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1、 双曲线的简单几何性质 襄安中学李向林 o Y X 关于X Y轴 原点对称 a 0 0 b c 0 A1A2 B1B2 x a y b F1 F2 A1 A2 B2 B1 复习椭圆的图像与性质 上述性质其研究方法各是什么 双曲线的标准方程 形式一 焦点在x轴上 c 0 c 0 形式二 焦点在y轴上 0 c 0 c 其中 复习 Y X F1 F2 A1 A2 B1 B2 焦点在x轴上的双曲线图像 2 对称性 一 研究双曲线的简单几何性质 1 范围 关于x轴 y轴和原点都是对称 x轴 y轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心 又叫做双曲线的中心 x y x y x y x y 课堂新授 3 顶点 1
2、双曲线与对称轴的交点 叫做双曲线的顶点 M x y 4 渐近线 N x y 慢慢靠近 证明 双曲线的渐近线方程为 这一部分的方程可写为 设M x y 是它上面的点 N x Y 是直线上与M有相同横坐标的点 则 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明 N M Q 如何根据双曲线的标准方程确定双曲线的渐近线方程 方法一 几何法 矩形对角线所在直线 方法二 把双曲线标准方程中等号右边的1改为0 就得到了双曲线的渐近线方程 反过来 能否由渐近线方程确定双曲线的标准方程呢 这样的双曲线是否是唯一的 探求 以为渐近线的双曲线有哪些 双曲线的渐近线方程为 观察它们形式上的联系 已知渐近线方程 不能确定a b的
3、值 只能确定a b的关系 如果两条渐近线方程为 那么双曲线的方程为 当 0时 当 0时 当 0时 这里 是待定系数 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴 虚轴为实轴 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 通过分析曲线的方程 发现二者具有相同的渐近线 此即为共轭之意 双曲线焦点在x轴上 双曲线焦点在y轴上 即为双曲线的渐近线方程 1 性质 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 2 如何确定双曲线的共轭双曲线 将1变为 1 根据以上四项性质 能较准确地画出双曲线的图形吗 练习 画出双曲线的草图 双曲线的开口大小有没有限制 向远处伸展有没有约束范围 当x 时 方程近似变为 即双
4、曲线上的点无限接近直线 5 离心率 离心率 c a 0 e 1 e是表示双曲线开口大小的一个量 e越大开口越大 1 定义 2 e的范围 3 e的含义 4 等轴双曲线的离心率e 5 A1 A2 B1 B2 a b c 几何意义 焦点在x轴上的双曲线的几何性质复习 双曲线标准方程 Y X 双曲线性质 1 范围 x a或x a 2 对称性 关于x轴 y轴 原点对称 3 顶点 A1 a 0 A2 a 0 4 轴 实轴A1A2虚轴B1B2 A1 A2 B1 B2 5 渐近线方程 6 离心率 e X Y F1 F2 O B1 B2 A2 A1 焦点在y轴上的双曲线图像 焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
5、双曲线标准方程 Y X 双曲线性质 1 范围 y a或y a 2 对称性 关于x轴 y轴 原点对称 3 顶点 B1 0 a B2 0 a 4 轴 实轴B1B2 虚轴A1A2 A1 A2 B1 B2 5 渐近线方程 6 离心率 e c a F2 F2 o 如何记忆双曲线的渐进线方程 小结 或 或 关于坐标轴和原点都对称 椭圆与双曲线的性质比较 小结 x a y b x a y R 对称轴 x轴 y轴对称中心 原点 对称轴 x轴 y轴对称中心 原点 a 0 a 0 0 b 0 b 长轴 2a短轴 2b a 0 a 0 实轴 2a虚轴 2b 无 例1 求双曲线 的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标 离心率
6、 渐近线方程 解 把方程化为标准方程 可得 实半轴长a 4 虚半轴长b 3 半焦距c 焦点坐标是 0 5 0 5 离心率 渐近线方程 例题讲解 1 填表 x 6 18 x 3 3 0 y 3x 4 4 y 2 0 2 10 14 y 5 0 5 例2求中心在原点 对称轴为坐标轴 经过点P 1 3 且离心率为的双曲线方程 1 已知双曲线的实轴的一个端点为A1 虚轴的一个端点为B1 且则b等于 2 双曲线的离心率为2 则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长 短两段的比是 3 1 3 已知双曲线的离心率则m的取值范围是 12 0 4 双曲线与椭圆有相同的焦点 一条渐近线为y x 求双曲线的方程 3 练
7、习 5 双曲线和它的共轭双曲线离心率分别为e1和e2 则e1 e2应满足的关系 6 双曲线的离心率为2 则两渐近线的夹角为 60 例3已知双曲线的渐近线方程为 实轴长为12 求它的标准方程 注 称为与双曲线 共渐近线的双曲线系方程 是参数 P113 1 小结 本节课讨论了双曲线的简单几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 请同学们熟练掌握 作业113 1 例2 以已知双曲线的虚轴为实轴 实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线 求证 1 双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线 2 双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上 Y X A1 A2 B1 B2 F1 F2 o F 2 F 1 证明 1 设已知双曲线的方程是 则它的共轭双曲线方程是 渐近线为 渐近线为 可化为 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线 2 设已知双曲线的焦点为F c 0 F c 0 它的共轭双曲线的焦点为F1 0 c F2 0 c c c 所以四个焦点F1 F2 F3 F4在同一个圆 问 有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗 谢谢光临 再见 2005 12 14
