应用随机过程PPT幻灯片课件

《应用随机过程PPT幻灯片课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用随机过程PPT幻灯片课件（290页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、应用随机过程 ApplicationofStochasticProcesses 范爱华 数理科学与工程学院应用数学系 1 函数与极限 成功的道路并不拥挤 的人并不是很多 因为坚持到最后 2 函数与极限 教材 应用随机过程 主要教学参考书 张波张景肖编中国人民大学出版社 3 函数与极限 参考书 4 函数与极限 5 函数与极限 6 函数与极限 第1章预备知识 1 1概率空间 在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现象 大体上分为两类 必然现象和随机现象 具有随机性的现象 随机现象 对随机现象的观察或为观察而进行的实验 随机试验 随机试验的结果 基本事件或样本点 所有可能的结果称为样本空间 A称为

2、事件 有3个特征 7 事件的性质假设A B C是任意事件 则他们满足 1 交换律 2 结合律 3 分配律 4 对偶原则 DeMorgan律 8 函数与极限 定义1 1 9 性质假 10 函数与极限 例1 1 例1 2 例1 3 11 函数与极限 随机试验 掷一枚骰子 观察出现的点数 思考题 12 函数与极限 定义1 2 结论 13 函数与极限 定义1 3 14 函数与极限 定义1 4 15 函数与极限 例1 1 16 函数与极限 概率的基本性质 单调性 次可列可加性 17 函数与极限 18 函数与极限 事件列极限1 结论 19 函数与极限 定理 具体情况 20 函数与极限 事件列极限2 定义1

3、 5 的下极限 的上极限 21 函数与极限 例1 2 关系 含义 22 函数与极限 例1 3 23 函数与极限 1 2随机变量和分布函数 随机变量 用实数来表示随机实验的各种结果 定义1 6 关于随机变量的几点说明 24 函数与极限 25 函数与极限 定理1 1 26 函数与极限 定义1 7 分布函数的含义 分布函数的性质 27 函数与极限 随机变量的类型 离散型 连续型 多维随机变量 d维随机向量 28 函数与极限 多维随机变量联合分布函数 性质 29 函数与极限 一些常见的分布 1 离散均匀分布 分布列 2 二项分布 分布列 3 几何分布 分布列 30 函数与极限 4 Poisson分布

4、分布列 参数为的Poisson分布 5 均匀分布 6 正态分布 31 函数与极限 7 分布 函数的性质 32 函数与极限 8 指数分布 9 分布 10 d维正态分布 略 33 函数与极限 34 函数与极限 1 3数字特征 矩母函数与特征函数 一 数字特征 定义1 8 X的一阶矩 35 函数与极限 36 函数与极限 二 Rieman Stieltjes积分 Rieman Stieltjes积分 37 函数与极限 注 38 函数与极限 R S积分性质 可加性 注 39 函数与极限 40 函数与极限 四 矩母函数与特征函数 1 矩母函数 momentgeneratingfunction 定义1 9

5、41 函数与极限 矩母函数的性质 42 函数与极限 2 特征函数 characteristicfunction 复随机变量 定义1 10 复随机变量的数学期望 43 函数与极限 特征函数的性质 有界性 共轭对称性 44 函数与极限 45 函数与极限 例3 1 例3 2 例3 3 例3 4 例3 5 46 函数与极限 作业题 47 函数与极限 1 4条件概率条件期望独立性 一 条件概率 1 定义 1 基本公式 定理1 乘法公式 48 函数与极限 定理2 全概率公式 定理3 Bayes公式 49 函数与极限 二 独立性 1 定义 50 函数与极限 注1 两两独立并不包含独立性 例 51 函数与极限

6、 注2 我们有 52 函数与极限 2 独立性的性质 定理4 推论1 推论2 53 函数与极限 定理5 54 函数与极限 定理6 55 函数与极限 四 条件期望 1 边缘分布 称X Y独立 56 函数与极限 57 函数与极限 2 条件分布函数 58 函数与极限 3 条件数学期望 异同 59 函数与极限 60 函数与极限 61 函数与极限 定义 62 63 函数与极限 64 函数与极限 定理 例2 65 函数与极限 五 独立随机变量和的分布 卷积公式 称为的卷积 66 函数与极限 注 结合律 分配律 67 函数与极限 68 函数与极限 69 函数与极限 70 函数与极限 71 函数与极限 72 函

7、数与极限 73 函数与极限 第2章随机过程的基本概念和基本类型 2 1基本概念 在概率论中 我们研究了随机变量 维随机向量 在极限定理中 我们研究了无穷多个随机变量 但局限 在它们相互独立的情形 将上述情形加以推广 即研究 一族无穷多个 相互有关的随机变量 这就是随机过程 定义2 1 设 是一概率空间 对每一个参数 是一定义在概率空间 上的随机 变量 则称随机变量族 为该概率 空间上的一随机过程 称为参数集 74 随机过程的两种描述方法 用映射表示 即 是一定义在 上的二元单值函数 固定 是一定义在样本空间 上的函数 即为一随机变量 对于固定的 是一个 关于参数 的函数 或称随机 过程的一次实

8、现 记号 通常称为样本函数 有时记为 或简记为 参数 一般表示时间或空间 参数常用的一般有 75 函数与极限 1 2 3 当参数取可列集时 一般称随机过程为随机序列 随机过程 可能取值的全体所构成的集合 称为此随机过程的状态空间 记作S S中的元素 称为状态 状态空间可以由复数 实数或更一般的 抽象空间构成 76 函数与极限 77 函数与极限 随机过程分为以下四类 1 离散参数离散型随机过程 2 连续参数离散型随机过程 3 连续参数连续型随机过程 4 离散参数连续型随机过程 78 函数与极限 以随机过程的统计特征或概率特征的分类 一般有 独立增量过程 Markov过程 二阶矩过程 平稳过程 更

9、新过程 Poission过程 维纳过程 鞅 79 函数与极限 随机过程举例 例2 1 例2 2 抛掷一枚硬币 样本空间为 定义 随机过程 80 函数与极限 例2 3 81 函数与极限 2 2有限维分布与Kolmogvrov定理 一 随机过程的分布函数 1 一维分布函数 82 函数与极限 2 二维分布函数 83 函数与极限 3 n维分布函数 84 函数与极限 4 有限维分布族 称为有限维分布族 5 有限维分布族的性质 1 对称性 85 函数与极限 2 相容性 注1 随机过程的统计特性完全由它的有限维分布族决定 注2 有限维分布族与有限维特征函数族相互唯一确定 问题 一个随机过程 是否描述了该过程

10、的全部概率特性 的有限维分布族 86 函数与极限 定理 Kolmogorov存在性定理 设分布函数族 满足以上提到的对称性和相容性 则必有一随机过程 恰好是 的有限维分布族 即 定理说明 的有限维分布族包含了 的所有概率信息 87 函数与极限 例2 4 88 函数与极限 例2 5 89 函数与极限 90 函数与极限 二 随机过程的数字特征 1 均值函数 随机过程 假设是存在的 的均值函数定义为 2 方差函数 随机过程 的方差函数定义为 91 函数与极限 3 自 协方差函数 92 函数与极限 4 自 相关函数 93 函数与极限 5 互 协方差函数 6 互相关函数 94 函数与极限 7 互不相关

11、8 特征函数 为随机过程 的有限维特征函数族 记 95 例2 6 例2 7 96 函数与极限 作业1 97 函数与极限 2 3随机过程的基本类型 一 严平稳过程 定义1 98 函数与极限 二 严平稳过程的特点 则 99 函数与极限 三 宽平稳过程 简称平稳过程 定义2 100 函数与极限 注1 注2 101 函数与极限 例2 8 例2 9 102 函数与极限 四 平稳过程相关函数的性质 性质1 性质2 结论 性质3 103 函数与极限 性质4 注 104 函数与极限 定义 注 性质5 性质6 性质7 105 函数与极限 性质8 性质9 例2 10 106 函数与极限 五 独立增量过程 定义1

12、例2 11 107 函数与极限 定义2 108 函数与极限 六 遍历性定理 109 函数与极限 110 函数与极限 111 函数与极限 定义1 112 函数与极限 定义2 113 函数与极限 例2 12 114 函数与极限 例2 13 115 函数与极限 定理2 2 均值遍历性定理 116 函数与极限 推论2 1 推论2 2 117 函数与极限 定理2 2 协方差函数遍历性定理 118 函数与极限 作业1 作业2 书第二章习题2 6 作业3 119 函数与极限 第3章Poisson过程 3 1Poisson过程 定义3 1 120 121 函数与极限 Poission过程是计数过程 而且是一类

13、最重要 应用广泛的计数过程 它最早于1837年由法国数学家Poission引入 122 函数与极限 定义3 2 123 例3 1 解 见板书 124 函数与极限 定义3 2 一计数过程 是独立增量及平稳增量过程 即任取 相互独立 125 函数与极限 定义3 2 的解释 126 函数与极限 127 函数与极限 定理3 1 由增量平稳性 记 I 情形 因为 我们有 另一方面 128 函数与极限 代入上式 我们有 令 我们有 II 情形 因为 129 函数与极限 故有 化简并令 得 两边同乘以 移项后有 当 时 有 130 函数与极限 由归纳法可得 注意 因此 代表单位时间内事件 出现的平均次数 1

14、31 函数与极限 由归纳法可得 注意 因此 代表单位时间内事件 出现的平均次数 132 函数与极限 133 例3 2 134 函数与极限 例3 3 135 函数与极限 例3 4 136 函数与极限 作业1 作业2 书第三章习题3 5 3 6 3 10 137 函数与极限 3 2Poisson过程相联系的若干分布 138 函数与极限 复习 1 指数分布 2 无记忆性 139 函数与极限 定理3 2 结论 140 函数与极限 定义3 3 注 141 例3 5 见书例3 4 142 函数与极限 例3 6 143 函数与极限 定理3 3 证明 见板书 144 函数与极限 引理 145 函数与极限 14

15、6 函数与极限 原因 注 147 函数与极限 定理3 4 148 函数与极限 例3 7 见书例3 5 149 函数与极限 例3 8 见书例3 6 150 函数与极限 3 3Poisson过程的推广 一 非齐次Poisson过程 151 函数与极限 定义3 4 过程有独立增量 152 函数与极限 定义3 5 注2 定义3 4与定义3 5是等价的 注1 我们称m t 为非齐次poisson过程的均值或强度 153 定理3 5 注3 用此定理可以简化非齐次Poisson过程的问题到齐次Poisson过程中进行讨论 另一方面也可以进行反方向的操作 即从一个参数为的Poisson构造一个强度函数为的非齐

16、次Poisson过程 定理3 5 一般了解 154 例3 9 见书例3 7 155 函数与极限 二 复合Poisson过程 定义3 6 物理意义 如 表示粒子流 156 函数与极限 例3 10 见书例3 8 157 函数与极限 例3 11 见书例3 9顾客成批到达的排队系统 158 函数与极限 定理3 6 159 函数与极限 例3 12 见书例3 10 160 函数与极限 作业1 作业2 参考例3 12 见书例3 10 作业3 见书习题3 12 161 函数与极限 第5章Markov过程 5 1基本概念 直观意义 1 Markov链的定义 162 定义5 1 163 函数与极限 定义5 2 定义5 3 2 转移概率 164 函数与极限 注 有定义5 1知 165 函数与极限 166 函数与极限 转移矩阵的性质 定义5 4 167 函数与极限 2 Markov链的例子 带有一个吸收壁的随机游动 特点 当 就停留在零状态 此时 是一齐次马氏链 其状态空间为 一步转移概率为 注意 状态为马氏链的吸收状态的充要条件是 例5 1 168 函数与极限 带有两个吸收壁的随机游动 此时 是一齐次马氏链