，物理规律应该可以表为相同形式。I 【问题】 基本物理规律应有什么形式，它才符合相对论的要求？I 【回答】 当把物理量用四维张量表示，且相应的物理规律有四维张量方程的形式，则它在惯性系转换中必将保持形式不变。I 【定义】 在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性。I 【例子】 设某方程具有形式F= G其中F和G都是四维矢量。在参考系变换下，方程形式不变：aF= aGF0= G0? ?小结I 时间与空间统一在复四维空间内，惯性参考系的变换?洛伦兹变换相当于四维空间的转动；I 在洛伦兹变换下具有确定的变换性质的物
48、理量（标量、矢量和各阶张量），称为协变量； 间隔、固有时、相位等物理量为洛伦兹标量； 位移、四维速度矢量、四维波矢量等为四维矢量； 电磁场张量为四维张量；I 运动的光源满足相对论的多普勒效应和光行差公式；I 物理规律的方程采用协变的四维形式，就可以满足相对性原理的要求。【习题】 ? ? ?第第第五五五节节节电电电动动动力力力学学学的的的相相相对对对论论论不不不变变变性性性I 相对性原理成立物理学的基本规律应能表成四维张量方程的形式；I 宏观物理的基本规律有两方面： 一切有质量物体所遵循的力学规律； 一切电磁现象所遵循的电动力学规律；I 总结了宏观电磁规律的麦克斯韦方程组适用于任意惯性参考系；
49、电磁规律到底是否符合相对性原理，这不是一个理论问题，而是实践问题； 实验证明：麦克斯韦方程组的推论（真空中光速c不变），对任意惯性参考系成立； 当采用洛伦兹变换，电磁规律与相对性原理是相洽的；伽利略变换不行 麦克斯韦方程组内、J、E、B的变换性质； ?四维电流密度矢量实验表明：电荷Q是一个洛伦兹标量；与速度无关Q =ZdV = const设粒子静止时电荷密度为0，体元为dV0。当粒子以速度u运动，经洛伦兹收缩后的体元为dV =r1 u2c2dV0由总电荷保持不变0dV0= dV ，可知运动粒子的电荷密度：? =0q1 u2c2= u0?以速度u运动的粒子，其电流密度为：J = u = u0u?
50、已知四维速度U= (u1,u2,u3,ic)，综合?式与?式可合成四维矢量：J= 0U= 0u(u,ic) = (u0u,icu0) = (J,ic) ?电荷守恒定律的四维形式电流密度四维矢量J= (J,ic)电荷守恒定律： J +t= 0电荷守恒定律四维形式为：Jx=J1x1+J2x2+J3x3+(ict)(ic) = 0?式?左侧为两个四维矢量的点积?洛伦兹标量，故其显然具有协变性。由于相对论中时空的统一，使得非相对论中的不同物理量显示出其统一性。如四维波矢量、势矢量如电流密度四维矢量：当粒子静止时，只有电荷密度；当粒子运动时，表现出有电流J，同时电荷密度亦相应地改变；和J是一个统一物理量
51、的不同方面；当参考系变换时和J拥有确定的变换关系； ?四维势矢量用势表示的电动力学基本方程组为达朗贝尔方程：洛伦兹规范2A 1c22At2= 0J,2 1c22t2= 0 A +1c2t= 0【定义】 形如式?的微分算符是洛伦兹标量算符，称为达朗贝尔算符： 21c22t2=xx?A = 0J, = 0= 0c2 = ic0(ic)考虑A和合为一个四维势矢量：注意量纲A=?A,ic?四维势矢量（续）协变的四维势方程为：A= 0J洛伦兹条件的四维形式为： A +1c2t= A +(ic)(ict)=Ax= 0该方程同样具有协变性。四维势矢量不同参考系下的变换公式为：A0= aAA0x=(Axvc2
52、)A0y=AyA0z=Az0=( vAx) ?电磁场张量B = A,E = AtB1=A3x2A2x3,B2=A1x3A3x1,B3=A2x1A1x2?E1= x1A1t= icicx1 icA1 (ict)= ic?A4x1A1x4?E2= ic?A4x2A2x4,E3= ic?A4x3A3x4?引入一个反对称四维张量F=AxAx电磁场张量（续）由式?与?、?式可知，电磁场构成一个四维张量F=0B3B2icE1B30B1icE2B2B10icE3icE1icE2icE30? ?麦克斯韦方程的协变形式利用电磁场张量把三维的麦克斯韦方程组写为明显的协变形式： E =0, B = 00Et+ 0J
53、Fx= 0J? = 4或 = 1, 2, 3 B = 0, E = BtFx+Fx+Fx= 0? = 1, 2, 3, 4 ?电磁场的变换关系由张量变换关系F0= aaF导出电磁场的变换关系：E01= E1B01= B1E02= (E2 vB3)B02= (B2+vc2E3)E03= (E3+ vB2)B03= (B3vc2E2)?其紧致形式为：E0k= EkB0k= BkE0= (E + v B)B0= B vc2 E?式中k和分别表示与相对速度v平行和垂直的分量。当v c时，?式过渡到非相对论电磁场变换式：E0= E + v B,B0= B vc2 B ?四维电磁力密度矢量I 由电荷和电流
54、产生电磁场的规律是满足相对性原理；I 电磁场对电荷和电流的作用规律也应当满足相对性原理；由电磁场张量F和四维电流密度矢量J构成新的四维矢量f：电磁力密度矢量：f= FJ= (f,f4)f = E + J B,f4=icJ E =icw?其空间分量f即为洛伦兹力密度；其第四分量f4中的w即为电磁场对电荷系统作功的功率密度：洛伦兹力密度和功率密度都满足相对论协变性要求；电磁场的能量密度、能流密度S、动量密度g以及动量流密度T 共同构成电磁场的四维动量能量张量；T=TicSicg# ?电磁场的不变量由电磁场张量F的双重内积，可得洛伦兹标量：12F :F =12FF= B21c2E2已知四阶勒维?契维
55、塔（排列）符号的性质：deta = a1a2a3a4= 1故可证明构成四阶四维全反对称张量：0= aaaa= (deta)= 由此可得：另一个由电磁场张量构成的洛伦兹不变量：i8FF=1cB E ?例一：真空中平面波的洛伦兹不变量真空中的平面波有|B| =flflflflEcflflflflB21c2E2= 0电场能量和磁场能量相等；B =1cek E1cB E = 0E和B的偏振方向互相垂直；这两条性质都保持洛伦兹不变。【结论】 在任意惯性系上，平面电磁波都有|B| =flflEcflfl及E和B正交。 ?例二：匀速运动带电粒子的电磁场【已知】 匀速运动的带电粒子的速度为v，电量为e；【求解
56、】 求此带电粒子形成的电磁场。【解】 选择参考系0固定在粒子上：此时只有静电场E0=ex040r03,B0= 0?设在参考系上观察，粒子以速度v沿x轴方向运动；经由?式的反变换可得：Ex=ex040r03Bx= 0Ey= ey040r03By= vc2ez040r03Ez= ez040r03Bz= vc2ey040r03例二：匀速运动带电粒子的电磁场（续一）设粒子经过系原点的时刻t = 0。在系的同一时刻观察各点上的场值，x0= x,y0= y,z0= z由于x0e1+ y0e2+ z0e3= xr02= 2x2+ y2+ z2=x21 2+ y2+ z2=11 2r2 2y2 2z2=11
57、2(1 2)r2+ 2x2可得：E =?1 v2c2ex40h1 v2c2r2+vxc2i32B =vc2 E例二：匀速运动带电粒子的电磁场（续二）当v c时略去vc2项，可得：E =ex40r3= E0B =vc2 E0=0ev x4r3=04J xr3【结论】 低速运动的带电粒子产生的电磁场可由库仑定律与毕奥?萨伐尔定律描述；当v c时在与v垂直的方向上（v x = 0）：E = ex40r3? E0当v c时在与v平行的方向上（y = z = 0）：与E0k= Ek有不同在于尺缩效应E =?1 v2c2ex40r3 E0?B =vc2 E 1cex E例二：匀速运动带电粒子的电磁场（续三
58、）【结论】 高速运动?v c?的带电粒子产生的电磁场的性质：I 平行于运动方向的电场远小于静电场；I 电场趋向于集中在与v垂直的平面上；I 磁场B与E正交，类似于平面电磁波中B与E的关系；I 高速运动带电粒子的电磁场类似于在一个横向平面上的电磁脉冲波； ?例三【已知】 系中只有一均匀电场E，而没有磁场；【求解】 0系在同一情况下看到什么？【解】 当E与v平行，即v E = 0，故E0k= EkB0k= Bk= 0E0= (E + v B)= 0B0= B vc2 E= 0即：0系中看到的结果与0系完全一样；当E与v垂直，故：E0k= Ek= 0B0k= Bk= 0E0= (E + v B)=
59、EB0= B vc2 E= vc2 E例三（续）E0= E,B0= vc2 E【结论】 在0系中看到：I 既有均匀电场E0，又有均匀磁场B0； 电磁场是一个整体，而电场或磁场都同一物质的两个方面； 电场、磁场量纲不同是历史的原因造成的；I 电场E0、磁场B0以及速度v两两相互正交；I 电磁场不变量：B21c2E2= 1c2E2 0；I 电磁场不变量：1cB E = 0；? ?小结I 电动力学基本规律对任意惯性参考系成立；I 四维电流密度矢量、势矢量、电磁力密度矢量、电磁场张量以及电磁场动量能量张量，反映出电磁场的统一性和相对性：电场和磁场是一种物质的两个方面；I 当参考系变换时，各四维张量按确
60、定的关系变换；I 电荷守恒定律、达朗贝尔方程、麦克斯韦方程组、洛伦兹力公式均满足相对论协变性要求，对任意惯性参考系成立；I 由电磁场张量给出了不同惯性系下的电磁场变换关系；I 给出了两个电磁场不变量：B21c2E2与1cB E。【习题】 ? ? ?第第第六六六节节节相相相对对对论论论力力力学学学相对论力学的两个必要条件I 相对论力学规律必须满足洛伦兹变换的协变性；I 当速度v c时相对论力学应该合理地过渡到经典力学； ?能量?动量四维矢量p= m0Up = m0v =m0vq1 v2c2,p4= icm0=icm0c2q1 v2c2=icWW =m0c2q1 v2c2= m0c2p= (p,i
61、cW)pp= m20c2= constW2= p2c2+ m20c4 ?质能公式I 质点的m0c2项是否确实是能量： 静止能量m0c2项的出现是相对论协变性要求的结果； 质点的静止质量能否发生变化； 如其发生变化，它的增减是否会导致其他能量的增减，即是否服从能量守恒定律；?I 质能关系是相对论最重要的推论之一； 一定质量的粒子具有一定的内部运动能量； 带有一定内部运动能量的粒子就表现出有一定的惯性质量；I 运动质量m才是惯性质量，静止质量m0是粒子的基本属性之一；m = m0=m0q1 v2c2p = mv,W = mc2 ?相对论力学方程引入四维力矢量KK=dpd= (K,K4) =?K,icK vicK4=dWd=c2Wp dpd= v dpd= K vK =dpd,K v =dWdF =r1 v2c2KK = F相对论力学方程：F =dpdt,F v =dWdt相对论力学方程（续）I 力F等于动量变化率，力F所作的功率等于能量变化率；I p和W是相对论的动量和能量；I 只有在低速运动情形下力F才等于经典力；I F不是一个四维矢量的分量；【习题】 ? ? ?第第第七七七节节节带带带电电电粒粒粒子子子的的的拉拉拉格格格朗朗朗日日日量量量和和和哈哈哈密密密顿顿顿量量量（略）?
